河南省实验中学2013-2014高二上期期中文科

河南省实验中学 2013——2014 学年上期期中试卷
高二 文科数学 命题人 李红霞
（时间：120 分钟，满分：150 分）
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a sin A ? c sin C ? 2a sin C ? b sin B ． 则

?B ? （
A．

） B．
2

?
6

?
4
2 2

C．

?
3

D． )

3? 4
D．不能确定

2．在△ABC 中，若 sin A＋sin B＜sin C，则△ABC 的形状是( A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形

3．已知点 (?2,1) 和点(1,1)在直线 3 x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是（ ） A． (??,?8) ? (1,??) B．(-1,8) C．(-8,1) D． (??,?1) ? (8,??)

4 ． ?ABC 中，角 A 、 B 、 C 所以的边为 a 、 b 、 c ， 若 a ? 3 ， C ? 120? ， ?ABC 面积

S ?ABC ?
A. 5

15 3 ，则 c ? （ ） 4
B. 6 C.

39

D. 7

5．在 △ ABC 中，若 sin 2 A ? sin B ? sin C 且 (b ? c ? a )(b ? c ? a ) ? 3bc ，则该三角形的形状 是( ) A．直角三角形

B．钝角三角形

C．等腰三角形

D．等边三角形 )

6.已知等比数列{an}，且 a 4 ? a8 ? ?2 ,则 a 6 (a 2 ? 2a 6 ? a10 ) 的值为(

A . -9

B. 4

C. 6

D. 8

7．等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a9 ? a21 的值为常数,则下列各数中也是常数的是 ( ). A. S 21 B. S 22 C. S 23 D. S 24 S ）

8．已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 ， an ?1 ?

an ? 3 (n ? N* ) ，则 a 2013 等于（ 3an ? 1
C． 0 D． ? 3

A． 3

B．

3 2

9．若 a, b ? R ，且 ab ? 0 ，则下列不等式中，恒成立的是（ A. a ? b ? 2 ab

） D. a 2 ? b 2 ? 2ab

B.

1 1 2 ? ? a b ab

C.

b a ? ?2 a b

10．若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 在区间 ?1,5? 上有解，则实数 a 的取值范围为 （ ） A． ( ?

23 ,??) 5

B． [?

23 , 1] 5

C．(1,+∞)

D． (??,?1)

?2 x ? y ? 2 ? 0 y?1 ? 11．设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ，则 s ? 的取值范围是（ x ? 1 ?x ? y ?1? 0 ?
A． [1, ]

）

3 2

B． [ ,1]

1 2

C ． [1, 2]

D． [ , 2] ）

1 2

12． 已知 a ? b ? c 且

4 1 k ? ? ? 0 恒成立，则 k 的最大值是（ a?b b?c c?a

A、4 B、 8 C、9 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）

D、25

? x ? y ? 1 ? 0, ? 13．若实数 x，y 满足 ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? y ? 1 ? 0, ?

。

14．已知等比数列 ?a n ? 的首项 a1 ? 1, 公比 q ? 2 ，则 log 2 a1 ? log 2 a 2 ? ? ? log 2 a11 ?

15．在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c，并且 a＝1，b＝ 3 ，A＝30°，则 c 的值为 16. 已知 x ? 0 ， y ? 0 ， x ? 2 y ? 2 xy ? 8 ，则 x ? 2 y 的最小值是

三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17 ． （ 本 小 题 满 分 10 分） 在 ?ABC 中 ， 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c ， 已 知 a c ? ， 3 cos A sin C （Ⅰ）求 A 的大小；

18． （本小题满分 12 分）求不等式 12 x ? ax ? a (a ? R ) 的解集
2 2

19． （本小题满分 12 分） 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3, an ?1 ? 3an ? 3n ( n ? N * ) ，数列 {bn } 满足 bn ? （Ⅰ）证明数列 {bn } 是等差数列并求数列 {bn } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

an . 3n

20． （本小题满分 12 分） 在 ?ABC 中， 2 2 (sin 2 A ? sin 2 C ) ? (a ? b) sin B ,外接圆半径为 2 。 （1） ：求角 C; （2） ：求 ?ABC 面积的最大值

