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南京市金陵中学2011届高三第四次模拟数学


南京市金陵中学 2011 届高三第四次模拟考试 数 学
注意事项:1. 本试卷满分 160 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

1. 在复平面内,复数-3+i 和 1-i 对应的点间的距离为________. 2. 命题:“若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确 的个数是________. 3. 右图是一个算法流程图,则输出的 S 的值是________. 4. 用半径为 R 的半圆形铁皮卷成一个圆锥桶,那么这个圆锥的高是________. 5. 为了调查高中学生眼睛高度近视的原因, 某学校研究性学习小组用分层抽样的方法从 有关数据见下表(单 全校三个年级的高度近视眼患者中, 抽取若干人组 成样本进行深入研究, 位:人): 年级 高度近视眼患者人数 抽取人数 18 x 高一 36 2 高二 54 y 高三 若从高一与高三抽取的人选中选 2 人进行跟踪式家访调研,则这 2 人都来自高三年级的 概率是________. 2 2 y 6. 双曲线 x - =1 的渐近线被圆 x2+y2-6x-2y+1=0 所截得的弦长为________. 4 7. 在共有 2 013 项的等差数列{an}中,有等式(a1+a3+…+a2 013)-(a2+a4+…+a2 012) =a1 007 成立;类比上述性质,在共有 2 011 项的等比数列{bn}中,相应的有等式________成 立. π 8. 已知向量 p 的模是 2,向量 q 的模为 1 ,p 与 q 的夹角为 ,a=3p+2q,b=p-q, 4 则以 a、b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线的长是________.

?x-y+5≥0, ? 9. 若 x,y 满足不等式组?x≤3, ?x+y-k≥0, ?
________.

且 z=2x+4y 的最小值为-6,则 k 的值为

Sn n 10. 已知等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = 对任意 n∈N*恒成 Tn 2n-1 a10 立,则 的值为________. b5 11. 已知 A={x|1≤x≤2},B={x|x2+2x+a≥0},A,B 的交集不是空集,则实数 a 的取 值范围是________. 12. 定义在 R 上的函数 f(x)的图象过点 M(-6,2)和 N(2,-6),对任意正实数 k,有 f(x+ k)<f(x)成立,则当不等式|f(x-t)+2|<4 的解集为(-4,4)时,实数 t 的值为________. 13. 平面四边形 ABCD 中,AB= 3,AD=DC=CB=1,△ABD 和△BCD 的面积分别为 S,T,则 S2+T2 的最大值是________. ?xQ=yP+xP, ? 14. 在直角坐标系 xOy 中,点 P(xP,yP)和点 Q(xQ,yQ)满足? 按此规则由点 ? ?yQ=yP-xP, OQ P 得到点 Q,称为直角坐标平面的一个“点变换”.此变换下,若 =m,∠POQ=θ,其 OP 中 O 为坐标原点,则 y=msin(x+θ)的图象在 y 轴右边第一个最高点的坐标为________. 二、 解答题:本题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. 3 15. (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= 3sin2x+sinxcosx- (x∈R). 2 π (1) 若 x∈?0,2?,求 f(x)的最大值; ? ? 1 BC (2) 在△ABC 中,若 A<B,f(A)=f(B)= ,求 的值. 2 AB

16. (本小题满分 14 分)已知在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,底面 ABCD 为直角梯形,且 满足 AD⊥AB,BC∥AD,AD=16,AB=8,BB1=8,E,F 分别是线段 A1A,BC 上的点. (1) 若 A1E=5,BF=10,求证:BE∥平面 A1FD. (2) 若 BD⊥A1F,求三棱锥 A1AB1F 的体积.

