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人教版高中数学必修2第一章


第一章 空间几何体
1.1 空间几何体的结构 一、选择题 1、下列各组几何体中是多面体的一组是( A B C D 三棱柱 四棱台 球 圆锥 )

三棱柱 四棱台 正方体 圆台 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥 圆锥 圆台 球 半球 )

2、下列说法正确的是( A B C D

有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体是棱锥 有两个面互相平行,其余各面均为梯形的多面体是棱台 有两个面互相平行, 其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱 棱柱的两个底面互相平行,侧面均为平行四边形 ) B 三棱柱 D 五棱锥 )

3、下面多面体是五面体的是( A 三棱锥

C 四棱柱 4、下列说法错误的是( A B C D

一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成 一个圆台可以由两个圆台拼合而成 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成

1

5、下面多面体中有 12 条棱的是( A 四棱柱 C 五棱锥

) B 四棱锥 D 五棱柱 )

6、在三棱锥的四个面中,直角三角形最多可有几个( A C 1 个 3个 B D 2 个 4个

二、填空题 7、一个棱柱至少有————————个面,面数最少的棱柱有————————个顶 点, 有—————————个棱。 8、一个棱柱有 10 个顶点,所有侧棱长的和为 60,则每条侧棱长为—
———————————

9、把等腰三角形绕底边上的高旋转 1800,所得的几何体是—————— 10、水平放置的正方体分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右 面”表示。 图中是一个正方体的平面展开图, 若图中的 “似” 表示正方体的前面, “锦”表示右面, “程”表示下面。 则“祝” “你” “前”分别表示正 方体的—————
你 前 祝 程 似 锦

2

三、解答题: 11、长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=3,BC=2,BB1=1,由 A 到 C1 在 长方体表面上的最短距离为多少?
D1 A1 A D B1 C1 C B

3

12、说出下列几何体的主要结构特征

(1)

(2)

(3)

1.2 空间几何体的三视图和直观图

4

一、选择题 1、两条相交直线的平行投影是( A 两条相交直线 C 一条折线 ) B 一条直线 D 两条相交直线或一条直线

2、如图中甲、乙、丙所示,下面是三个几何体的三视图,相应的标 号是( )

① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱 A ②①③ B ①②③ C ③②④ D ④③②



正视图侧视图俯视图 图 俯视图 甲 丙

正视图

侧视图

俯视图 正视图

侧视



3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形,则这个几何体可 能是( ) B 正方体或圆柱 D 正方体或四棱锥 )

A 长方体或圆柱 C 长方体或圆台 4、下列说法正确的是(

5

A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B 两条相交直线的直观图可能是平行直线 C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形 D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 5、若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是 原三角形面积的( A
1 倍 2

) B
2 倍 4

C 2倍

D

2倍

6、如图(1)所示的一个几何体, ,在图中是该几何体的俯视图的是 (
A


B

C

D

(1) 二、选择题 7、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时,侧视图与俯视图是两个 全等的———————三角形。 8、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在——————————————投影 下画出来的。 9、有下列结论:①角的水平放置的直观图一定是角②相等的角在直
6

观图中仍然相等③相等的线段在直观图中仍然相等④若两条线段平 行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 其中正确的是—————————————— 10、①如果一个几何体的三视图是完全相同的,则这个几何体一定是 正方体。②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形,则这个几何 体一定长方体。③如果一个几何体的三视图都是矩形,则这个几何体 是长方体④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形, 则这个 几何体一定圆台。其中说法正确的是————————— 三、解答题 11、根据图中物体的三视图,画出物体的形状

正视图

侧视图

俯视图

7

12、室内有一面积为 3 平方米的玻璃窗,一个人站在离窗子 4 米的地 方向外看,他能看到窗前面一幢楼的面积有多大?(楼间距为 20 米)

8

1.3 空间几何体的表面积和体积(1)

一、选择题 1、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面 积的比是( A C
1? 2? 2? 1? 2?