21． （本小题满分 12 分） 如图某市现有自市中心 O 通往正西和北偏东 30°方向的两条主要公路，为了解决该市交通拥 挤问题，市政府决定修建一条环城公路．分别在通往正西和北偏东 30°方向的公路上选用 A、 B 两点，使环城公路在 A、B 间为直线段，要求 AB 路段与市中心 O 的距离为 10 km，且使 A、B 间的距离|AB|最小．请你确定 A、B 两点的最佳位置．

第 21 题图

22． （本小题满分 12 分）已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，点 (n,

Sn 1 11 ) 在直线 y ? x ? 上. n 2 2

数列 ?bn ?满足 bn ? 2 ? 2bn ?1 ? bn ? 0(n ? N * )且 b3 ? 11 ，前 9 项和为 153. （Ⅰ）求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式； （Ⅱ）设 cn ?

k 3 ，数列 ?cn ? 的前 n 和为 Tn ，求使不等式 Tn ? 对一切 57 (2an ? 11)(2bn ? 1)

都成立的最大正整数 k 的值.

河南省实验中学 2013——2014 学年上期期中答案
高二 文科数学
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） BCCD DBAA CADC 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． 1 14： 55 15．1 或 2 16．4 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17． （本小题满分 10 分） a c a ? ? 解： （Ⅰ）由条件结合正弦定理得， 3 cos A sin C sin A 从而 sin A ? 3 cos A ， tan A ? 3 ∵ 0 ? A ? ? ，∴ A ?

?
3

5分

（Ⅱ）法一：由已知： ? S ? 9 3
2 2

1 3 ? bc sin 60 0 ? bc ? 9 3 2 4
0 2

bc ? 36

由余弦定理得： 36 ? b ? c ? 2ab cos 60 ? (b ? c) ? 3ab

? b ? c ? 12

b?c?6

…………………..10 分

18． （本小题满分 12 分） 解： 12 x ? ax ? a (a ? R )
2 2

?12 x 2 ? ax ? a 2 ? 0 , (4 x ? a )(3 x ? a ) ? 0 ……………………3 分

a a 令(4 x ? a )(3 x ? a ) ? 0 ? x ? ? , x ? 4 3

(1)a ? 0时， ? (2)a ? 0时， ? (3)a ? 0时， ?
综上可知：

a a a a? ? 。 。 。 。 。6 分 ? ，不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ? ? 。 4 3 4 3? ? a a 。 。 。 。 。8 分 ? ，不等式的解集为 ?x x ? R且x ? 0?。 4 3 a a a a? ? 。 。 。 。 。 。11 分 ? ，不等式的解集为 ? x x ? 或x ? ? ? 。 4 3 3 4? ?

a a? ? (1)a ? 0时， 不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ? ? 4 3? ?

(2)a ? 0时， 不等式的解集为 ?x x ? R且x ? 0?
a a? ? (3)a ? 0时， 不等式的解集为 ? x x ? 或x ? ? ? 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 3 4? ?
19． （本小题满分 12 分） 解： （I）证明：由 bn ? ∴ bn ?1 ? bn ?

an ?1 3n ?1

an an ?1 ，得 bn ?1 ? n ， n 3 3 ?1 an 1 ? n ? 3 3 1 ………….3 分 3

所以数列 ?bn ? 是等差数列，首项 b1 ? 1 ，公差为 ∴ bn ? 1 ?

1 n?2 ……………………….5 分 (n ? 1) ? 3 3

（II） an ? 3n bn ? (n ? 2) ? 3n ?1

…………………..7 分

? S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 3 ?1 ? 4 ? 3 ? ? ? ( n ? 2) ? 3n ?1 ----①
? 3S n ? 3 ? 3 ? 4 ? 32 ? ? ? ( n ? 2) ? 3n -------------------②……………….8 分
①-②得 ?2 S n ? 3 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ?1 ? ( n ? 2) ? 3n

? 2 ? 1 ? 3 ? 32 ? ? ? 3n ?1 ? ( n ? 2) ? 3n

?