17. (本小题满分 14 分)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后, x 2 发现一天中环境综合放射性污染指数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=?x2+1-a?+2a+ ,x 3 ? ? ∈,其中 a 是与气象有关的参数,且 a∈],若取每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染 指数,并记作 M(a). x (1) 令 t= 2 ,x∈,求 t 的取值范围; x +1 (2) 省政府规定,每天的综合放射性污染指数不得超过 2,试问:目前市中心的综合放射 性污染指数是否超标?

x2 y2 18. (本小题满分 16 分)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),⊙O:x2+y2=b2,点 A,F 分 a b 别是椭圆 C 的左顶点和左焦点,点 P 是⊙O 上的动点. (1) 若 P(-1, 3),PA 是⊙O 的切线,求椭圆 C 的方程; PA (2) 是否存在这样 的椭圆 C,使得 是常数?如果存在,求 C 的离心率,如果不存在, PF 说明理由.

1 19. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x)= ax2-(2a+1)x+2lnx(a 为正数). 2 (1) 若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=3 处的切线互相平行,求 a 的值; (2) 求 f(x)的单调区间; (3) 设 g(x)=x2-2x,若对任意的 x1∈(0,2],均存在 x2∈(0,2],使得 f(x1)<g(x2),求实数 a 的取值范围.

(本小题满分 16 分)设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=

an(a2+1+1) n (n≥1,n∈N* ). a2+1 n

? a n+ 1 ? ? ? 1 ?是常数列; (1) 求证:数列? a n+ ? ? an? ?
(2) 求证:当 n≥2 时,2<a2-a2-1≤3; n n (3) 求 a2 011 的整数部分.

南京市金陵中学 2011 届高三第四次模拟考试 数学附加题 注意事项: 1. 附加题供选修物理的考生使用. 2. 本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内. 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四 小题,只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. A. 选修 41:几何证明选讲 如图,设 AB 为⊙O 的任意一条不与直线 l 垂直的直径,P 是⊙O 与 l 的公共点,AC⊥l, BD⊥l,垂足分别为 C,D,且 PC=PD. 求证:(1) l 是⊙O 的切线;(2) PB 平分∠ABD.

B. 选修 42:矩阵与变换 已知点 A 在变换 T: ]→]=]的作用后, 再绕原点逆时针旋转 90°, 得到点 B.若点 B 坐标 为 (-3,4),求点 A 的坐标.

C. 选修 44:坐标系与参数方程 2 x= 2 , t +1 1 求曲线 C1: 被直线 l:y=x- 所截得的线段长. 2 2t y= 2 t +1

? ? ?

D. 选修 45:不等式选讲 a2 b2 c2 b c a 已知 a、b、c 是正实数,求证: 2+ 2+ 2≥ + + . b c a a b c

【必做题】第 22 题、第 23 题,每小题 10 分,共计 20 分.解答时应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)如图,在四棱锥 OABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形,∠ ABC=45°,OA⊥底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点. (1) 求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (2) 求平面 OAB 与平面 OCD 所成二面角的余弦值.

23. (本小题满分 10 分)已知构成某系统的元件能正常工作的概率为 p(0<p<1),且各个 元件能否正常工作是相互独立的. 今有 2n(n 大于 1)个元件可按如图所示的两种联结方式分别 构成两个系统甲、乙. (1) 试分别求出系统甲、乙能正常工作的概率 p1,p2; (2) 比较 p1 与 p2 的大小,并从概率意义上评价两系统的优劣.
[来源:学科网 ZXXK]

南京市金陵中学 2011 届高三第四次模拟考试 数学参考答案及评分标准 3 1 1. 2 5 2. 2 3. -9 4. R 5. 6. 4 2 2 a1·a3·a5…a2 011 π 19 7 7. =a 8. 29 9. 0 10. 11. 12. 2 13. 14. ?4, 2? ? ? 17 8 a2·a4·a6…a2 010 1 006 3(1-cos2x) 1 3 15. (1) f(x)= + sin2x- 2 2 2 π 1 3 = sin2x - cos2x=sin?2x-3?.(4 分) ? ? 2 2 π π 2π π ∵0<x< ,∴- <2x- < .(6 分) 3 3 3 2 π π 5π ∴当 2x- = 时,即 x= 时,f(x)取最大值 1.(7 分) 3 2 12 π? π π 5π (2) ∵f(x)=sin?2x-3?,x 是三角形的内角,则 0<x<π,- <2x- < . ? 3 3 3 π 1 1 令 f(x)= ,得 sin?2x-3?= , ? ? 2 2 π π π 5π ∴2x- = 或 2x- = . 3 6 3 6 π 7π 解得 x= 或 x= .(9 分) 12 4 1 π 7π 由已知,A,B 是△ABC 的内角,A<B 且 f(A)=f(B)= ,∴A= ,B= . 2 4 12 π ∴C=π-A-B= .(11 分) 6 2 π sin 4 2 BC sinA = = = 2.(14 分) 由正弦定理,得 = AB sinC π 1 sin 6 2 16. (1) 过 E 作 EG∥AD 交 A1D 于 G,连接 GF. A 1E 5 EG 5 ∵ = ,∴ = ,∴EG=10=BF. AD 8 A 1A 8 ∵BF∥AD,EG∥AD,∴BF∥EG.
[来源:学科网]

