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2014高考广东卷文科数学真题及答案解析


2014 高考广东卷文科数学真题及答案解析
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5?,则 M ? N ( )

A. ?0,2?

B.

?2,3?

C. ?3,4? )

D. ?3,5?

(2)已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? ( A. ? 3 ? 4i B. ? 3 ? 4i C. 3 ? 4i

D. 3 ? 4i ) D. (4,3)

? ? ? ? (3)已知向量 a ? (1,2), b ? (3,1) ,则 b ? a ? (
A. (?2,1) B. (2,?1) C. ( 2,0)

?x ? 2 y ? 8 ? (4)若变量 x, y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于( ?0? y?3 ?
A. 7 B. 8 C. 10 5.下列函数为奇函数的是( )
x A. 2 ?



D. 11
2 x D. x ? 2

1 2x

3 B. x sin x

C. 2cos x ? 1

6.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分 段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20

i n A?s i n B” 7.在 ?ABC 中, 角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则 “a ? b ” 是 “s 的 (
A.充分必要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件



8.若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 16 5 ? k 16 ? k 5
D.焦距相等



A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等

9.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2∥l3 , l3 ? l4 , 则下列结论一定正确 的是( A. l1 ? l4 ) B. l1∥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定

10.对任意复数 w1 , w2 , 定义 ?1 ??2 ? ?1?2 , 其中 ?2 是 ?2 的共轭复数,对任意复数 z1, z2 , z3

有如下四个命题: ① ( z1 ? z2 ) ? z3 ? ( z1 ? z3 ) ? ( z2 ? z3 ); ② z1 ? ( z2 ? z3 ) ? ( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z3 ) ; ③ ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ); ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11—13 题) 11.曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 ? 0, ?2 ? 处的切线方程为________. 12.从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同字母,则取字母 a 的概率为________. 13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 +log2 a4 +log2 a5 = ________.
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 与 C2 的 方 程 分 别 为

2? cos2 ? ? sin ? 与 ? cos? ? 1 ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 的直角坐标为________ 15.( 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 1 , 在 平 行 四 边 形 A B C D中 , 点 E 在 AB 上 且

EB ? 2 AE, AC 与 DE 交于点 F 则

?CDF的周长 ? ______ ?AEF的周长

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1) 求 A 的值; (2) 若 f (? ) ? f (?? ) ? 3, ? ? (0, 17(本小题满分 13 分)

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

?
2

) ,求 f (

?
6

?? )

某车间 20 名工人年龄数据如下表: 年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

(1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3) 求这 20 名工人年龄的方差.

18(本小题满分 13 分) 如图 2,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图 3 折叠,折痕 EF∥DC. 其中点 E, F 分别在线段 PD, PC 上, 沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M, 并且 MF⊥CF. (1) 证明:CF⊥平面 MDF (2) 求三棱锥 M-CDE 的体积.

19.(本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足
2 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? .

?

?

?

?

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

20(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5,0 ,离心率为

?

5 。 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P?x0 , y0 ?为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 3

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, )

1 2

1 1 ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2

参考答案 选择题 1-5BDBCA 填空题 11. 5 x ? y ? 2 ? 0 12. 13. 5 14. ?1, 2 ? 15. 3 解答题 16.(1) 6-10 CADDB

2 5

5? 3 2 )? . 3 12 2 5? 5? ? 3? 2 3 2 ? f ( ) ? A sin( ? ) ? A sin ? A? ? . 12 12 3 4 2 2 ? A ? 3. ? f ( x) ? A sin(x ? ),且f (

?

(2)

? f ( x) ? 3 sin(x ?

?
3

),且f (? ) ? f (?? ) ? 3.

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ?

?
3

) ? 3 sin(?? ?

?
3

)

?? ? ?? ? ? ? ?? ? 3?? sin ? cos ? cos? sin ? ? ? sin cos? ? cos sin ? ?? 3 3? ? 3 3 ?? ?? ? 3 ? 2 sin ? cos ? sin ? ?

?
3

? 3 sin ? ? 3.

3 ? .且? ? (0, ) 3 2 6 ? cos? ? 1 ? sin 2 ? ? . 3 ? ?? ?? ?? ? ? f ( ? ? ) ? 3 sin ? ? ? ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 3 cos? ? 6 6 3? ?6 ?2 ?

17. 解: (1)由图可知,众数为 30.极差为:40-19=21. 1 2 3 9 888999 000001111222

4 1 (2)根据表格可得:

19 ? 28? 3 ? 29 ? 3 ? 30 ? 5 ? 31? 4 ? 32 ? 3 ? 40 ? 30 20 1 ?19 ? 30?2 ? 3?28 ? 30?2 ? 3?29 ? 30?2 ? 5?30 ? 30?2 ? 4?31? 30?2 ? ?41? 30?2 ?s2 ? 20 ? 13.05 x?

?

?

18.解:证明: (1)

? PD ? 面ABCD, 且P D ? 面PCD. ? 面PCD ? 面ABCD, 交线为CD. 又 ?四边形ABCD为矩形,AD ? CD, AD ? 面ABCD ? MD ? 面PCD, 又由于CF ? 面PCD ? MD ? CF . ? MF ? CF , 且MD ? MF ? M ? CF ? 面MDF

解: (2)

? MD ? 面PCD 1 ?VM ?CDE ? ? S ?CDE ? MD. 3 ? CF ? 面MDF , DF ? 面MDF. ? CF ? DF ? 在RT?PCD中,CD ? 1, PC ? 2 ? ?PCD ? 60?, 且CD ? 1 1 1 3 ? CF ? , 故PF ? 2 ? ? . 2 2 2 3 ? MF ? . 2 又 ? CF ? MF , 故利用勾股定理得: CM ? 10 2

19.解: (1)由

? 在RT?MDC中,CM ?