3n ? 3 ? (n ? 2) ? 3n 2 ………………………………….11 分 3n ? 3 (n ? 2)3n (2n ? 3)3 n ? 3 ? ? 4 2 4 …………..12 分

? Sn ? ?

考点：等差数列的证明以及通项公式和前 n 项和公式、错位相减的求和 20． （本小题满分 12 分） 解： （1）由 2 2 sin 2 A ? sin 2 C ? ?a ? b ? ? sin B 得

?

?

? a2 c2 2 2? ? ? 4R 2 4R 2 ?
又因为 R= 2 ，

? b ? 。 。 。 。 。3 分 ? ? (a ? b) 2 R ,.。 ?

故 a 2 ? c 2 ? ab ? b 2 ，? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab

? cos C ?

a2 ? b2 ? c2 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 ? 2ab 2

又? 0? ? C ? 180? ，? C= 60? '.。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 （注：没有 0? ? C ? 180? 扣一分）

S?
（2）方法一：

1 1 3 ab sin C ? ? ab ? 2 3 sin A sin B = 2 3 sin A sin ?120? ? A? 2 2 2
2

= 2 3 sin A?sin 120? cos A ? cos120? sin A? = 3 sin A cos A ? 3 sin A

=

3 3 3 3 = 3 sin ?2 A ? 30?? ? sin 2 A ? sin 2 A cos 2 A ? 2 2 2 2
3 3 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

? 当 2A= 120? ，即 A= 60? 时， S max ?
方法二：? c ? 2 R sin C ?

6

c 2 ? 6 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 2ab ? ab ? ab

? ab ? 6

S?

1 3 3 3 3 ab sin C ? ab ? ?6 ? 2 4 4 2

S max ?

3 3 2

21． （本小题满分 12 分）

第 21 题图 【答案】如图，令|OA|＝a，|OB|＝b，则在△AOB 中，∠AOB＝120°. …………2 分 ∴

? ? |OC||AB|＝ absin120°. ? ?

∴|AB|＝

3ab . 20

① …………………………………………………………4 分

又由余弦定理，

| ② 由①②知 …………………6 分

?a ?b ? ≥3ab. ???
③ ……………………………………………8 分

∵ab＞0，∴ab≥400 ③代入①得|AB|＝

?ab ≥20 ? ． ??

当 a＝b 时|AB|取得最小值．…………………………………………………10 分 而 a＝b 时，△AOB 为等腰三角形， ∴∠OAB＝∠OBA＝30°. ∴a＝b＝20. ∴A、B 两点的最佳位置是距市中心 O 均为 20km 处. ………………………12 分 22．(本小题满分 12 分) 解： （1）∵点 在直线 上，

∴

∴Sn= 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。1 分

∴n≥2 时，an=Sn﹣Sn﹣1=n+5， 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 n=1 时，a1=6 也符合 ∴an=n+5； 。 。 。 。 。 。 。5 分 ∵bn+2﹣2bn+1+bn=0，∴bn+2﹣bn+1=bn+1﹣bn， ∴数列{bn}是等差数列∵其前 9 项和为 153．

∴b5=17∵b3=11，∴公差 d= ∴bn=b3+3（n﹣3）=3n+2； （2）

=3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 = （ ）

∴Tn= （1﹣ + ﹣ +…+

）=

=

． 。 。 。 。 。 。 。10 分

Tn ?

k 57

得 57Tn ? k ?

57 n 57 ?k k ? ? 19 2n ? 1 3 ，

?k
的最大值为 18。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 考点：等差数列和数列的求和 点评：主要是考查了等差数列和裂项法求和的运用，属于中档题。