∴四边形 BFGE 是平行四边形. ∴BE∥FG.(4 分) 又 FG?平面 A1FD,BE?平面 A1FD, ∴BE∥平面 A1FD.(6 分) (2) ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴A1A⊥BD. 由已知,BD⊥A1F,AA1∩A1F=A1, ∴BD⊥平面 A1AF.

∴BD⊥AF.(8 分) ∵梯形 ABCD 为直角梯形,且满足 AD⊥AB,BC∥AD, AD ∴在 Rt△BAD 中,tan∠ABD= =2. AB FB BF 在 Rt△ABF 中,tan∠BAF= = . AB 8 π ∵BD⊥AF,∴∠ABD+∠BAF = , 2 BF 1 ∴ = ,BF=4.(10 分) 8 2 ∵在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,A1A⊥平面 ABCD,∴平面 AA1B1B⊥平面 ABCD, 又平面 ABCD∩平面 AA1B1B=AB,∠ABF=90°, ∴FB⊥平面 AA1B1B,即 BF 为三棱锥 FA1B1A 的高.(12 分) ∵∠AA1B1=90°,AA1=BB1=8,A1B1=AB=8, ∴S△AA1B1=32. 1 128 ∴V 三棱锥 A1AB1F=V 三棱锥 FA1B1A= ×S△AA1B1×BF= .(14 分) 3 3 17. (1) 当 x=0 时,t=0;(2 分) 1 1 1 1 当 0<x≤24 时, =x+ .对于函数 y=x+ ,∵y′=1- 2, t x x x 1 ∴当 0<x<1 时,y′<0,函数 y=x+ 单调递增, x 1 当 1<x≤24 时,y′>0,函数 y=x+ 单调递增, x ∴y∈. 综上,t 的取值范围是].(5 分) 2 3a-t+ ,0≤t≤a, 3 2 (2) 当 a∈]时,f(x)=g(t)=|t-a|+2a + = (8 分) 3 1 2 t+a+ ,a≤t≤ . 2 3 2 ?1? 7 ∵g(0)=3a+ ,g?2?=a+ , 3 6 1? 1 g(0)-g?2?=2a- . ? 2 1 1 g?2?,0≤a≤ , ? ? 4 故 M(a)= 1 1 g(0), <a≤ 4 2

? ? ?

? ? ?

?a+6,0≤a≤4, =? 2 1 1 ?3a+3,4<a≤2.

7

1

(10 分)

4 当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2,(12 分) 9 4 故 a∈]时不超标,a∈?9,1 ]时超标.(14 分) ? 18. (1) ∵P(-1, 3)在⊙O:x2+y2=b2 上, ∴b2=4.(2 分) → → 又∵PA 是⊙O 的切线,∴PA⊥OP,∴OP·AP=0,

