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北师大版数学选修2-2综合测试题1 (理科)


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北师大版数学选修 2-2 综合测试题 1 (理科)
班级_______学号_____ 姓名__________

温馨提示: 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.函数 y=x2cosx 的导数为( ) 2 (A) y′=2xcosx-x sinx (B) y′=2xcosx+x2sinx (C) y′=x2cosx-2xsinx (D) y′=xcosx-x2sinx 2.下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (C)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 (D)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值
* 3. 某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( ) n ? 6 n ? 6 (A)当 时,该命题不成立 (B)当 时,该命题成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立 3 4.函数f ( x) ? 3x ? 4 x ( x ? [0,1])的最大值是( ) 1 ( A)1 ( B) (C )0 ( D) ? 1 2 5.如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm,为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离 平衡位置 6cm 处,则克服弹力所做的功为( ) (A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J 6.给出以下命题:

⑴若

?

b a

f ( x)dx ? 0

,则 f(x)>0;

? sin xdx ? 4 ; ⑵ 0 ⑶ f(x) 的 原 函 数 为 F(x) , 且 F(x) 是 以 T 为 周 期 的 函 数 , 则
; 其中正确命题的个数为( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 2 (a ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i(a ? R) 7.若复数 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( (A) a ? ?1 或 a ? 2 (B) a ? ?1 且 a ? 2 (C) a ? ?1 (D) a ? 2

2?

?

a 0

f ( x)dx ? ?

a ?T T

f ( x)dx

)

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1? 1? x x 8.设 0< a <b,且 f (x)= ,则下列大小关系式成立的是( ). a?b a?b (A)f ( a )< f ( 2 )<f ( ab ) (B)f ( 2 )<f (b)< f ( ab ) a?b a?b (C)f ( ab )< f ( 2 )<f ( a ) (D)f (b)< f ( 2 )<f ( ab )

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
一、选择题: 题号 1 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上 9.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y∈R,求 x= , y= . 3 2 10.曲线 y=2x -3x 共有____个极值. 2 3 4 5 6 7 8

?0 11.已知 f ( x) 为一次函数,且 ,则 f ( x) =_______. 12.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几 何中,类比上述命题,可以得到命题:“___________________________”这个类比 命题的真假性是________ 13.观察下列式子 1 3 1 1 5 1 1 1 7 1? 2 ? , 1? 2 ? 2 ? , 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 2 3 3 2 3 4 4 , ? ? ,
f ( x) ? x ? 2 f (t )dt
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则可归纳出________________________________ 2 , 2) ,则复数 m ? pi 14.关于 x 的不等式 mx ? nx ? p ? 0 (m、n、p ? R) 的解集为 (?1
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所对应的点位于复平面内的第________象限. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 15. (本小题满分 12 分)一物体沿直线以速度 v(t ) ? 2t ? 3 ( t 的单位为:秒, v 的单 位为:米/秒)的速度作变速直线运动,求该物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间 运动的路程?

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16. (本小题满分 12 分) 已知曲线 y = x3 + x-2 在点 P0 处的切线 l1 平行直 线 4x-y-1=0,且点 P0 在第三象限, ⑴求 P0 的坐标; ⑵若直线 l ? l1 , 且 l 也过切点 P0 ,求直线 l 的方程.

3 2 17. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? (a ?1) x ? 48(a ? 2) x ? b 的图象关于 ?4, 4? 原点成中心对称, 试判断 f ( x) 在区间 ? 上的单调性,并证明你的结论.

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18. (本小题满分 14 分)如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点, PM ? BB1 交 AA1 于点 M , PN ? BB1 交 CC1 于点 N . (1) 求证: CC1 ? MN ; (2) 在任意 ?DEF 中有余弦定理:
DE 2 ? DF 2 ? EF 2 ? 2DF ? EF cos ?DFE .

拓展到空间,类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中 两个侧面所成的二面角之间的关系式, 并予以证明.

b ? R , a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数),求 19. (本小题满分 14 分)已知 a 、 a b 证: b ? a .(提示:可考虑用分析法找思路)

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20.

( 本 小 题 满 分
1 ? af ? x ( x ? ) ( f ?( x)

14

分 ) 已 知 函 数

f ( x) ? ln x ( x ? 0) , 函 数

g(x ) ?

