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【志鸿优化设计-赢在课堂】(人教)2015高中数学必修5【精品课件】1-2应用举例-2


第 2 课时

三角形中的几何计算

第2课时
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三角形中的几何计算

课前预习导学
KEQIAN YUXI DAOXUE

课堂合作探究
KETANG HEZUO TANJIU

预习引导

学习目 标 重点难 点

1.记住正弦定理、三角形的面积公式及余弦定理和其推论; 2.会用正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,余弦定理的推论计 算三角形中的一些量. 重点:正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、余弦定理推论的应用; 难点:探寻解题的思路与方法.

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三角形中的几何计算

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预习引导

1.三角形面积公式 已知△ABC 中,a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,其面积为 S, 则 S= bcsin A= acsin B= absin C.
1 2 1 2 1 2

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预习引导

2.三角形中常用的结论 (1)A+B=π-C,
+ 2

= ? ;

π 2

2

(2)在三角形中大边对大角,反之亦然; (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边; (4)三角形内的诱导公式 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, tan(A+B)=-tan C ≠ sin
π 2

,

+ + =cos ,cos =sin . 2 2 2 2

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3.几何计算问题的主要类型

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预习引导

预习交流
(1)已知一三角形的三边长分别为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则该三 角形的面积为
1 2

.

提示:S= (a+b+c)· r

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(2)在△ABC 中,已知 b=3,c=3 3,B=30° ,求 a 边用正弦定理简单, 还是用余弦定理简单?有什么技巧? 提示:用余弦定理简单. 由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B, 得 32=a2+(3 3)2-2×a×3 3cos 30° , 整理得 a2-9a+18=0,解得 a=3 或 a=6. 技巧:当三角形中已知两边和其中一边的对角时, (1)若由已知只求内角,则用正弦定理合适; (2)若由已知只求边,则用余弦定理合适.

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三角形中的几何计算

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一、三角形面积的计算 活动与探究
1.计算三角形面积的公式有哪些? 提示:在△ABC 中,(1)S△ABC= a· ha= b· hb= c· hc;(2)S△ABC= absin C=2acsin B=2bcsin A;(3)S△ABC= (4)S△ABC=
(R 4 1 1 ++ · r(r 2 1 2 1 2 1 2 1 2

为△ABC 内切圆半径);

为△ABC 外接圆半径);
++ 2

(5)S△ABC= (-)· (-)· (-) =

.

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2.怎样求不规则的多边形的面积? 提示:常把不规则的多边形利用“割补法”转化为三角形,再利用三 角形的有关性质及正弦定理、余弦定理求得面积.

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例 1 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 cos=-2+ , (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 思路分析:先由余弦定理求出 B,再利用余弦定理求出 ac,利用面积 公式求出△ABC 的面积.

cos



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cos (2 +2 - )2ab 解:(1)∵ =,∴ 2 2 2 =, cos 2+ ( + - )2ac 2+

2

整理得 a +c -b =-ac.∴ cos

2

2

2

2 +2 - B= 2

2

=-2 =-2.∴ B=120° .



1

(2)由余弦定理得 a2+c2+ac=13,① 又 a+c=4,∴ a2+c2+2ac=16.② 由①②得 ac=3.∴ S△ABC=2acsin B=2×3×sin 120° =
1 1 3 3 . 4

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迁移与应用 1.若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b=2,B= ,C= ,则△ ABC 的面积为( A.2 3+2 答案:B ). B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1
π 6 π 4

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解析:A=π-(B+C)=π由正弦定理得 则 故
sin a= sin sin
π

π π +4 6 , sin

= 12 ,



=

=

2sin 12 sin 6



= 6 + 2, 6+
2 2)×2× 2

1 S△ABC=2absin

1 C=2×(

= 3+1.

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2.在△ABC 中,∠A=60° ,AB=2,且△ABC 的面积为 2 ,则 BC 的长为 ( ). A. 3 答案:A
1 2

3

B.3
1 2

C. 7
3 2 3 2

D.7

解析:S= ×AB· ACsin 60° = ×2× AC= 所以 AC=1.

所以由余弦定理得 BC2=AB2+AC2-2ABAC· cos 60° =3.故 BC= 3,应 选 A.

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三角形 ABC 面积的求解公式为 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C, 利用它可以解决许多与正弦定理及三角形面积相关的问题.当条件中 涉及三角形边的平方、两边的和、面积等时,常与余弦定理结合解决问 题.

1 2

1 2

1 2

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二、三角形中线段长度的计算 活动与探究
求线段长度的常用方法有哪些? 提示:若题目中有坐标系,可借助向量的模或两点间距离公式求解; 若题目中无坐标系,常构造三角形,利用三角形的性质以及正弦定理、 余 弦定理求解.

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例 2 如图所示,在四边形 ABCD 中,AC 平分∠DAB,∠ ABC=60° ,AC=7,AD=6,S△ACD=
15 3 ,求 2

AB 的长.

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解: ∵ AC 平分∠DAB,∴ ∠1=∠2. ∵ S△ACD=2AD· AC· sin ∠1= 在△ABC
1 15 3 ,∴ sin 2

∠1= 14 . =
· sin ∠2 , ∴ BC= sin sin

5 3

中,由正弦定理得sin∠2

=

7× 14
3 2

5 3

=5.