即(-1, 3)·(-1+a, 3)=0,解得 a=4. x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 + =1.(5 分) 16 4 (2) 设 F(c,0),c2=a2-b2, PA 设 P(x1,y1),要使得 是常数,则有(x1+a)2+y2=λ,λ 是常数. 1 PF 即 b2+2ax1+a2=λ(b2+2cx1+c2),(8 分) 比较两边,b2+a2=λ(b2+c2),a=λc,(10 分) 故 cb2+ca2=a(b2+c2),即 ca2-c3+ca2=a3, 即 e3-2e+1=0,(12 分) 5-1 (e-1)(e2+e-1)=0,符合条件的解有 e= , 2 5-1 即这样的椭圆存在,离心率为 .(16 分) 2 2 19. f′(x)=ax-(2a+1)+ (x>0). x 2 (1) f′(1)=f′(3),解得 a= .(4 分) 3 (ax-1)(x-2) (2) f′(x)= (x>0). x 1 1 ①当 0<a< 时, >2, a 2 1 在区间(0,2)和?a,+∞?上,f′(x)>0; ? ? 1? 在区间?2,a?上,f′(x)<0, ? 1 1 故 f(x)的单调递增区间是(0,2)和?a,+∞?,单调递减区间是?2,a?.(6 分) ? ? ? ? 2 (x-2) 1 ≥0,故 f(x)的单调递增区间是(0,+∞).(8 分) ②当 a= 时,f′(x)= 2 2x 1 1 1 1 ③当 a> 时,0< <2,在区间?0,a?和(2,+∞)上,f′(x)>0;在区间?a,2?上,f′(x) ? ? ? ? a 2 1 1 <0,故 f(x)的单调递增区间是?0,a?和(2,+∞),单调递减区间是?a,2?.(10 分) ? ? ? ? (3) 由已知,在(0,2]上有 f(x)max<g(x)max.(11 分) 由已知,g(x)max=0,由(2)可知, 1 ①当 0<a≤ 时,f(x)在(0,2]上单调递增, 2 故 f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2, 1 ∴-2a-2+2ln2<0,解得 a>ln2-1,ln2-1<0,故 0<a≤ .(13 分) 2 1 1 ②当 a> 时,f(x)在?0,a ]上单调递增,在]上单调递减, ? 2 1? 1 故 f(x)max=f?a?=-2- -2lna. ? 2a 1 1 1 由 a> 可知 lna>ln >ln =-1,2lna>-2,-2lna<2, 2 2 e ∴-2-2l na<0,f(x)max<0,(15 分) 综上所述,a>0.(16 分)

an(a2+1+1) a n+ 2 a n+ 1 n 20. (1) 易知,对一切 n≥1,an≠0,由 an+2= ,得 = . 2 1 1 an+1 a n+ 1+ a n+ an a n+ 1 依次利用上述关系式,可得 a n+ 1 a n- 1 an a2 2 = = =…= = =1, 1 1 1 1 1 a n+ a n- 1+ a n- 2+ a 1+ 1+ an a1 1 a n- 1 a n- 2 ? a n+ 1 ? ? ? 1 ?是常数列.(4 分) 从而数列? a n+ ? ? an? ? 1 (2) 由(1)得 an+1=an+ . an 1 又 a1=1,∴可知数列{an}递增,则 对一切 n≥1,有 an≥1 成立,从而 0< 2≤1.(6 分) an 1 1 当 n≥2 时,a2=?an-1+a ?2=a2-1+ 2 +2, n n ? a n- 1 n-1? 1 于是 a2-a2-1= 2 +2, n n an-1 ∴2<a2-a2-1≤3.(8 分) n n 1 (3) 当 n≥2 时,a2=a2-1+ 2 +2, n n a n- 1 1 1 ∴a2= 2 +…+ 2+a2+2(n-1). n 1 a1 a n- 1 2 2 a1=1,a2=4,则当 n≥3 时, 1 1 a2= 2 +…+ 2+a2+2(n-1) n a1 1 a n- 1 1 1 = 2 +…+ 2+1+1+2(n-1) a2 a n- 1 1 1 = 2 +…+ 2+2n>2n. a2 a n- 1 1 1 a2 011= 2 +…+ 2+2(2 011-1)+1>4 021 2 a2 010 a1 >3 969=632,(10 分) 1 1 a2 011= 2 +…+ 2+2(2 011-1)+1 2 a2 010 a1 1 1 =4 021+ 2+…+ 2 a1 a2 010 1 1 1 1 <4 020+ + + +…+ 1 4 6 2×2 010 1 1 1 1 =4 022+ ?2+3+…+2 010? ? 2? 1 =4 022+ 2 1 1 ? + +…+ 1 ?+? 1 + 1 +…+ 1 ? ] 199? ?200 201 2 010? ?40 41 1 <4 022+ 2 ? 1 + 1 +…+ 1 ?+? 1 + 1 +…+ 1 ? ] 40? ?200 200 200? ?40 40 1 1 1 ?1 =4 022+ ?2×38+40×160+…+200×1 811? ? 2
[来源:Z|xx|k.Com] [来源:学.科.网 Z.X.X.K]

