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高中数学 (4.2.1 直线与圆的位置关系 第2课时)示范教案 新人教A版必修2


4.示范教案(4.2.1

直线与圆的位置关系 第 2 课时)

导入新课 思路 1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报: 台风中心位于轮船正西 70 km 处,受影响的范围是半径长为 30 km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北 40 km 处, 如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?

图2 分析: 如图 2,以台风中心为原点 O,以东西方向为 x 轴,建立直角坐标系,其中,取 10 km 为单 位长度. 2 2 则台风影响的圆形区域所对应的圆心为 O 的圆的方程为 x +y =9; 轮船航线所在的直线 l 的方程为 4x+7y-28=0. 问题归结为圆心为 O 的圆与直线 l 有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系. 推进新课 新知探究 提出问题 ①过圆上一点可作几条切线?如何求出切线方程? ②过圆外一点可作几条切线?如何求出切线方程? ③过圆内一点可作几条切线? ④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗? ⑤如何求直线与圆的交点? ⑥如何求直线与圆的相交弦的长? 2 2 2 2 讨论结果: ①过圆上一点可作一条切线,过圆 x +y =r 上一点(x0,y0)的切线方程是 x0x+y0y=r ; 2 2 2 2 过圆(x-a) +(y-b) =r 上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r . ②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆 相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有 一个实根的充要条件——Δ =0 去求出 k 的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充 分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出 k 的值. ③过圆内一点不能作圆的切线. ④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜 率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的 半径(d=r),求出 k 的值. ⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标. ⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标 ,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦 长、半径之间的关系来求. 应用示例 思路 1 2 2 例 1 过点 P(-2,0)向圆 x +y =1 引切线,求切线的方程.

1

图3 解 : 如 图 3, 方 法 一 : 设 所 求 切 线 的 斜 率 为 k, 则 切 线 方 程 为 y=k(x+2), 因 此 由 方 程 组

? ? y ? k ( x ? 2), 2 2 2 得 x +k (x+2) =1. ? 2 2 ? ? x ? y ? 1,
上述一元二次方程有一个实根, Δ =16k -4(k +1)(4k -1)=12k -4=0,k=±
4 2 2 2

3 , 3

所以所求切线的方程为 y=±

3 (x+2). 3

方法二:设所求切线的斜率为 k,则切线方程为 y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半 径(d=r),所以 d=

| 2k | 1? k 2

=1,解得 k=±

3 . 3

所以所求切线的方程为 y=±

3 (x+2). 3

方法三:利用过圆上一点的切线的结论 . 可假设切点为 (x0,y0), 此时可求得切线方程为 x0x+y0y=1. 然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得 x0=-

1 . 2

再由点(x0,y0)在圆上,所以满足 x0 +y0 =1,既

2

2

3 1 2 +y0 =1,解出 y0=± . 2 4

y?0 这样就可求得切线的方程为 ? x?2

?

3 ?0 2 , 1 ? ?2 2

整理得 y=±

3 (x+2). 3

点评:过圆外一点向圆可作两条切线;可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比 较好(简便). 变式训练 2 2 2 已知直线 l 的斜率为 k,且与圆 x +y =r 只有一个公共点,求直线 l 的方程. 活动: 学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,

2

直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.

图4 解:如图 4,方法一:设所求的直线方程为 y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得 d=

|b| 1? k 2

=r,∴b=±r 1 ? k ,求得切线方程是 y=kx±r 1 ? k .
2 2
2 2 2

方法二:设所求的直线方程为 y=kx+b,直线 l 与圆 x +y =r 只有一个公共点,所以它们组成的 方程组只有一组实数解,由 ?
2

? ? y ? k x ? b, 2 2 2 2 2 2 2 ,得 x +k (x+b) =1,即 x (k +1)+2k bx+b =1,Δ =0 得 2 2 2 ? ?x ? y ? r
2

b=±r 1 ? k ,求得切线方程是 y=kx±r 1 ? k . 例 2 已知圆的方程为 x +y +ax+2y+a =0,一定点为 A(1,2),要使过定点 A(1,2)作圆的切线有 两条,求 a 的取值范围. 活动:学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利 用几何方法,点 A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径. 解 : 将 圆 的 方 程 配 方 得 (x+
2 2 2

4 ? 3a 2 a 2 a 2 ) +(y+1) = , 圆 心 C 的 坐 标 为 ( - , - 1), 半 径 4 2 2

r=

4 ? 3a 2 , 4
2

条件是 4-3a >0,过点 A(1,2)所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外, 即

4 ? 3a 2 a 2 2 (1 ? ) ? (2 ? 1) > . 4 2
2 ? ?a ? a ? 9 ? 0, 化简,得 a +a+9>0,由 ? 2 ? ?4 ? 3a ? 0,
2

