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1.2.1任意角的三角函数第一课时(教案)


必修 4 第一章 三角函数

1.2.1 任意角的三角函数(一)
一、教学目标: (1)借助单位圆理解任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括从任意角三 角函数的定义认识其定义域和函数值在各象限的符号) ; (2)理解任意角的三角函数不同的定义方法; (3)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 (4)通过用单位圆上的点的坐标定义三角函数的过程体现化归思想,用一 般的函数概念指导三角函数研究的思想。 二、教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义 教学难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数;三角函数中的对应关系。 教学过程: (一)创设情境 1、提问:锐角 ? 的正弦、余弦、正切怎样表示? 2、引入:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。那 如今我们学习任意角,你能用直角坐标系中角 的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图 , 设锐角 ? 的顶点与原点 O 重合 , 始 边与 x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一 象限 . 在 ? 的终边上任取一点 P(a, b) , 它与原 点的距离 r ? a 2 ? b2 ? 0 .过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M , 则线段 OM 的长度为 a , 线段 MP 的长度为 b .则 MP b OM a sin ? ? ? ; cos ? ? ? ; OP r OP r MP b tan ? ? ? . OM a 3、思考:对于确定的角 ? ,这三个比值是否会随点 P 在 ? 的终边上的位置 的改变而改变呢? (结合相似三角形知识,说明三个值与终边上点的位置无关) 显然,我们可以将点取在使线段 OP 的长 r ? 1 的特殊位置上,这样就可以得
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y a角的终 边 P T 房 间 M 号A x ( )

O

必修 4 第一章 三角函数

到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数: MP OM MP b sin ? ? ? b ; cos ? ? ? a ; tan ? ? ? 。 OP OP OM a 思考:上述锐角 ? 的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角 的概念推广以后, 我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到 任意角呢?本节课就研究这个问题――任意角的三角函数。 (二)探究新知 1.探究: 结合上述锐角 ? 的三角函数值的求法, 我们应如何求解任意角的三 角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为 1,然 后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了。 所以, 我们在此引入单位圆的定义: 在直角坐标系中,我们称以原点 O 为圆心,以单位长度为半径的圆。 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设 ? 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x, y ) ,那么: ( 1) y 叫做 ? 的正弦,记做 sin ? ,即 sin ? ? y ; (2) x 叫做 ? 的余弦,记做 cos? ,即 cos? ? x ; y y (3) 叫做 ? 的正切,记做 tan ? ,即 tan ? ? ( x ? 0) 。 x x 注意:既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点 P( x, y ) ,从而 就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如 何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点 P 在终边上的位置无关,仅与角的大 小有关。我们只需计算点到原点的距离 r ? x 2 ? y 2 , 那么 sin ? ?
y x2 ? y2

, cos ? ?

x x2 ? y2

, tan ? ?

y 。 x

4.提问:你能解释一下定义中的对应关系? 三角函数是以角的弧度数为自变量, 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函 数值的函数, 又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数 也可以看成实数为自变量的函数。

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必修 4 第一章 三角函数

(三)例题解析 5? 例 1. 求 的正弦、余弦和正切值。 3 例 2. 已知角 ? 的终边过点 P0 (?3, ?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值. 教材给出这两个例题,主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝 试其他方法: 如例 2:设 x ? ?3, y ? ?4, 则 r ? (?3) 2 ? (?4) 2 ? 5 . 于是 sin ? ?
y 4 x 3 y 4 ? ? , cos ? ? ? ? , tan ? ? ? . r 5 r 5 x 3

巩固练习 P15 第 1,2 题 (五)学习小结 本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?你能用定义准备求出任意角 的三角函数值吗? 作业布置 教材第 20 页 习题 1.2 A 组 八、板书设计
1.2.1 任意角的三角函数(一) 1、锐角的正弦余弦和正切 2、任意角的三角函数 单位圆 非单位圆 3、例题解析 4、练习巩固

第2题

六、教学反思

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