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高中数学必修2(人教A版)第四章圆与方程4.2知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第四章 圆与方程 4.2 直线、圆的位置关系

一、学习任务 能根据直线与圆的方程判断其位置关系(相交、相切、相离);能根据圆的方程判断圆与圆的位 置关系(外离、外切、相交、内切、内含);能用直线和圆的方程解决一些简单的问题;体会用 代数方法处理几何问题的思想,感受“形”与“数”的对立和统一,初步掌握数形结合的思想方 法在研究数学问题中的应用. 二、知识清单
直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 圆的切线 圆与圆的公共弦 直线被圆截得的弦长

三、知识讲解
1.直线与圆的位置关系 描述: 直线与圆的位置关系 1. 直线与圆相交,有两个公共点;

2. 直线与圆相切,有一个公共点;

3. 直线与圆相离,没有公共点.

判断直线与圆的位置关系 1. 几何法:直线 l :Ax + By + C = 0(A 2 + B 2 ≠ 0) ,以 O(a, b) 为圆心,以 r 为半径的 圆,圆心O 到直线 l 的距离 d =

切:d = r;直线与圆相离:d > r. 2. 代数法:把直线的方程与圆的方程联立,得方程组,消去 y 或 x 整理得到关于 x 或 y 的一 元二次方程,其判别式为Δ ,直线与圆相交:Δ > 0 ;直线与圆相切:Δ = 0 ;直线与圆 相离:Δ < 0 . 例题: 当 m 为何值时,直线 mx ? y ? m ? 1 = 0 与圆 x2 + y 2 ? 4x ? 2y + 1 = 0 相交?相切?相 离? 解:法一:(几何法) 由已知,得圆心坐标为 (2, 1),半径 r = 2,圆心 (2, 1) 到直线 mx ? y ? m ? 1 = 0 的距离

|aA + bB + C | ? ? ? ? ? ? ? ,直线与圆相交:d < r;直线与圆相 √A 2 + B 2

d=
当 d = 2,即 m = 0 或 m = ?

|2m ? 1 ? m ? 1| |m ? 2| = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. √1 + m 2 √1 + m 2

4 时,直线与圆相切; 3 4 当 d < 2,即 m > 0 或 m < ? 时,直线与圆相交; 3 4 当 d > 2,即 ? < m < 0 时,直线与圆相离. 3
法二:(代数法) 将 y = mx ? m ? 1 代入圆的方程,化简并整理,得

(1 + m 2 )x2 ? 2(m 2 + 2m + 2)x + m 2 + 4m + 4 = 0.
可知 Δ = 4m(3m + 4).

4 时,直线与圆相切; 3 4 当 Δ > 0 ,即 m > 0 或 m < ? 时,直线与圆相交; 3 4 当 Δ < 0 ,即 ? < m < 0 时,直线与圆相离. 3
当 Δ = 0 ,即 m = 0 或 m = ?

2.圆的切线 描述: 圆的切线长 过圆外一点P (x 0 , y 0 ) 向圆 M 作两条切线,其中圆心 M 的坐标为 (a, b) ,如图,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? |P M | = √(x0 ? a)2 + (y 0 ? b)2 ,切线长|P H | = √|P M | 2 ? r2 .





圆的切线方程 1. 过圆外一点 P (x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程:设切线方程为 y ? y 0 = k(x ? x0 ),与圆的方程 联立,根据 Δ 即可求出 k 的值;也可根据圆心到直线的距离等于半径求出 k 的值.特别要 注意若解出一个 k ,则还有一条斜率不存在的直线. 2. 过圆(x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 上一点P (x0 , y 0 ) 的切线方程:过圆心和点 P (x0 , y 0 ) 的直 线 l 1 的斜率为 k1 = 式即可求得切线方程. 结论:过圆 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 上一点 P (x0 , y 0 ) 的切线方程是 (x0 ? a)(x ? a) + (y 0 ? b)(y ? b) = r2. 例题: 已知圆 C :(x ? 1)2 + (y ? 2)2 = 2,求过点 P (2, 3) 的圆的切线方程. 解:因为 (2 ? 1)2 + (3 ? 2)2 = 2,所以点 P 在圆 C 上. 由圆的方程可得圆心 C (1, 2) ,由斜率公式得 KCP =

y0 ? b ,又切线与直线 l 1 垂直,故可求出切线的斜率,利用点斜 x0 ? a

直,可知所求切线的斜率为 ?1. 由直线的点斜式方程得所求切线的方程为 y ? 3 = ?(x ? 2),即 x + y ? 5 = 0.