)
1? 4? 4? 1? 4? D 2?

B

?

2、已知圆锥的母线长为 8,底面圆周长为 6? ,则它的体积是( A 9 55? C 3 55? B 9 55 D 3 55

)

3、若圆台的上下底面半径分别是 1 和 3,它的侧面积是两底面面积 的 2 倍,则圆台的母线长是( A 2 C 5 ) B 2.5 D 10

9

4、若圆锥的侧面展开图是圆心角为 1200,半径为 l 的扇形,则这个圆 锥的表面积与侧面积的比是( A 3:2 C 4:3
A1

) B 2:1 D D1 5:3
P B1 C1

5、如图,在棱长为 4 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 是 A1B1 上一点, 且 PB1= A1B1,则多面体 P-BCC1B1A 的体积为( )
1 4
D B C

A 16

8 3

B

16 3

C 4

D

6、两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三部分,则圆 锥被分成的三部分的体积的比是( A 1:2:3 C 3:4:5 ) B 1:7:19 D 1:9:27

二、填空题 7、一个棱长为 4 的正方体,若在它的各个面的中心位置上,各打一 个直径为 2,深为 1 的圆柱形的孔,则打孔后几何体的表面积为————
——————————

10

8、半径为 15 cm ,圆心角为 2160 的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的高 是——————————— 9、在三棱锥 A-BCD 中,P、Q 分别在棱 AC、BD 上,连接 AQ、CQ、BP、 PQ,若三棱锥 A-BPQ、B-CPQ、C-DPQ 的体积分别为 6、2、8,则三棱 锥 A-BCD 的体积为———— 10、棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体(正四面体)的表面积 为——————————体积为————————— 三、解答题 11、直角梯形的一个底角为 450,下底长为上底长的 1.5 倍,这个梯 形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是
(5 ? 2 )? , 求这个旋转体的体积。

11

12、如图,一个三棱锥,底面 ABC 为正三角形,侧棱 SA=SB=SC=1,
?ASB ? 30 0 ,M、N 分别为棱 SB 和 SC 上的点,求 ?AMN 的周长的最

小值。

S M N A C

B

12

1.4 空间几何体的表面积和体积(2)

一、选择题 1、若三球的表面积之比为 1:2:3,则其体积之比为( A 1: 2 : 3 C 1: 2 2 : 2 3 B 1: 2 : 3 D 1: 4 : 7 )

2、已知长方体一个顶点上三条棱分别是 3、4、5,且它的顶点都在 同一个球面上,则这个球的表面积是( A 20 2 C 50? )

B 25 2? D 200?

3、木星的体积约是地球体积的 240 30 倍,则它的表面积约是地 60 球 表面积的( A C
60 倍 120 倍

) B D
60 30 倍 120 30 倍

4、一个四面体的所有棱长为 2 ,四个顶点在同一球面上,则此球
13

的表面积为( A C
3?
3 3?

) B D
4? 6?

5、等边圆柱(轴截面是正方形) 、球、正方体的体积相等,它们的 表面积的大小关系是( A S正方体 ? S 球 ? S圆柱 C
S圆柱 ? S 球 ? S 正方体

) B D
S 球 ? S圆柱 ? S 正方体
S 球 ? S 正方体 ? S圆柱

6、半球内有一内接正方体, ,则这个半球的表面积与正方体的表面积 的比为( A C
5? 6 ? 2

) B
5? 12

D 以上答案都不对

二、填空题 7、正方体表面积为 a 2 ,它的顶点都在球面上,则这个球的表面积是—
———————————

8、半径为 R 的球放置于倒置的等边圆锥(过轴的截面为正三角形) 容器中,再将水注入容器内到水与球面相切为止,则取出球后水面的 高度是—————————————— 9、把一个直径为 40 cm 的大铁球熔化后做成直径是 8 cm 的小球,共可 做——————————个(不计损耗) 。 10、三个球的半径之比为1:2:3,则最大的球表面积是其余两个 球的表面积的——————————倍。 三、解答题