解得-

2 3 2 3 <a< ,a∈R. 3 3 2 3 2 3 <a< . 3 3 2 3 2 3 , ). 3 3
3

所以-

故 a 的取值范围是(-

点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时 注意圆的一般方程的条件. 思路 2 2 2 例 1 已知过点 M(-3,-3)的直线 l 被圆 x +y +4y-21=0 所截得的弦长为 45,求直线 l 的方程. 活动: 学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线 l 的方程,一般设点斜式,再求 斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离 等于弦心距求出斜率;另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解. 2 2 解法一: 将圆的方程写成标准形式有 x +(y+2) =25,所以圆心为(0,-2),半径为 5.因为直线 l
2 2 被圆 x +y +4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,所以弦心距为 5 ? ( 2 5 ) = 5 ,圆心到直线

2

2

的距离为

5 , 由 于 直 线 过 点 M(-3,-3), 所 以 可 设 直 线 l 的 方 程 为 y+3=k(x+3), 即

kx-y+3k-3=0. 根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为 5 ,因此 d=

| 2 ? 3k ? 3 | k 2 ?1

= 5 ,两边平方整

理得 2k -3k-2=0,解得 k=

2

1 ,k=2. 2 1 (x+3)或 y+3=2(x+3),即 x+2y+9=0 或 2x-y+3=0. 2

所以所求的直线 l 的方程为 y+3=
2 2

解法二:设直线 l 和已知圆 x +y +4y-21=0 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的斜率为 k, 由于直线过点 M(-3,-3),所以可设直线 l 的方程为 y+3=k(x+3),即 y=kx+3k-3.代入圆的方程 2 2 2 2 2 x +y +4y-21=0, 并整理得 (1+k )x +2k(3k-1)x+(3k-1) -25=0. 结合一元二次方程根与系数的 关 ①
2 2 |AB|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) ?





x1+x2=

?

2k (3k ? 1) 1? k 2

,x1?x2=

(3k ? 1) 2 ? 25 1? k 2

.

( x1 ? x 2 ) 2 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x 2 ) 2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 ]
因 ② 为 |AB|=45, 所 以 有 (1+k )
2



(x1+x2) -4x1?x2

2



=80.

把 ① 式 代 入 ② 式 , 得 (1+k ){ [ ?
2

(3k ? 1) 2 ? 25 2k (3k ? 1) 2 ] -4 }=80. 经 过 整 理 , 得 1? k 2 1? k 2

2k -3k-2=0,解得 k=

2

1 1 ,k=2.所以所求的直线 l 的方程为 y+3= (x+3)或 y+3=2(x+3),即 2 2

x+2y+9=0 或 2x-y+3=0. 点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用, 加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程 ,思路简 单但运算较繁. 变式训练 2 2 已知圆 C:x +(y-1) =5,直线 l:mx-y+1-m=0.

4

(1)求证:对 m∈R,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (2)设 l 与圆 C 交于不同两点 A、B,若|AB|= 17 ,求 l 的倾斜角; (3)求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (4)若定点 P(1,1)分弦 AB 为

AP 1 = ,求此时直线 l 的方程. PB 2

解:(1)判断圆心到直线的距离小于半径即可,或用直线系过定点 P(1,1)求解;点 P(1,1)在圆 内. (2)利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长,得 m=± 3 ,所以 α =
2 2

? 2? 或 . 3 3
2

(3)设 M 的坐标为(x,y),连结 CM、CP,因为 C(0,1),P(1,1),|CM| +|PM| =|CP| , 2 2 2 2 2 2 所以 x +(y-1) +(x-1) +(y-1) =1,整理得轨迹方程为 x +y -x-2y+1=0(x≠1). (4) 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由

AP PB

=

1 2

,



x 2 ? 2 x1 1? 2
2 2 2 2

=1.

① 又 由 直 线 方 程 和 圆 的 方 程 联 立 消 去 (*) 故 ② 由①②,得 x1= x1+x2=

y, 得 (1+m )x -2m x+m -5=0,

2m 2 1 ? m2

,

3 ? m2 ,代入(*),解得 m=±1. 1? m2

所以直线 l 的方程为 x-y=0 或 x+y-2=0. 例 2 已知直线 l:y=k(x+2 2 )与圆 O:x +y =4 相交于 A、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面
2 2

积为 S,①试将 S 表示成 k 的函数 S(k),并指出它的定义域;②求 S 的最大值,并求出取得最 大值时的 k 值. 活动:学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO 的面积,应先求出直线被圆截得的弦 长|AB|,将|AB|表示成 k 的函数.