3?2 = 1 ,因所求切线与直线 CP 垂 2?1

求过点 P (3, 2) 的圆 x 2 + y 2 = 9 的切线方程. 解:当切线斜率存在时,设所求切线的方程为 y ? 2 = k(x ? 3),即 kx ? y + 2 ? 3k = 0.又圆

| ? 3k + 2| ? ? ? ? ? = 3 ,即 √k 2 + 1 ? ? ? ? ? 5 5 5 ,所以方程为 ? |3k ? 2| = 3√k2 + 1 ,所以 k = ? x?y+2+3× = 0,即 12 12 12 5x + 12y ? 39 = 0. 当切线斜率不存在时,方程为x = 3,可知圆心到直线的距离为 3 ,所以 x = 3 也为圆的切线. 故所求切线方程为 x = 3 或 5x + 12y ? 39 = 0.
心为 O(0, 0),半径 r = 3,而圆心到切线的距离为 d = 过直线 x ? y + 4 = 0 上任意一点 P (x, y) 向圆 x2 + y 2 = 1 引切线,求切线长的最小值. 解:如图,过圆 O 点向直线 x ? y + 4 = 0 引垂线,垂足为 P ,过 P 作圆 x2 + y 2 = 1 的 一条切线 P A ,A 为切点,此时 P 点是直线上所有点中到 O 点的距离最小的点,又
2 2 2 2 2

4 |P A| = |P O| ? |AO| ,|OA| = 1 ,所以 |P A| = ( ) ? 1 = 7.所以 |P A| = √7 ,故 √2 切线长的最小值为 √7 .



3.直线被圆截得的弦长 描述: 设直线与圆交于A(x 1 , y 1 )、B(x 2 , y 2 ) 两点,弦长为|AB|

1. 几何法:直线被圆截得的半弦长

2. 将直线方程与圆的方程联立,求出交点A ,B 的坐标,根据两点间距离公式 3. 弦长公式:

? ? ? ? ? ? l = 2√r2 ? d 2 .

l l 、弦心距 d 和圆的半径 r 满足r2 = ( )2 + d 2 .所以 2 2

? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AB| = √(x1 ? x2 )2 + (y 1 ? y 2 )2 求解;

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 2 |AB| = √1 + k ? √(x1 + x2 ) ? 4x1 x2 = √1 + ? √(y 1 + y 2 )2 ? 4y 1 y 2 . k2 将直线方程与圆的方程联立消去 y 或 x ,得关于 x 或 y 的一元二次方程,然后求出两根之 和,两根之积,最后将其代入弦长公式,其中,k 为直线AB 的斜率.

其中,圆的弦长问题,常用几何法,后两种方法较为复杂,一般不用;但是在圆锥曲线学 习中,弦长公式运用较广,也同样需要掌握. 例题: 求直线 l :3x + y ? 6 = 0 被圆 C :x2 + y 2 ? 2y ? 4 = 0 截得的弦长. 解:法一:圆 C :x 2 + y 2 ? 2y ? 4 = 0 可化为 x2 + (y ? 1)2 = 5,圆心坐标为 (0, 1),半径

? |3 × 0 + 1 ? 6| √? 10 . = ? ? ? ? ? 2 √? 32 + 12 ? |AB| ? ? ? ? ? ? √? 10 设直线 l 与圆 C 的交点为 A 、B ,则 . = √r2 ? d 2 = 2 2 ? |AB| = √?
为 √5 ,点 (0, 1) 到直线 l 的距离为 d =

?. 所以弦长 |AB| = √? 10 法二:联立直线 l 、圆 C 的方程,得

2

2

+ y ? 6 = 0, { 3x 解得 { x 1 = 1, { x2 = 2, 2 2 y 1 = 3, y 2 = 0. x + y ? 2y ? 4 = 0,
则直线 l 与圆 C 的交点的坐标为 A(1, 3),B(2, 0). ?. 直线 l :3x + y ? 6 = 0 被圆 x 2 + y 2 ? 2y ? 4 = 0 截得的弦长 |AB| = √? 10 过圆 x 2 + y 2 = 8 内的点 P (?1, 2) 作直线 l 交圆于 A 、B 两点,若直线 l 的倾斜角为 135 ? ,求弦 AB 的长. 解:法一:(直接法) 由题意知直线 l 的方程为 y ? 2 = ?(x + 1),即 x + y ? 1 = 0. 圆心 O(0, 0) 到直线 l 的距离是 d =