1 <4 022+ (19+4+10)<4 039<4 096=642.(14 分) 2 ∴63<a2 011<64,即 a2 011 的整数部分为 63.(16 分)

南京市金陵中学 2011 届高三第四次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 21. A: (1) 连接 OP,∵AC⊥l,BD⊥l,∴AC∥BD. 又 OA=OB,PC=PD,∴OP∥BP,从而 OP⊥l. ∵P 在⊙O 上,∴l 是⊙O 的切线.(6 分)

(2) 连接 AP,∵l 是⊙O 的切线, ∴∠BPD=∠BAP. 又∠BPD+∠PBD=90°,∠BAP+∠PBA=90°, ∴∠PBA=∠PBD,即 PB 平分∠ABD.(10 分) B:]]=].(6 分) 设 A(a,b),则由]]=], ?-b=-3, ? 得? ? ?a+2b=4,
?a=-2, ? ∴? 即 A(-2,3).(10 分) ? ?b=3,

?x=t +1,① C:C :? 2t ?y=t +1,②
2 1 2

2

② y 得 t= ,代入①,化简得 x2+y2=2x. x ① 2 又 x= 2 ≠0,∴C1 的普通方程为(x-1)2+y2=1(x≠0).(6 分) t +1 1 圆 C1 的圆心到直线 l:y=x- 的距离 2 ?1-0-1? 2? ? 1 d= = . 2 2 2 14 .(10 分) 所求弦长为 2 1-d2= 2 a b b c c a a2 b2 c2 a b c D:由?b-c?2+? c-a?2+?a-b?2≥0,得 2?b2+c2 +a2?-2?b+c+a?≥0, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a2 b2 c2 b c a ∴ 2+ 2 + 2≥ + + .(10 分) b c a a b c 22. 作 AP⊥CD 于点 P, 分别以 AB、 AO 所在直线为 x、 z 轴建立坐标系, A(0,0,0), AP、 y、 则 B(1,0,0), 2 2 2 P?0, ,0?,D?- , ,0?,O(0,0,2),M(0,0,1). 2 ? ? ? 2 2 ? 2 2 → → (1) AB=(1,0,0),MD=?- , ,-1?, ? 2 2 ?

1 → → 则 cos〈AB,MD〉=- , 2 π 故 AB 与 MD 所成角为 .(4 分) 3 2 2 2 → → (2) OP=?0, ,-2?,OD=?- , ,-2?, 2 ? ? ? 2 2 ? 设平面 OCD 的法向量 n=(x,y,z ), → → 则 n·OP=0,n·OD=0,

? 22y-2z=0, 即? 2 2 ?- 2 x+ 2 y-2z=0,
取 z= 2,则 n=(0,4, 2).(6 分) 易得平面 OAB 的一个法向量为 m=(0,1,0), 2 2 cos〈n,m〉= ,(9 分) 3 2 2 故平面 OAB 与平面 OCD 所成二面角的平面角余弦值为 .(10 分) 3 n n 23. (1) p1=p (2-p ),(2 分) p2=pn(2-p)n.(4 分) (2) (用二项式定理证明) p2-p1=pn{n-2+n} =pn{-2 +} =pn>0.(10 分) 说明:作差后化归为用数学归纳法证明:(2-p)n>2-pn 也可.

[来源:学.科.网 Z.X.X.K]



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