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1.2.4


正余弦定理的应用

复习
1、正弦定理:
a ? b sin B ? c sin C ? 2R

sin A

(其中:R为△ABC的外接圆半径) 2、三角形面积公式:
S ? ABC ? 1 2 bc sin A ? 1 2 ca sin B ? 1 2 ab sin C

3、正弦定理的变形:

a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C
sin A ? a 2R , sin B ? b 2R , sin C ? c 2R

sin A : sin B : sin C ? a : b : c

4.余弦定理:
a ? b ? c ? 2 bc cos A
2 2 2

b ? a ? c ? 2 ac cos B
2 2 2

c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2

cos A ?

b ?c ?a
2 2

2

2 bc

变形

cos B ? cos C ?

c ?a ?b
2 2

2

2 ca a ?b ?c
2 2 2

2 ab

在 ? ABC 中,以下的三角关系式,在解答有关 三角形问题时,经常用到,要记熟并灵活地加以运 用:
A? B ?C ??;

sin( A ? B ) ? sin C , cos( A ? B ) ? ? cos C
A? B 2 ? cos C 2 A? B 2 ? sin C 2

sin

, cos

例 1、根据所给的条件,判
(1 a cos B ? b cos A )
解 : ) ∵ a cos B ? b cos A (1 ?
a ?c ?b
2 2 2

断 ? ABC 的形状。

(2) a cos A ? b cos B

? a ?(

) ? b ?(

b ?c ?a
2 2

2

)

2 ac

2 bc
2 2 2

?a ?c ?b ? b ?c ?a
2 2 2

? 2a ? 2b
2

2

? a ? b ? ? ABC 为等腰三角形。

法二:由 a cos B ? b cos A 得
2 R sin A cos B ? 2 R sin B cos A

? sin A cos B ? sin B cos A ? 0

即 sin A ? B )? 0 (

?A? B

解 : ) ∵ a cos A ? b cos B (2 ?
? a ?(
2

b ?c ?a
2 2

2

) ? b ?(
2 2

a ?c ?b
2 2

2

)

2 bc
2 4 4

2 ac

?a c ?a ?b c ?b ? 0
? ( a ? b )( c ? a ? b ) ? 0
2 2 2 2 2

?a ? b 或c ? a ? b ? 0
2 2 2 2 2

? a ? b或 c ? a ? b
2 2

2

? ? ABC 为等腰三角形或直角三

角形。

法二:由 a cos A ? b cos B 得
2 R sin A cos A ? 2 R sin B cos B

? sin 2 A ? sin 2 B
? 2 A ? 2B或 2 A ? ? ? 2B

即 A ? B或 A ? B ?

?
2

△ 例2:在△ABC 中已知a ? 2b cos C ,判断 ABC 的形状。
法一:由正弦定理得: a ? b sin A ? 2 b cos C sin B 2 2 2 a ?b ?c a 法 二 : 由 余 弦 定 理 得 : cos C ? ? 2 ab 2b

? ? ABC 为等腰三角形

在判断三角形形状时,主要通过三角形边或角 之间关系进行判断,将已知条件利用正弦定理统一 为角的关系,或用余弦定理统一为边的关系,有时 也可以结合两者运用。

例3 已知△ABC的三内角A、B、C成等差,而A、B、C三 内角的对边a、b、c成等比,试证明:△ABC为正三角形。 证明:∵A、B、C成等差,∴2B=A+C, 又A+B+C=180o,∴B=60o,A+C=120o ∵a、b、c成等比,∴b2=ac 又由余弦定理得:
b ? a ? c ? 2 ac cos B ? a ? c ? 2 ac cos 60
2 2 2 2 2 ?

? a ? c ? ac
2 2

? ac ? a ? c ? ac , 即 ( a ? c ) 2 ? 0
2 2

,∴a=c

又∵B=60o,∴△ABC是正三角形。

2 a 、b 是方程x ? 2 3 x ? 2 ? 0 例4 锐角三角形中,边

的两根,角 A 、 B 满足 2 sin A ? B )? (

3 ? 0,求角 C

的度数,边 c 的长度及 ? ABC 的面积。

∵ 解 :? 2 sin( A ? B )?
? A ? B ? 120
o

3 ? 0, sin A ? B )? ? (

3 2

? ∵ ? ABC 为锐角三角形

? C ? 60
2

o

? ∵ 边 a 、 b 是方程 x ? 2 3 x ? 2 ? 0的两根

? a ? b ? 2 3, ab ? 2

? c ? a ? b ? 2 ab cos C
2 2 2

?( a ? b ) ? 3 ab ? 12 ? 6 ? 6 ? c ?
2

6

? S ? ABC ?

1 2

ab sin C ?

1 2

? 2?

3 2

?

3 2

作业

课本24页A组 3—4.

B组1、2


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