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高2013级理科数学高二下期期末复习学案 专题八(答案)


泸州高中高 2013 级理科数学高二下期期末复习学案

专题八
一、知识梳理:

导数的基本问题(答案)

1、函数 y ? f ? x ? 从 x1 到 x 2 的平均变化率: ?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? . ?x x2 ? x1

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) . ?x 3、函数 y ? f ? x ? 在 x ? x0 处的导数的几何意义是曲线 y ? f ? x ? 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率.
2、导数的定义: y ? f ? x ? 在点 x 0 处的导数记作 y?
x ? x0

? f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

4、导数的物理意义:质点做直线运动的位移 S 是时间 t 的函数 S (t ) ,则 V ? S ?(t ) 表示瞬时速度, a ? v ?(t ) 表示瞬时加速度。 5、常见函数的导数公式:
' ①C ? 0 ;

② ( x n ) ' ? nxn?1 ; ④ (cos x) ' ? ? sin x ; ⑥ (e ) ? e ;
x ' x
' ⑧ (ln x ) ?

③ (sin x) ' ? cos x ; ⑤ (a ) ? a ln a ;
x ' x
' ⑦ (log a x) ?

1 ; x ln a

1 x

6、导数运算法则: (1) [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) ; (2) [Cf ( x)]? ? Cf ?( x) (C 为常数) ; ? ? (3) [ f ( x) g ( x)] ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ; f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? ( g ( x) ? 0) (4) [ g ( x) g 2 ( x)

? ? yu ? ? ux ?. 7、复合函数的导数:若 y ? f (u ),u ? g ( x) ,则 yx
8、函数的单调性: 在某个区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递增;若 f ? ? x ? ? 0 , 则函数 y ? f ? x ? 在这个区间内单调递减. 9、求函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤: (1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数 y ? f ( x) ;
' '

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间;
' '

(4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间. 10、求函数 y ? f ( x) 的极值的方法:解方程 f ? ? x ? ? 0 ,当 f ? ? x0 ? ? 0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值. 11、求函数 y ? f ( x) 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤: (1)求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b ? 内的极值; (2)将函数 y ? f ? x ? 的极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

1

泸州高中高 2013 级理科数学高二下期期末复习学案 二、例题选讲: 1. f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数, f ?( x ) 的图象如右图所示,则 f ( x ) 的图象只可能是( D )

A

B

C

D

2.判断函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( C )

, ) C. (? ,2? ) D. (0, ? ) 2 2 ' 3. 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ?1) f ( x) ? 0 ,则必有( C ) A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ? 2 f (1)
A. (

? 3?
2 , 2

)

B. ( ?

? ?

2 x a 4.已知 f ( x) ? a x ,则 f ' (1) ? a ln a ? a

.

5.函数 f ( x) ? x 2 ? e x 的单调递增区间是 (-∞,-2),(0,+ ∞) . 6.已知函数 f ( x) ? x ? 3x ? 2 ,对任意 x1 , x2 ?[?1,3] , | f ( x1 ) ? f ( x2 ) | 的最大值是
3 2

4

.

7.已知直线 l1 为曲线 y ? x 2 ? x ? 2 在点 (0, ?2) 处的切线, l 2 为该曲线的另一条切线,且 l1 ? l 2 (Ⅰ)求直线 l 2 的方程; (Ⅱ)求由直线 l1 , l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

解: (Ⅰ)设直线 l1 的斜率为 k1 ,直线 l2 的斜率为 k 2 ,

y ' ? 2 x ? 1 ,由题意得 k1 ? y ' |x ?0 ? 1,得直线 l1 的方程为 y ? x ? 2
? l1 ? l2 ? k2 ? ? 1 ? ?1 k1
王新敞
奎屯 新疆

令2 x ? 1 ? ?1, 得x ? ?1 , 将x ? ?1代入y ? x2 ? x ? 2, 得y ? ?2
? l2 与该曲线的切点坐标为 A(?1, ?2), 由直线方程的点斜式得直线 l 2 的方程为: y ? ? x ? 3
(Ⅱ)由直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 ,令 y ? 0得:x=2 由直线 l 2 的方程为 y ? ? x ? 3 ,令 y ? 0得:x= ? 3 由?
王新敞
奎屯 新疆

? y ? x?2 5 得: y ? ? 2 ? y ? ?x ? 3
2

泸州高中高 2013 级理科数学高二下期期末复习学案 设由直线 l1 , l 2 和 x 轴所围成的三角形的面积为 S,则: s ?