√2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ?. |AB| = 2√r2 ? d 2 = 2√8 ? = √? 30 2 由题意知直线 l 的方程为 y ? 2 = ?(x + 1),即 x + y ? 1 = 0.
法二:(弦长公式) 由题意知直线 l 的方程为 y ? 2 = ?(x + 1),即 x + y ? 1 = 0. 由

| ? 1|

=

√2 ,则有 2

1 = 0, { x2+ y ? 2 x + y = 8,
消去 y ,得 2x 2 ? 2x ? 7 = 0. 设 A(x 1 , y 1 ),B(x 2 , y 2 ) ,所以 x1 + x2 = 1 ,x1 x2 = ? 所以

7 . 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AB| = √1 + k2 √(x1 + x2 )2 ? 4x1 x2 ? ?? ? ? ? ? ? . 7 ? ? ? = √? 1? + 1 ? √1 2 + 4 ? = √? 30 2
法三:(几何法) 由

1 = 0, { x2+ y ? 2 x + y = 8, ? 1 ? √? ? ? 1 + √? ? 1 + √? 1 ? √? 15 15 15 15 , ),B( , ). 2 ? 2 2 2? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? 1 ? √? 1 + 1 + 1 ? 15 √ 15 √ 15 √ 15 ? ? 所以 |AB| = ?( ? ) +( ? ) = √30 . ? 2 2 2 2
解得 A(

4.圆与圆的位置关系 描述: 圆与圆的位置关系

平面上两圆的位置关系有五种:

判断两圆的位置关系 判断圆C1 :(x ? a1 )2 + (y ? b 1 )2 = r2 与圆C2 :(x ? a2 )2 + (y ? b 2 )2 = r2 的位置关系,主要 1 2 有两种方法: ①几何法:比较圆心距与两圆半径的关系,设两圆的圆心距为d , 当d > r1 + r2 时,两圆外离; 当d = r1 + r2 时,两圆外切; 当|r1 ? r2 | < d < r1 + r2 时,两圆相交; 当d = |r1 ? r2 | 时,两圆内切; 当0 ≤ d < |r1 ? r2 | 时,两圆内含. ②代数法:通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断. 圆 C1 的方程与圆 C2 的方程联立,消去 x 或 y 得到关于y 或关于x的一元二次方程, 当Δ > 0 ? 两圆相交; 当Δ = 0 ? 两圆内切或外切; 当Δ < 0 ? 两圆外离或内含. 例题: a 为何值时,两圆 C1 :x 2 + y 2 ? 2ax + 4y + a2 ? 5 = 0 和C2 : x2 + y 2 + 2x ? 2ay + a2 ? 3 = 0 . (1)外切;(2)相交;(3)外离. 解:将两圆方程写成标准方程,

C1 : (x ? a)2 + (y + 2)2 = 9, C2 : (x + 1)2 + (y ? a)2 = 4
所以两圆的圆心和半径分别为 C1 (a, ?2),r1 = 3 ,C2 (?1, a),r2 = 2 . 设两圆的圆心距为 d ,则 d 2 = (a + 1)2 + (?2 ? a)2 = 2a2 + 6a + 5. (1)当 d = 5,即 2a2 + 6a + 5 = 25 时,两圆外切,此时 a = ?5 或 a = 2. (2)当 1 < d < 5,即 1 < 2a2 + 6a + 5 < 25 时,两圆相交,此时 ?5 < a < ?2 或 ?1 < a < 2 . (3)当 d > 5,即 2a2 + 6a + 5 > 25 时,两圆外离,此时 a > 2 或 a < ?5 . 求与圆 x 2 + y 2 ? 2x = 0 外切且与直线 y = 1 相切于点 M (?1, 1) 的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 (r > 0),圆 x2 + y 2 ? 2x = 0 的标准方程为 (x ? 1)2 + y 2 = 1,则

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a = ?1, ? √(a ? 1)2 + b 2 = r + 1, 解得 ? b = 0, ? a = ?1, ? ? ? r = 1, |b ? 1| = r,

故所求圆的方程为 (x + 1)2 + y 2 = 1 .

求圆心在直线 x ? y ? 4 = 0 上,且经过两圆 x2 + y 2 ? 4x ? 6 = 0 和 x2 + y 2 ? 4y ? 6 = 0 的交点的圆的方程. 解:设两已知圆的交点分别为 A 、B ,由
2 2 { x2 + y 2 ? 4x ? 6 = 0, x + y ? 4y ? 6 = 0,

求得两圆交点坐标分别为 A(?1, ?1),B(3, 3). 设所求圆的方程为 (x ? a)2 + (y ? b)2 = r2 ,则

? a ? b ? 4 = 0, ? ? a = 3, ? (?1 ? a)2 + (?1 ? b)2 = r2 , 解得 ? b = ?1, ? 2 ? ? r = 16, (3 ? a)2 + (3 ? b)2 = r2 ,

所以所求圆的方程为 (x ? 3)2 + (y + 1)2 = 16 .