14

11、如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋,如果 冰淇淋化了,会溢出杯子吗?(半球半径等于圆锥底面半径)
4cm

12cm

15

12、有三个球和一个边长为1的正方体,第一个球内切于正方体,第 二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过这个正方体的各个顶 点,求这三个球的表面积之比。

16

1.5 空间几何体综合检测

一、选择题 1、将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得 的几何体包括( ) B 两个圆台、一个圆柱 D 一个圆柱、两个圆锥

A 一个圆台,两个圆锥 C 两个圆台、一个圆柱

2、中心角为 1350,面积为 B 的扇形围成一个圆锥,若圆锥的全面积 为 A,则 A:B 等于( A 11:8 ) C 8:4 D 13:8

B 3:8

3、设正方体的表面积为 24,一个球内切于该正方体,则这个球的体 积为( A
6?

) B
32 ? 3

C

8 ? 3

D

4 ? 3

4、若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中,量得水面高度 为 6cm ,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中, 且恰好装满,则水面高度是( A 6 3cm C 23 18cm
a 4

) B 6cm D 33 12cm

5、 个直径都为 的球, 64 记它们的体积之和为 V甲 , 表面积之和为 S甲 , 一个直径为 a 的球,记其体积为 V乙 ,表面积为 S乙 ,则( A V甲 ? V乙 ,且 S甲 ? S乙 C V甲 = V乙 ,且 S甲 ? S乙 B V甲 ? V乙 ,且 S甲 ? S乙 D V甲 = V乙 ,且 S甲 = S乙
17



6、已知正方体外接球的体积是 A 2 2 二、填空题 B
2 3 3

32 ? ,则正方体的棱长为( 3



C

4 2 3

D

4 3 3

7、下列有关棱柱的说法:①棱柱的所有的面都是平的②棱柱的所有 棱长都相等③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形④棱柱的侧面 的个数与底面的边数相等⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等,正确 的有—————————— 8、已知棱台两底面面积分别为 80 cm2 和 245 cm2 ,截得这个棱台的棱 锥高度为 35 cm ,则棱台的体积是———————— 9、一个横放的圆柱形水桶,桶内的水占底面周长的 ,则当水桶直 立时,水的高度与桶的高度的比为—————— 10、 一个圆台上底半径为 5 cm , 下底半径为 10 cm , 母线 AB 长为 20 cm , 其中 A 在上底面上,B 在下底面上,从 AB 中点 M 拉一条绳子,绕圆 台的侧面一周转到 B 点,则这条绳子最短长为———————— 三、解答题 11、一个三棱柱的三视图如图所示,试求此三棱柱的表面积和体积。 2 3
2

1 4

18

12、如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,
D

A1 1

D1 1

B1 1 B

C1 1

用截面截下一个棱锥 C-A1DD1,求棱锥 A C-A1DD1 的体积与剩余部分的体积比。

C

19

第二章 点、直线、平面之间的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的关系(1) 一、选择题 1、下列有关平面的说法正确的是( A B C 一个平面长是 10cm,宽是 5cm 一个平面厚为 1 厘米 平面是无限延展的 )

20

D

一个平面一定是平行四边形

2、已知点 A 和直线 a 及平面 ? ,则: ① A ? a, a ? ? ? A ?? ② A ? a, a ?? ? A ??

③ A ? a, a ? ? ? A ?? ④ A ? a, a ? ? ? A ? ? 其中说法正确的个数是( A 0 B 1 ) C 2 ) D 梯形 ) D 3

3、下列图形不一定是平面图形的是( A 三角形 B 四边形 C 圆

4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分( A 4、6、7 C 4、6、7、8 B 3、4、6、7 D 4、6、8 (

5、共点的三条直线可确定几个平面 A 1 B 2 C 3



D 1或3
C1 P

D1 6、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P、Q、R

分别是 AB、AD、1B1C1 的中点, 则,正方体的过 P、Q、R 的

A1

?

