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【精品课件一】22.2降次——解一元二次方程(配方法)


22.2.1 配方法

?x ? 3? ? 2 , 方程 x ? 6 x ? 9 ? 2 可以化成 _________
2
2

x ? 3 ? ? 2 ,方程的根 进行降次,得________

2 ?3 , x ? x1 ? ______ 2

_______ .

? 2 ?3

要使一块长方形场地的长比宽多6m,并且 面积为16m2,场地的长和宽应各是多少? 设场地的宽为

xm ,长 ?x ? 6?m

,列方程得

x?x ? 6? ? 16 2 即 x ? 6 x ? 16 ? 0

方程

x ? 6 x ? 16 ? 0 和方程 x ? 6 x ? 9 ? 2
2

2

有何联系与区别呢?

x 2 ? 6 x ? 16 ? 0

x 2 ? 6 x ? 16
6 2 ( 两边加9(即 2 ) ),使左边配成

移项

x2 ? 2bx ? b2 的形式

x 2 ? 6 x ? 9 ? 16 ? 9
左边写成平方形式

?x ? 3?2 ? 25
降次

x ? 3 ? ?5 x ? 3 ? ?5 ,x ? 3 ? ?5
解一次方程

x1 ? 2 , x2 ? ?8

要使一块长方形场地的长比宽多6m,并且 面积为16m2,场地的长和宽应各是多少? 设场地的宽为

xm ,长 ?x ? 6?m

,列方程得

x?x ? 6? ? 16 2 即 x ? 6 x ? 16 ? 0

x 2 ? 6 x ? 16 ? 0

x 2 ? 6 x ? 16
6 2 ( 两边加9(即 2 ) ),使左边配成

移项

x2 ? 2bx ? b2 的形式

x 2 ? 6 x ? 9 ? 16 ? 9
左边写成平方形式

?x ? 3?2 ? 25
降次

x ? 3 ? ?5 x ? 3 ? ?5 ,x ? 3 ? ?5
解一次方程

x1 ? 2 , x2 ? ?8
2 以上解法中,为什么在方程 x ? 6 x ? 16 两边加9?加其 他数行吗?

通过配成完全平方形式 来解一元二次方程的方 法,叫做配方法。

练一练
填上适当的数,使等式成立。
2 6 (1) x ? 12x ? ____ ? ?x ? 6? 2

2

2 ? ?x ? ___ (2) x ? 4x ? ____ 2 ?
2

2

2

(3) x

2

2 4 4 ? 8x ? ____ ? ?x ? ___?

2

在等式的左边,常数项和一次项 系数有什么关系?

例1:解下列方程

⑵ ⑶

x ? 8x ? 1 ? 0
2

2 x ? 1 ? 3x
2

3x ? 6 x ? 4 ? 0
2

解:(1)移项,得

x 2 ? 8 x ? ?1
配方

x 2 ? 8 x ? 42 ? ?1 ? 42

?x ? 4?
由此可得

2

? 15

x ? 4 ? ? 15

x1 ? 4 ? 15, x2 ? 4 ? 15

例1:解下列方程

⑵ ⑶

x ? 8x ? 1 ? 0
2

2 x ? 1 ? 3x
2

3x ? 6 x ? 4 ? 0
2

(2)移项,得

2 x 2 ? 3x ? ?1
二次项系数化为1,得
x
2

配方
x2 ?

3 1 ? x ?? 2 2

3 3 1 3 x ? ( )2 ? ? ? ( )2 2 4 2 4

由此可得

3 2 1 (x ? ) ? 4 16
x? 3 1 ?? 4 4

1 x1 ? 1, x2 ? 2

例1:解下列方程

⑵ ⑶

x ? 8x ? 1 ? 0
2

2 x ? 1 ? 3x
2

3x ? 6 x ? 4 ? 0
2

(3)移项,得
3x 2 ? 6 x ? ?4

二次项系数化为1,得 配方
4 x ? 2x ? ? 3
2

4 2 x ? 2x ?1 ? ? ?1 3
2 2

1 ( x ? 1) ? ? 3 所以原方程无实数根。
2

做一 做
解下列方程 (1) x 2 ? 10x ? 9
(2)
2

?0

3x ? 6 x ? 4 ? 0

(3)

x ? 4 x ? 9 ? 2 x ?11
2

解(1)移项,得 2 x ? 10x ? ?9 配方 x 2 ? 10x ? 52 ? ?9 ? 52

?x ? 5?
由此可得

2

? 16

x ? 5 ? ?4

x1 ? ?1, x2 ? ?9

(2)移项,得

3x 2 ? 6 x ? 4
4 x ? 2x ? 3
2

二次项系数化为1,得 配方

4 2 x ? 2x ?1 ? ?1 3
2 2

? x ? 1?
由此可得

2

7 ? 3

21 x ?1 ? ? 3
x1 ? ?1 ? 21 , x2 ? ?1 ? 3 21 3

(3)移项,得

x ? 2 x ? ?2
2

配方

x 2 ? 2 x ? 12 ? ?2 ? 12

?x ?1?

2

? ?1

所以原方程无实数根。

小结
这节课我们主要学习了用配方法来 解一元二次方程,那么用配方法解一元 二次方程的一般步骤是什么呢? ①移项。 ②将二次项系数化为1。 ③配方。 ④两边开平方。 ⑤求出方程的解。


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