5.圆与圆的公共弦 描述: 两圆公共弦所在直线方程的求法 设圆C1 :x 2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 = 0 ,圆C2 :x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 = 0 .
2 2 当两圆相交时,联立方程组{ x + y + D 1 x + E1 y + F1 = 0

+ D 2 x + E2 y + F2 = 0 (D 1 ? D 2 )x + (E1 ? E2 )y + F1 ? F2 = 0 ? ? ③. 若两圆交点为A(x 1 , y 1 ),B 1 (x 2 , y 2 ),可知 A、B 的坐标适合方程①② ,也适合方程③,因此方 x2
程③就是经过两圆交点的直线方程. 公共弦长的求法 代数法:将两圆的方程联立,求出交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长. 几何法:求出公共弦所在的直线方程,半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长,利用勾 股定理求弦长.

+ y2

? ? ① ,① ? ②得 ??②

例题: 已知两圆 x 2 + y 2 ? 2x + 10y ? 24 = 0 和 x2 + y 2 + 2x + 2y ? 8 = 0. (1)判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度. 解:(1)将两圆方程配方化为标准方程,

C1 : (x ? 1)2 + (y + 5)2 = 50, C2 : (x + 1)2 + (y + 1)2 = 10, ?. 则圆 C1 的圆心为 (1, ?5) ,半径 r1 = 5√2 ,圆 C2 的圆心为 (?1, ?1) ,半径 r2 = √? 10 | |=2 + =5 + ? =5 ?

(1, ?5) (?1, ?1) ? ? ?. 又因为 |C1 C2 | = 2√5 ,r1 + r2 = 5√2 + √10 ,r1 ? r2 = 5√2 ? √? 10 所以 r1 ? r2 < |C1 C2 | < r1 + r2 ,故两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为 x ? 2y + 4 = 0. (3)方法一:由(2)知圆 C1 的圆心 (1, ?5) 到直线 x ? 2y + 4 = 0 的距离 ? ? ? ? ? ? |1 ? 2 × (?5) + 4| ? ? ? ? ? 2 =2 ? ,所以公共弦长 l = 2√r2 d= = 3 √ 5 ? √50 ? 45 = 2√5 . d 1 ? ? ? ? ? ? ? ? √1 + (?2)2
方法二:设两圆相交于点 A ,B ,则 A ,B 两点满足方程组

+ 4 = 0, x = ?4, 或 { x = 0, { x2? 2y 2 解得 { + + 2 x + 2 y ? 8 = 0, y = 0, y = 2. x y
所以 |AB| = √(?4 ? 0)2 + (0 ? 2)2 = 2√5 ,即公共弦长为 2√5 .

? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 直线 x + √3 y ? 2 = 0 与圆 x 2 + y 2 = 4 相交于 A, B 两点,则弦 AB 的长度等于 ( A.2√5
答案: B

)

B.2√3

C.√3

D.1

2. 过圆 x2 + y 2 ? 4 = 0 与圆 x 2 + y 2 ? 4x + 4y ? 12 = 0 交点的直线为 ( A.x + y ? 3 = 0
答案: C

)
D.x + y ? 4 = 0

B.x ? y + 3 = 0

C.x ? y + 2 = 0

3. 过点 A (3, 4) 的圆 (x ? 2)2 + (y ? 1)2 = 1 的切线方程是 ( A.4x + 3y = 0
答案: C

)

C.4x ? 3y = 0 或 x = 3

B.4x ? 3y = 0

D.4x + 3y = 0 或 x = 3

4. 在圆 x2 + y 2 ? 2x ? 6y = 0 内,过点 E (0, 1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形

ABCD 的面积为 (
A.5√2
答案: B 解析: 圆的圆心坐标是

)
B.10√2 C.15√2 D.20√2

E (0, 1) 的最短弦长等于

? ,且点 E (0, 1) 位于该圆内,由平面几何可知,过点 (1, 3) ,半径是 √? 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? |AC | = 2√10 ? (1 2 + 2 2 ) = 2√5



?. |BD| = 2√? 10

|BD| = 2√10 .
又 AC ⊥ BD ,因此四边形 ABCD 的面积等于

1 1 ? |AC | × |BD| = × 2√5 × 2√? 10 = 10√2 . 2 2

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