10 6 , CD ? 1, 得DM ? . 2 2 又 ? F点位于CP的三分点, 且PD ? 3

3 . 4 1 1 3 3 ? S ?CDE ? CD ? DE ? ? 1? ? . 2 2 4 8 1 2 ?VM ?CDE ? S ?CDE DM ? . 3 16 ? E为PD的三分点,故DE ?
2 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? ,令 n ? 1 ,得 S12 ? (?1)S1 ? 6 ? 0 ,
2 即 a1 ? a1 ? 6 ? 0 .解得 a1 ? 2 或 a1 ? ?3 ,由于数列 ?an ? 为正项数列,所以 a1 ? 2 ;

?

?

?

?

2 (2)由 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? ,因式分解得 ? Sn ? 3? Sn ? n 2 ? 2n ? 0

?

?

?

?

?

?

由数列 ?an ? 为正项数列可得 Sn ? n2 ? 2n ? 0 ,即 Sn ? n2 ? 2n ,当 n ? 2 时,
2 an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 2n ? ?? n ? 1? ? 2 ? n ? 1?? ? 2n ,由 a1 ? 2 可得, ?n ? N ? , an ? 2n ? ?

(3)由(2)可知

1 1 ? an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1?

?n ? N ?

1 1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? ? an ? an ? 1? 2n ? 2n ? 1? ? 2n ? 1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?

当 n ? 1 时,显然有

1 1 1 ? ? ; a1 ? a1 ? 1? 6 3

当 n ? 2 时,

1 1 ? ? a1 ? a1 ? 1? a2 ? a2 ? 1?

?

1 an ? an ? 1?
?
1 1 1 ? 1 1 1 ? ? = 3 ? 2 ? 2n ? 1 ? 3 2n ? 1 2 n ? 1 ?

?

1 1?1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ? 3 5 5 7

所以,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

c 5 ? 得:a ? 3, b ? 2. a 3 20.解: (1) x2 y2 椭圆方程为: ? ?1 9 4 由c ? 5 , e ?

设两个切点分别为 A、B
(2) ①当两条切线中有一条斜 率不存在时,即 A、B两点分别位于

椭圆长轴与短轴的端点 ,P点坐标为(? 3,?2)

②当两条 切线斜率均存在时, 设椭圆切线斜率为 k,过点P的椭圆切线方程为 y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? y - y 0 ? k ( x ? x0 ) ? 联立? x 2 y 2 ,得 ? ? 1 ? 4 ?9 2 2 2 2 (9k ? 4)x ? (18ky0 ? 18k 2 x0 ) x ? 9k 2 x0 ? 18kx0 y 0 ? 9 y 0 ? 36 ? 0
2 2 △? 0 ? 9k 2 ? 4 ? (kx0 ? y 0 ) 2 ? ( x0 ? 9)k 2 ? 2 x0 y 0 k ? y 0 ?4?0 2 y0 ?4 2 x0 ? 9

设PA、PB斜率分别为k1、k 2,则k1 ? k 2 ?

2 y0 ?4 又PA、PB互相垂直, ? k1 ? k 2 ? 2 ? -1 x0 ? 9 2 2 化简得x0 ? y0 ? 13 (x0 ? ?3)

2 2 又 ? P(? 3,?2)在x0 ? y0 ? 13上

?点P在圆x 2 ? y 2 ? 13上.
1 3 f ' x ? x2 ? 2 x ? a f ' ? x? ? 0 x ? x 2 ? ax ? 1 ,求导得 ? ? ,令 3

21.解: (1)由 f ? x ? ?

即 x 2 ? 2 x ? a ? 0 , ? ? 4 ? 4a ,
' ① 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时, f ? x ? ? 0 恒成立, f ? x ? 在 R 上单调递增;

② 当 ? ? 0 ,即 a ? 1 时,方程 x2 ? 2 x ? a ? 0 的两根分别为:

x1 ? ?1 ? 1 ? a , x2 ? ?1 ? 1 ? a ,

? 当 x ? ? ?1 ? 当 x ? ? ?1 ?

当 x ? ??, ?1 ? 1 ? a , f

?

'

? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增;

1 ? a , ?1 ? 1 ? a , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减; 1 ? a , ?? , f ' ? x ? ? 0, f ? x ? 单调递增。

?

?

(3) 当 a ? 0 时,由(1) ,令 x1 ? ?1 ? 1 ? a ? 1 ,解得 a ? ?3 . ①当 a ? ?3 时,1 ? ?1 ? 1 ? a ,由(1)的讨论可知 f ? x ? 在 ? 0,1? 上单调递减,此时 不存在 x0 ? ? 0, ? ? ?

? ?

1? 2?

?1 ? ?1? ,1? ,使得 f ? x0 ? ? f ? ? ?2 ? ?2?

②当 ?3 ? a ? 0 时, 在 ?1 ? 1 ? a ,1 1 ? ?1 ? 1 ? a , f ? x ? 在 0, ?1 ? 1 ? a 递减, 递增, f ?1? ? f ?

?

?

?

?

1 1 25 ?1? 1 ,依题意,要 f ? x ? 存在 x0 ? (0, ) ( ,1) ,使得 ?? a? 2 2 24 ?2? 2

1 25 25 ?1? 1 f ( x0 ) ? f ( ) , 只 需 f ?1? ? f ? ? ? a ? ,于是有 ?0 , 解 得 a?? 2 12 24 ?2? 2 ? 25 ? a ? 0 即为所求。 12


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