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荷山中学2015届高三理科数学第二次月考


荷山中学 2015 届高三第二次月考数学(理科)试卷
注意事项: 1 试卷满分 150 分. 考试时间为 120 分钟,不得使用计算器; 2.用黑色钢笔或黑色签字笔答在指定位置处; 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚 第Ⅰ卷 (选择题 共 50 分)

一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置.

1.下列函数满足性质: “ f (? x) ? f ( x) ”的函数是(
A. f ( x) ? x ? 1
2. 函数 f ( x) ?


?x

B. f ( x) ? ? x2 ? 1

C. f (x ) ? x2?


2

D. f ( x) ? 2x ? 2? x

1 log 2 x ? 1

的定义域为(

A. (0, )

1 2

B. [2, ??)

C. (2,??)

D. (0, ] ? [2,?? )

1 2

3.命题“若 f ( x ) 是奇函数,则 f (? x) 是奇函数”的否命题是 A.若 f ( x ) 是偶函数,则 f (? x) 是偶函数 C.若 f (? x) 是奇函数,则 f ( x ) 是奇函数 B.若 f ( x ) 不是奇函数,则 f (? x) 不是奇函数 D.若 f (? x) 不是奇函数,则 f ( x ) 不是奇函数 ) . D. (1, 2)

4.函数 f ( x) ? 2x ? 3x 的零点所在的一个区间是( A. (?2, ?1) B. (?1,0) C. (0,1)

5.函数 f ( x) 在 x ? x0 处导数存在,若 p : f '( x) ? 0 ; q : x ? x0 是 f ( x) 的极值点,则 p 是 q 的
A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不是充分也不是必要条件 )

6.在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? xa ( x ? 0), g ( x) ? loga x 的图像可能是(

2 7.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列选项的命题中为

假命题的是( ) A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) B. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) D. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

? 1 ? 3, x ? (?1, 0] ? 8. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 且g ( x) ? f ( x) ? mx ? m在(? 1,1] 内有且仅有两个不同的零 ? x ? (0,1] ? x,
点,则实数 m 的取值范围是( A. (? )

9 1 , ?2] (0, ] 4 2 9 2 C. (? , ?2] (0, ] 4 3

11 1 , ?2] (0, ] 4 2 11 2 D. ( ? , ?2] (0, ] 4 3
B. ( ?

9.已知函数 y ? f ( x), y ? g ( x) 的导函数的图象如右下图,那么 y ? f ( x), y ? g ( x) 的图象可能是

10、当 x ?[?2,1] 时,不等式 ax3 ? x2 ? 4 x ? 3 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. [?5, ?3] B. [ ?6, ? ]



9 8

C. [?6, ?2]

D. [?4, ?3]

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11.已知集 合 U ? {2,3, 6,8}, A ? {2,3}, B ? {2, 6,8} ,则 (Cu A) ? B ? _____________ 12.若 ( x ? a)8 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? a8 x8 ,且 a5 ? 56 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? ? ? a8 ? _____

x 13.设 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b ( b ? R ) ,则 f (?1) ? _____
x x ?1 14. 方程 4 ? 2 ? 3 ? 0 的解是

f ( x) ? f ( y ) ? C ( C 为常数) 2 1 x 3 成立.则称函数 f ( x) 在 D 上的“均值”为 C .已知四个函数:① y ? x ( x ? R) ;② y ? ( ) ( x ? R ) ; 2

15. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,如果 ?x ? D ,存在唯一的 y ? D ,使

③ y ? ln x( x ? (0, ??)) ;④ y ? 2sin x ? 1( x ? R). 上述四个函数中,满足在定义域上的“均值”为1的 函数是 . (填上所有满足条件函数的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 请把答案填在答题纸 的相应位置. 16.(本题满分 13 分) (Ⅰ)若 lg 2 ? a,lg 3 ? b, 请用 a , b 表示 log18 5 .
1 ? 2 ? 2 ?1 3 ?1 2 3 a b a b ? ? ? ? (Ⅱ)化简: 6 ab5 ? 1

17. (本小题满分 13 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9

(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并 预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.

(附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: b ?

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ? ? y ? bt ,a

i

2

可能用到的数据:

?x y
i ?1 i

7

i

? 134.4

?x
i ?1

7

i

2

? 140 )

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值.

19. (本小题满分 13 分)
盒中共有 9 个球,其中有 4 个红球,3 个黄球和 2 个绿球,这些球除颜色外完全相同. (Ⅰ)从盒中一次随机抽出 2 个球,求取出的 2 个球的颜色相同的概率; (Ⅱ) 从盒中一次随机抽出 4 个球, 其中红球、 黄球、 绿球的个数分别为 x1 , x2 , x3 , 随机变量 X 表示 x1 , x2 , x3 的最大数,求 X 的概率分布和数学期望 E ( X ) .

20. (本小题满分 14 分) 已知函数

f ( x) ? ae2 x ? be?2 x ? cx(a, b, c ? R) 的导函数 f '( x) 为偶函数,且曲线 y ? f ( x) 在点

(0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .
(Ⅰ)确定 a , b 的值; (Ⅱ)若 c (Ⅲ)若

? 3 ,判断 f ( x) 的单调性;

f ( x) 有极值,求 c 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) (1) (本小题满分 7 分) 选修 4-2:矩阵与变换 已知直线 l : ax ? y ? 1 在矩阵 A ? ( (I)求实数 a, b 的值 (II)若点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,且 A? ?

1 2 ) 对应的变换作用下变为直线 l ': x ? by ? 1 0 1

? x0 ? ? x0 ? ? ??? ? ? ? ,求点 P 的坐标 ? y0 ? ? y0 ?

(2)(本小题满分 7 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为

?? ? ? ? 2 , ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线 l 上。 4? 4 ?
(Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程;

? x ? 1 ? cos a, (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 ? (a为参数) ,试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. ? y ? sin a


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