1 5 25 . ? ? ? [2 ? (?3)] ? 2 2 4

8.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,过曲线 y ? f ( x) 上的点 P(1, f (1) ) 的切线方程为 y ? 3x ? 1 , (1)若 y ? f ( x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x)的表达式; (2)在(1)的条件下,求 y ? f ( x) 在 [?3 , 1] 上最大值; (3)若函数 y ? f ( x) 在区间 [?2, 1] 上单调递增,求 b 的取值范围. 解: (1)

由f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c求导数得 : f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b 过y ? f ( x)上点P (1, f (1))的切线方程为: y ? f (1) ? f ?(1)(x ? 1)即y ? (a ? b ? c ? 1) ? (3 ? 2a ? b)(x ? 1) 而过y ? f ( x)上P (1, f (1))的切线方程为: y ? 3 x ? 1

?3 ? 2a ? b ? 3 故? ?a ? b ? c ? 2 ? 1
? ?4a ? b ? ?12?? (3)

?2a ? b ? 0??(1) 即? ?a ? b ? c ? 3??(2)

? y ? f ( x)在x ? ?2时有极值, 故f ?(?2) ? 0 由(1)(2)(3)相联立解得a ? 2, b ? ?4, c ? 5 f ( x) ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 5
(2) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 3x 2 ? 4x ? 4 ? (3x ? 2)(x ? 2) [?3,?2) 2 (?2, ) x -2 3
2 3

2 ( ,1] 3

x?

f ?( x)
f ( x)

b ? 1时, f ?( x) 小 ? f ?(1) ? 3 ? b ? b ? 0 ? b ? 6 + 0 - 0 6
极大 极小

+

f ( x)极大 ? f (?2) ? (?2) 3 ? 2(?2) 2 ? 4(?2) ? 5 ? 13
? f ( x)在[?3,1] 上最大值为 13 f (1) ? 13 ? 2 ?1 ? 4 ?1 ? 5 ? 4 (3) y ? f ( x)在区间 [?2,1] 上单调递增
又 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b,由(1)知2a ? b ? 0
2

? f ?( x) ? 3x 2 ? bx ? b

依题意 f ?( x)在[?2,1]上恒有f ?( x) ? 0,即3x ? bx ? b ? 0在[?2,1] 上恒成立. ①在

b ? ?2时, f ?( x) 小 ? f ?(?2) ? 12 ? 2b ? b ? 0 ? b ? ? 6 b 12b ? b 2 ? 0 则0 ? b ? 6. ③在 ? 2 ? ? 1时, f ?( x) 小 ? 6 12
②在 x ? 综合上述讨论可知,所求参数 b 取值范围是:b≥0. 三、课后巩固: 1.函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数 f ?( x ) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f ( x) 在 开区间 ( a, b) 内有极小值点( A )
y

y ? f ?( x)

b

3

a

O

x

泸州高中高 2013 级理科数学高二下期期末复习学案 A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调,则实数 a 的取值范围是( C A.a≥0 B.a<-4 C.a≥0 或 a≤-4 D.a>0 或 a<-4 )

3.曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 8 ? 0 的最短距离是( B ) A. 5 B. 2 5 C. 3 5 D.0

4.函数 f ( x) ? x ln x 的单调递减区间是 ( 0, ) .

1 e

5.已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 f ' (1) , 则 f ' (2) ?
2

0

.

6.一物体做直线运动的方程为 s ? 1 ? t ? t , s 的单位是 m , t 的单位是 s ,该物体在 3 秒末的瞬时 速度是 5m / s . 7.在函数 y ? x ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于
3

? 的点中,坐标为整数的点的个数 3 . 4
(3) y ?
2

8.求下列函数的导数: (1) y ? (2 x 2 ? 1)(3x ? 1) 解: (1) y ? ? 18x ? 4 x ? 3 ,
2

(2) y ? x 2 sin x

cos 2 x sin x ? cos x

(2) y ? ? 2 x sin x ? x cos x ;

(3) y ? ? sin x ? cos x . 9.已知函数 f ( x) ? ax ln x ? bx ? c (x>0)在 x = 1 处取得极值 ? 3 ? c ,其中 a , b, c 为常数。
4 4

(1)试确定 a , b 的值;

(2)讨论函数 f(x)的单调区间。

解: (I)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 .
3 4 又对 f ( x ) 求导得 f ' ? x ? ? 4ax ln x ? ax ?

1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 .
3 (II)由(I)知 f ?( x) ? 48x ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为减函数;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数.

1) ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ? ∞) . 因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,

4


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