?
B1

R

Q

截面图形是( A 三角形 C 五边形

) B 四边形 D 六边形

?

D B

C

A

二、填空题 7、三个平面两两相交,交线的条数可能有————————————————

21

8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。 9、正方体各面所在平面将空间分成——————————————部分。 10、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点,则这条直线在这个 平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个 公共点, 则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共 线三点有且只有一个平面,其中正确的有———————————

三、解答题 11、用符号语言描述图中所示内容,并画出平面 ABC 和平面 ? 及 ? 的交线。
?
l
C A B

?

22

12、已知 ?ABC 在平面 ? 外,它的三边所在直线分别交平面 ? 于点 P、 Q、R,求证:P、Q、R 三点共线。
A C B Q P R

?

23

2.2 空间点、直线、平面之间的关系(2) 一、选择题: 1、空间两条互相平行的直线指的是( A 在空间没有公共点的两条直线 B 分别在两个平面内的两条直线 C 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D 在同一平面内且没有公共点的两条直线 2、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是( ) )

A 异面直线 B 相交直线 C 不平行直线 D 不相交直线 3、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与直线 BD 异面且成 600 角的面对角线有 ( A 4 )条。 B 3 C 2 D 1 )

4、 A、 C、 是空间四个不同的点, 设 B、 D 下列说法中不正确的是 ( A 若 AC 和 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B 若 AC 和 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C 若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D 若 AB=BC=CD=DA,则四边形 ABCD 不一定是菱形 5、经过空间一点 P 作与直线 l 成 450 的直线共有( A 0条 B 1条 C 有限条 S
E C A F



D 无数条

6、空间四边形 SABC 中,各边 及对角线长都相等,若 E、F

B

分别为 SC、AB 的中点,那么异面

24

直线 EF 与 SA 所成的角为( A 300 C 600 二、选择题 B 450 D 900



7、和两条平行直线中的一条是异面直线的直线与另一条直线的位置 关系是———————————————————— 8、设 a、b、c 表示直线,给出四个论断:① a ? b ② c ? c ③ a ? c ④ a // c , 以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论,写出你认为正确的一 个命题—————————————————— 9、ABCDEF 是正六边形,P 是它所在平面外一点,连接 PA、PB、PC、 PD、PE、PF 后与正六边形的六条边所在直线共十二条直线中,异面 直线共有——————————对。 10、点 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的 中点,且 BD=AC,则四边形 EFGH 是————————————。

三、解答题: 11、在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,高 AA1 为 1,M、N 分别为边 C1D1 与 A1D1 的中点。 (1)求证:四边形 MNAC 是等腰梯形 (2)求梯形 MNAC 的面积

25

12、已知 ABCD-A1B1C1D1 是正方体 (1)求 A1C1 与 B1C 所成角 (2)求 A1C 与 AD1 所成角 (3)若 EF 分别为 AB、AD 的中点,求 A1C1 与 EF 以及 AD1 与 EF 所成角 的大小。

26

27

2.3 空间点、直线、平面之间的关系(3) 一、选择题 1、已知直线 a // ? , b ? ? ,则 a 与 b 的关系是( A 相交 B 平行 C 异面 )

D 平行或异面

28

2、过平面外一点,可作这个平面的平行线的条数是( A 1条 B 2条 C 无数条 D 有限条



3、 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 1D1 与平面 ADC1B1 的位置关系是 A ( A 平行 B 相交 C 在平面 ADC1B1 内 D 以上都不正确



4、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( )

A 都平行 B 至少和其中一个平行 C 在两个平面内 D 都相交 5、下列中四个命题中假命题的个数是( )

①两条直线都和同一个平面平行, 则这两条直线平行②两条直线没有 公共点,则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直,则这两 条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则这条 直线和这个平面平行 A 4 B 3 C 2 D 1 )