图5 解:①如图 5 所示,直线的方程为 kx-y+2 2 k=0(k≠0), 点 O 到 l 之间的距离为|OC|=

2 2|k| k 2 ?1

,

5

8k 2 1? k 2 ?4 弦长|AB|=2 | OA | ? | OC | ? 2 4 ? , 1? k 2 1? k 2
2 2

4 2 ? k 2 (1 ? k 2 ) 1 ∴△ABO 的面积 S= |AB|?|OC|= , 1? k 2 2
∵|AB|>0,∴-1<k<1(k≠0). ∴S(k)=

4 2 ? k 2 (1 ? k 2 ) 1 ? k 2`

(-1<k<1 且 k≠0).

②△ABO 的面积 S=

1 |OA|?|OB|sin∠AOB=2sin∠AOB, 2
2 2|k| k 2 ?1

∴当∠AOB=90°时,Smax=2, 此时|OC|= 2 ,|OA|=2,即 = 2,

∴k=±

3 . 3

点评: 在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的 Rt△BOC, 其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半. 变式训练 2 2 已知 x,y 满足 x +y -2x+4y=0,求 x-2y 的最大值. 活动:学生审题,再思考讨论,从表面上看,此问题是一个代数,可用代数方法来解决.但细想 后会发现比较复杂,它需把二次降为一次.教师提示学生利用数形结合或判别式法. 2 2 解法一:(几何解法): 设 x-2y=b,则点(x,y)既在直线 x-2y=b 上,又在圆 x +y -2x+4y=0 上,即 2 2 直线 x-2y=b 和圆 x +y -2x+4y=0 有交点,故圆心(1,-2)到直线的距离小于或等于半径, 所以

|5?b| 5

≤ 5 .所以 0≤b≤10,即 b 的最大值是 10.
2 2 2 2

解法二:(代数解法):设 x-2y=b,代入方程 x +y -2x+4y=0,得(2y+b) +y -2(2y+b)+4y=0,即 2 2 2 2 2 5y +4by+b -2b=0.由于这个一元二次方程有解,所以其判别式 Δ =16b -20(b -2b)=40b-4b ≥0, 2 即 b -10b≤0,0≤b≤10.所以求出 b 的最大值是 10. 点评:比较两个解法,我们可以看到,数形结合的方法难想但简单,代数法易想但较繁,要多练 习以抓住规律. 2 2 例 3 已知圆 C:(x-1) +(y-2) =25,直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程. 活动: 学生先思考,然后讨论,教师引导学生考虑问题的方法,由于直线过定点,如果该定点在 圆内,此题便可解得.最短的弦就是与过定点与此直径垂直的弦. 解:(1)证明: 因为 l 的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.因为 m∈R,所以 ?

?2 x ? y ? 7 ? 0, ,解 ? x ? y ? 4 ? 0.

6

得?

? x ? 3, 即 l 恒过定点 A(3,1).因为圆心 C(1,2),|AC|= 5 <5(半径),所以点 A 在圆 C ? y ? 1,

内,从而直线 l 恒与圆 C 相交于两点. (2)弦长最小时,l⊥AC,由 kAC=-

1 ,所以 l 的方程为 2x-y-5=0. 2

点评: 证明直线与圆恒相交,一是可以将直线与圆的方程联立方程组,进而转化为一元二次方 程,根据判别式与 0 的大小来判断,这是通性通法,但过程繁琐,计算量大; 二是说明直线过圆 内一点,由此直线与圆必相交.对于圆中过 A 点的弦,以直径为最长,过 A 点与此直径垂直的弦 为最短. 变式训练 2 2 求圆 x +y +4x-2y+4=0 上的点到直线 y=x-1 的最近距离和最远距离. 2 2 解:圆方程化为(x+2) +(y-1) =1, 圆心(-2,1)到直线 y=x-1 的距离为 d=

| ?2 ? 1 ? 1 | 12 ? (?1) 2

=2 2 ,

所以所求的最近距离为 2 2 -1,最远距离为 2 2 +1. 知能训练 2 2 1.已知直线 l:y=2x-2,圆 C:x +y +2x+4y+1=0,请判断直线 l 与圆 C 的位置关系,若相交, 则求直线 l 被圆 C 所截的线段长. 活动:请大家独立思考,多想些办法.然后相互讨论,比较解法的不同之处.学生进行解答,教 师巡视,掌握学生的一般解题情况.