由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos B, ∴ 72=AB2+52-10· AB× . 整理可得 AB2-5AB-24=0,∴ (AB-8)(AB+3)=0.∴ AB=8.
1 2

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迁移与应用 1.如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠ BAC=
2 2 ,AB=3 3

2,AD=3,则 BD 的长为

.

答案: 3

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解析:∵ AD⊥AC,∴ ∠DAC=2 . ∵ sin∠BAC=
2 2 ,∴ sin 3 2 2 . 3

π

∠ + 2 =

π

2 2 . 3

∴ cos∠BAD=

由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB· AD· cos∠ BAD=(3 2)2+32-2×3 2×3× ∴ BD= 3.
2 2 =3. 3

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2.如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠ BDA=60° ,∠BCD=135° ,求 BC 的长.

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解:在△ABD 中,设 BD=x, 则 BA2=BD2+AD2-2BD· AD· cos∠BDA, 即 142=x2+102-2· 10x· cos 60° , 整理得 x2-10x-96=0,解得 x1=16,x2=-6(舍去). 由正弦定理 可得 BC=
sin ∠ , sin∠

=

16 · sin sin135 °

30° =8 2 .

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求线段的长度,先看所求线段在哪个三角形中,然后,结合已知条件 利用正弦定理、余弦定理求解. 也可设出线段长度,列方程求解.

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三、三角形中的证明问题 活动与探究
例 3 求证:在三角形 ABC 中,a=bcos C+ccos B. 思路分析:观察恒等式的特点,其左边只有边,而右边既有边又有角 的余弦,可考虑利用正弦定理将三角形的边化为角的正弦.也可以把角 的余弦化为边之间的关系,从而实现边和角的统一,然后进行恰当的变 形或推理.

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证法一:由正弦定理,得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 则 bcos C+ccos B=2Rsin Bcos C+2Rsin Ccos B=2Rsin(B+C)=2Rsin(180° -A)=2Rsin A=a. 所以原式成立. 证法二:由余弦定理,得 bcos C+ccos
2 + -2 +2 +2 - 2
2 2

2 + -2 2 +2 - B=b· 2 +c· 2

2

2

=

=a.

所以原式成立. 证法三:由余弦定理,得 b2=c2+a2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C, 两式相加得 a=bcos C+ccos B. 所以原式成立.

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迁移与应用 1.在△ABC 中,求证: 证法一:化角为边
(2 +2 -2 ) 2 左边= ( 2 +2 -2 ) 2

-cos -cos

= sin .

sin

=

2 -2 + 2

2

·2

2

-2 +2

=



=

2sin 2sin

=

sin =右边. sin

证法二:化边为角 左边=
sin-sin cos sin-sin cos

=

sin( +)-sin cos sin( +)-sin cos

=

sincos sincos

=

sin =右边. sin

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2.在△ABC 中,求证:acos22+ccos2 2 = 2 (a+b+c). 证明:∵ 左边=a·
1 2 2 + -2 · 2
2 2





1

1+cos 1+cos +c· 2 2

=

+ 1 + acos 2 2

C+ ccos A=

1 2

+ 2

+

+2 -2 + c· 2

=

+ + 2 2

=

++ =右边, 2

∴ 等式成立.

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三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明,但要注 意灵活地选用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关 系或角的关系,使之转化为三角恒等式的证明,或转化为关于 a,b,c 的代 数恒等式的证明,并注意三角形中的有关结论的运用.

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三角形中的几何计算 1 2 3 4 5

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1.在△ABC 中,a=6,B=30° ,C=120° ,则△ABC 的面积是( A.9 答案:C 则 a=b=6, 因此
1 S△ABC=2×6×6×sin 120° =9

).

B.8

C.9 3

D.18 3

解析:由题意知 A=180° -120° -30° =30° .

3.

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2.在△ABC 中,c= 3,b=1,B=30° ,则△ABC 的面积为( A.
3 或 2

).

3

B.

3 3 或 2 4

C. 3或

3 4

D. 3

答案:B 解析:由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 1=a2+3-2 3acos 30° ,化简得 a2-3a+2=0. 解得 a=1 或 a=2. 又 S△ABC= acsin B= a,
3 3 所以△ABC 的面积为 或 . 4 2 1 2 3 4

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3.如图,在△ABC 中,B=45° ,D 是 BC 边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则 AB 的长为( ).

A.5 答案:D 解析:在△ACD

B.5 2

C.5 3

D.5 6
142 +62 -102 2×14×6 11 5 3

2 +D2 -A2 中 ,∵ cos C= 2· ·

=

= 14,∴ sin C= 14 . =
14× 14
2 2 5 3

在△ABC

中,由正弦定理得sin

=

· sin , ∴ AB= sin sin

=5 6 .

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4.在△ABC 中,ab=60,S△ABC=15 3,△ABC 的外接圆半径为 3,则边 c 的 长为 答案:3 解析:∵ S△ABC=2absin C=15 3,∴ sin C= 2 .
由正弦定理sin=2R,∴ c=2R×sin C=3. 1 3

.

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5.如图,四边形 ABCD 中,B=C=120° ,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积 为 .

答案:5 3 解析:连接 BD,∵ BD2=BC2+CD2-2BC· CDcos 120° =4+4+4,∴ BD=2 3. 故 S 四边形 ABCD=S△ABD+S△BCD=2×4×2 3 + 2×2×2sin 120° =5 3 .
1 1


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