6、过平面外一条直线作平面的平行平面(

A 必定可以并且只可以作一个 B 至多可以作一个 C 至少可以作一个 二、填空题 7、若直线 l 上有两点到平面 ? 的距离相等,则直线与平面 ? 的关系是
——————————————————————

D 一定不能作



8、经过平面外一点作该平面的平行平面可作——————个; 经过平面外 两点作该平面的平行平面可作——————个。 9、平面 ? // ? ,且 a ? ? ,下列四个命题中① a与? 内的所有直线平行②
29

a

a与? 内无数条直线平行③ a与? 内的任何一条直线都不垂直④ a与? 无

公共点。其中的真命题是————————————— 10、如图,已知平面 ? ? ? ? a, b ? ? ,
c ? ? , b ? a ? A, c // a ,则直线 b 与 c 的

关系是————————————

三、解答题 11、已知 a ? ? , a // b, b ? ? , 求证:a // ?

12、空间四边形 ABCD 中,P、Q、R、S 分别是四条边 AB、BC、CD、DA

30

A P S

的中点,已知 AC=12 2 ,BD= 4 3 ,且四边形 PQRS 的面积是12 3 , 求异面直线 AC、BD 所成的角。

31

2.4 直线、平面平行的判定及其性质(1) 一、选择题: 1、已知直线 a 平行于平面 ? ,直线 b // a ,点 A? b, 且 A ?? , 则 b 与 ? 的 位置关系是( A b ?? ? A ) B b // ? 或 b ? ? C b ?? D b // ?

2、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面 ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 ( A b // ? ) B b ?? C b 与 ? 相交 ) D 以上都有可能

3、下列命题中正确的是(

A 平行于同一平面的两条直线平行

32

B 同时与两条异面直线平行的平面有无数个 C 如果一条直线上有两点在一个平面外, 则这条直线与这个平面平行 D 直线 l 与平面 ? 不相交,则 l // ? 4、若 a 、 b 是异面直线,过 b 且与 a 平行的平面( A 存在但只有一个 )

B 只存在两个 C 无数个 D 不存在

5、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 ( A 都平行 C 都相交 ) B 在这两个平面内 D 至少和其中一个平面平行

6、一条直线和一个平面平行,夹在这条直线和平面间的两条线段相 等,则这两条线段的位置关系是( A 平行 二、填空题 7、在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若
P AE:EB=CF:FB=1:3,则对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是
——————————————



B 相交

C 异面 D 以上均有可能

M A 8、如图,P 为 ?ABC 所在平面外一点,

N C B

点 M、N 分别是 ?PAB 、 ?PBC 的重心 则 MN:AC=—————————— 9、直线 a // b 且 a 与平面 ? 相交,则
b 与 ? 的位置关系是——————————

10、下列说法:①一条直线和一个平面平行,则它和这个平面内的无

33

数条直线平行②一条直线和一个平面平行, 则它和这个平面内的任何 直线无公共点③过直线外一点, 有且只有一个平面和已知直线平行④ 如果一条直线和一个平面平行, 则过这个平面内一点和这条直线平行 的直线在这个平面内,其中正确的有————————— 三、解答题 11、如图,已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,面对角线 A1B、BC1 上分别 有两点 E、F,且 B1E=C1F,求证:EF//平面 ABCD
D1 A1 E D A B C B1 F C1

12、如图在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,E 为 BC 边
D1 A1 中点(1)求三棱锥 D1-DBC 的体积 B1 D A B C E C1

(2)证明 BD1//平面 C1DE

34

2.5 直线、平面平行的判定及其性质(2) 一、选择题 1、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列四对截面中互相平行的一对截面 是( ) B 面 BDC1 和面 B1D1C D 面 A1DC1 和 AD1C

A 面 A1BC1 和面 ACD1 C 面 B1D1D 和面 BDA 2、

35


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