3 ? x? , ? ? y ? 2 x ? 2, ? x ? ?1, ? 5 或? 解法一:由方程组 ? 2 解得 ? 2 ? x ? y ? 2 x ? 4 x ? 1 ? 0. ? y ? ? 4 ? y ? ?4, ? 5 ?
即直线 l 与圆 C 的交点坐标为(

3 4 8 ,- )和(-1,-4),则截得线段长为 5. 5 5 5
2

解法二:由方程组(略)消去 y,得 5x +2x-3=0, 设直线与圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 中点为(-

1 12 ,), 5 5

2 ? x1 ? y1 ? ? , ? ? 5 2 64 所以 ? 得(x1-x2) = , 25 ?x ? x ? ? 3 , 1 2 ? 5 ?
则所截线段长为|AB|=(1+k )(x1-x2) =
2 2

8 5. 5

解法三:圆心 C 为(-1,-2),半径 r=2,设交点为 A、B,圆心 C 到直线 l 之距 d=

2 5 ,所以 5

| AB | 4 8 5. ? r2 ? d 2 ? 5 .则所截线段长为|AB|= 5 2 5
7

点评:前者直接求交点坐标,再用两点距离公式求值;后者虽然也用两点距离公式,但借用韦 达定理,避免求交点坐标.解法三利用直线与圆的位置关系,抓住圆心到直线之距 d 及圆半径 r 来求解.反映了抓住本质能很快接近答案的特点.显然,解法三比较简洁. 2 2 2.已知直线 x+2y-3=0 交圆 x +y +x-6y+F=0 于点 P、Q,O 为原点,问 F 为何值时,OP⊥OQ? 解:由 ?

? ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 2 消去 y,得 5x +10x+4F-27=0, 2 2 ? ?x ? y ? x ? 6 y ? F ? 0

所以 x1x2=

4 F ? 27 ,x1+x2=-2. 5
( x1 ? 3)( x2 ? 3) x1 x2 ? 3( x1 ? x 2 ) ? 9 12 ? F . ? ? 4 4 5

所以 y1y2=

因为 OP⊥OQ,所以 x1x2+y1y2=0,即

4 F ? 27 12 ? F =0.所以 F=3. ? 5 5

点评:(1)解本题之前先要求学生指出解题思路. (2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用: 处理 x1,x2 的对称式.在解析几何中经 常运用韦达定理来简化计算. 拓展提升 已知点 P 到两个定点 M(-1,0)、N(1,0)距离的比为 2 ,点 N 到直线 PM 的距离为 1,求直线 PN 的方程. 解 : 设 点 P 的 坐 标 为 (x,y), 由 题 设 有

| PM | | PN |

=

2

, 即

( x ? 1) 2 ? y 2 = 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ,
整理得 x +y -6x+1=0. 因为点 N 到 PM 的距离为 1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线 PM 的斜率为±
2 2



3 . 3


直线 PM 的方程为 y=±

3 (x+1). 3

将②代入①整理,得 x -4x+1=0.解得 x1=2+ 3 ,x2=2- 3 .
2

代入②得点 P 的坐标为(2+ 3 ,1+3)或(2- 3 ,-1+ 3 );(2+ 3 ,-1-3)或(2- 3 ,1 - 3 ). 直线 PN 的方程为 y=x-1 或 y=-x+1. 课堂小结 1.直线和圆位置关系的判定方法:代数法和几何法. 2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率 k 或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情

8

况. 3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质. 4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的. 作业 课本习题 4.2 A 组 5、6、7. 设计感想 本节课是研究直线与圆的位置关系的第二课时 ,以学生进行自主探索学习为主线,沿用 研究问题的科学方法,首先观察探索、 寻找规律,最后严格推理求解,很好地体现新课程理念. 在教学过程中,打破传统课堂模式,首先由问题引入,强调研究直线与圆的位置关系的重要意 义,充分激发学生求知欲望,接着学生回顾刚学过的直线与圆的位置关系的有关知识,并设计 两个思路的例题从不同的侧面探索研究,自主地进行学习.例题设置目的在于“以点带面,举 一反三”.以直线与圆的位置关系来加深体会数与形的内在联系 ,比较求解所截线段长的方 法,目的在于强化思维的灵活性,突出数形结合思想,在解决问题的过程中,使思路更加清晰、 条理更清楚.这样有利于突出教学重点,突破教学难点.本节课除了设置两道巩固练习外,还 精心编制多道为教学进一步延伸的问题 ,给学生课后继续进行自主探索创设问题情境 ,关注 学生的持续学习,培养其自学能力,同时也为后续的教学作好铺垫.充分地体现学生的主体地 位.教师关注学生发展的差异,帮助有困难的学生.还通过展示学生探索的成果,促进师生之 间互相交流,让学生获得成就感,激发学习的兴趣.

9


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