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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学北师大版选修2-2【配套备课资源】第4章 1.2


1.2 【学习要求】 本 课 时 栏 目 开 关 定积分 1.了解定积分的概念,会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质. 【学法指导】 曲边梯形面积的求法中已蕴含定积分的思想,要结合定积分的几 何意义来理解,计算定积分;在应用中体会定积分的强大威力. 填一填·知识要点、记下疑难点 1.2 本 课 时 栏 目 开 关 1.定积分的定义:一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y= f(x),将[a,b]区间分成n份.分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn =b.第i个小区间[xi-1,xi],设其长度为Δxi,在这个小区间上 取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最大,设S=f(ξ1)Δx1+ f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn. 在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最 小,设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如果 每次分割后,最大的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于 0,此时,S与s同时趋于某一个 固定的常数A ,我们就称 A 是 b ? 函数y=f(x)在区间[a,b]上的 定积分 ,记作 af(x)dx ,即 ?b af(x)dx=A .其中?叫作 积分号 ,a叫作积分的 下限 ,b叫 作积分的 上限 ,f(x)叫作 被积函数 . 填一填·知识要点、记下疑难点 2.定积分的几何意义 1.2 如果在区间[a,b]上函数f(x)连续且恒有 f(x)≥0 ,那么定积分 ?b a f(x)dx表示由直线x=a,x=b(a≠b),x轴和曲线y=f(x)所围 本 面积 . 成的曲边梯形的 课 时 栏 3.定积分的性质: 目 开 b b-a ; (1) ? 1d x = a 关 (2)?b akf(x)dx= k? b af(x)dx (k为常数); (3)?b f2(x)]dx= a[f1(x)± (4)?b af(x)dx= ?c af(x)dx b ?b af1(x)dx ± ? af2(x)dx ; b ? + c f(x)dx (其中a<c<b). 研一研·问题探究、课堂更高效 1.2 探究点一 定积分的概念 本 课 问题1 定积分和曲边梯形的面积有什么联系? 时 栏 答 函数f(x)的图像和直线x=a,x=b以及x轴围成的曲边 目 开 梯形的面积可以通过分割区间、近似替代、求和、逼近得 关 到,当分割成的小区间长度趋于零时,曲边梯形的面积趋 于某一个固定的常数A,A就是f(x)在[a,b]上的定积分. 研一研·问题探究、课堂更高效 1.2 问题2 怎样正确认识定积分? b a f(x)dx?并根据定义归纳求定积 分的一般步骤. b 答 (1)定积分? a f(x)dx是一个常数. (2)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变 本 课 时 栏 目 开 关 b b 量的记法无关,即? b f ( x )d x = ? f ( t )d t = ? a a af(u)du. (3)用定义求定积分的一般步骤: ①分割:n等分区间[a,b]; ②取点:取[xi-1,xi]上的最大值点ξi,最小值点ζi. ③求和:S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξn)Δxn, s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζn)Δxn, ④作差S-s. ⑤当区间长度d→0时,S-s→0,且S→A,s→A,则A=? b

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