0 )

⑴当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式; ⑵若 a ? 0 ,函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; 2 7 y ? x? 3 6 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积. ⑶在⑵的条件下,求直线

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参考答案及评分标准
一、选择题:ABDAD BCD 二、填空题: 5 9.x= 2 , y=4; 10.两 11. f ( x) ? x ? 1 12.夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题. 1 1 1 2n ? 1 1? 2 ? 2 ??? ? 2 (n ? 1) n ? 1 (n∈N*) 13. 2 3 14.二 三、解答题:
3 3 ≤t ≤5 v ( t ) ? 2 t ? 3 ≤ 0 2 时, 15.解:∵当 ; 当2 时, v(t ) ? 2t ? 3 ≥ 0 . ∴物体从时刻 t=0 秒至时刻 t=5 秒间运动的路程 0≤t ≤
5 S ? ? (3 ? 2t )dx ? ? 3 (2t ? 3)dx 9 ? (10 ? 9 ) ? 29 4 2 (米) 2 =4 3 2 0

16.解:⑴由 y=x3+x-2,得 y′=3x2+1, 由已知得 3x2+1=4,解之得 x=±1.当 x=1 时,y=0;当 x=-1 时,y=-4. 又∵点 P0 在第三象限, ∴切点 P0 的坐标为 (-1,-4). 1 ? ⑵∵直线 l ? l1 , l1 的斜率为 4,∴直线 l 的斜率为 4 , ∵l 过切点 P0,点 P0 的坐标为 (-1,-4) 1 y ? 4 ? ? ( x ? 1) 4 ∴直线 l 的方程为 即 x ? 4 y ? 17 ? 0 . 17.解: 答 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数. 证明:∵函数 f(x)的图象关于原点成中心对称, 3 则 f(x)是奇函数,所以 a=1,b=0,于是 f(x)= x ? 48 x.

? f ?( x) ? 3x2 ? 48, ∴当 x ? (?4, 4) ? f ?( x) ? 0

?4, 4? 又∵函数 f ( x) 在 ? 上连续 所以 f(x)在[-4,4]上是单调递减函数.

18.(1) 证: ? CC1 // BB1 ? CC1 ? PM , CC1 ? PN , ? CC1 ? 平面PMN ? CC1 ? MN ; (2) 解:在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 ABB1A1 BCC1B1 其中 ? 为 平面 CC1B1B 与平面 CC1 A1 A 所组成的二面角.
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S2

? S2

2 ? S ACC ? 2SBCC B ? S ACC A cos? 1A 1
1 1 1 1



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? CC1 ? 平面PMN , ?
2 2 2

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?MNP

上 述 的 二 面 角 为
1 1

, 在

?PMN

中 ,

PM ? PN ? MN ? 2PN ? MN c ? oM s N ? P
2 2 2 PM 2CC1 ? PN 2CC1 ? MN2CC1 ? 2(PN ? CC ) ? (MN ? CC ) cos?MNP

, ,

由于 ∴有

SBCC1B ? PN ? CC , S ACC1A ? MN ? CC , S ABB1A ? PM ? BB1
1
1

1

1

1

2 S ABB 1A 1

?

2 SBCC 1B1
a

2 ? S ACC 1A 1
b

? 2SBCC B ? S ACC A cos?
1 1 1 1

.

a b 19.证明:∵ b ? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a 只要证: a ln b ? b ln a ln b ln a ? a .(∵ a ? b ? e ) 只要证 b ln x 1 ? ln x f ( x) ? f ?( x) ? x ,∵ x2 取函数 ∴当 x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴函数 f ( x) 在 (e, ??) 上是单调递减.

ln b ln a ? a .得证 ∴当 a ? b ? e 时,有 f (b) ? f (a) 即 b

f ( x) ? ln x 20.解:⑴∵ , ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x) 1 1 1 f ?( x) ? f ?( x) ? ? (?1) ? x ; 当 x ? 0 时, ?x x. ∴当 x ? 0 时, a y ? g ( x) ? x ? x. ∴当 x ? 0 时,函数 a g ( x) ? x ? x, ⑵∵由⑴知当 x ? 0 时,
∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ? a 时取等号. ∴函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a ? 2 ∴ a ? 1 . 2 7 3 ? ? y ? x? x1 ? ? x2 ? 2 ? ? ? ? 3 6 2 ? ,? ? ? 5 y2 ? ?y ? x ? 1 ? y ? 13 ? ? 2 1 6 x 解得 ? ? ? ⑶由 ? ∴直线 2 ? 2 7 1 ? S ? ? 3 ?( x ? ) ? ( x ? ) ?dx 7 ? ln 3 6 x ? = 24 2? 3
y? 2 7 x? 3 6 与函数 y ? g ( x) 的图象所围成图形的面积

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