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2014版高考数学 7.7空间直角坐标系、向量的坐标表示和空间向量基本定理课时提升作业 理 北师大版


【全程复习方略】2014 版高考数学 7.7 空间直角坐标系、向量的坐标表示和空 间向量基本定理课时提升作业 理 北师大版
一、选择题 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 ( (A)y 轴上 (C)xOz 平面上 (B)xOy 平面上 (D)yOz 平面上 ( ) )

2.已知点 B 是点 A(3,7,-4)在 x Oz 平面上的射影,则|OB|等于 (A)(9,0,16) (C)5 (B)25 (D)13

3.以棱长为 1 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 的棱 AB,AD,AA1 所在的直线为坐 标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形 AA1B1B 的对角线交点 的坐标为 ( (A)(0, , ) (C)( , ,0) ) (B)( ,0, ) (D)( , , )

4.点 M(x,y,z)在坐标平面 xOy 内的射影为 M1,M1 在坐标平面 yOz 内的射影为 M2,M2 在坐标平面 xOz 内的射影 为 M3,则 M3 的坐标为 ( (A)(-x,-y,-z) (B)(x,y,z) (C)(0,0,0) (D)( , , ) )

5.已知向量 a=(1,-1,1),b=(-1,2,1),且 ka-b 与 a-3b 互相垂直,则 k 的值是 ( (A)1 ) (B) (C) (D))平行,则λ = ( )

6.已知向量 a=(2,-3,5)与向量 b=(3,λ , (A) (C)(B) (D)-

7.正方体不在同一表面上的两 个顶点为 A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为 (

)
-1-

(A)8

(B)27

(C)64

(D)128

8.有以下命题:①如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间的一个基底,那么 a,b 的关系是不共线;②O,A,B,C 为空间四点,且向量 , , 不构成空间的一个基底,那么点 O,A,B,C 一定共面;③已知 a,b,c 是空间 )

的一个基底,则 a+b,a -b,c 也是空间的一个基底.其中正确的命题是 ( (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③

9.(2013 · 济 宁 模 拟 ) 设 OABC 是 四 面 体 ,G1 是 △ ABC 的 重 心 ,G 是 OG1 上 一 点 , 且 OG=3GG1, 若 =x +y +z ,则(x ,y,z)为 ( (B)( , , ) (D)( , , ) )

(A)( , , ) (C)( , , ) 二、填空题

10.(能力挑战题)正方体 ABCD -A′B′C′D′的棱长为 2,MN 是 它的内切球的一 条弦(我们把球面上任意两 点之间的线段称为球的弦 ),P 为正方体表面上的动点 , 当弦 MN 的长度最大时 , 是 . ,则该点的坐标为 . . · 的取值范围

11.给定空间直角坐标系,在 x 轴上找一点 P,使它与点 P0(4,1,2)的距离为

12.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 三个向量共面,则实数λ = 13.已知点 A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若 =2 ,则| |的值是 .

14.如图,直三棱柱 ABC -A1B1C1 中,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90°,D 为 BB1 的中点, 则异面 直线 C1D 与 A1C 的夹角的余弦值为 三、解答题 15.如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点 O 是 BC 的中点,点 A 的坐标是( ∠BDC=90°,∠DCB=30°. (1)求向量 (2)设向量 的坐标. 和 的夹角为θ ,求 cosθ 的值. , ,0),点 D 在平面 yOz 上,且 .

-2-

答案解析 1.【解析】选 C.由点的坐标的特征可得该点在 xOz 平面上. 2.【解析】选 C.由题意得点 B 的坐标为(3,0,-4), 故|OB|= =5.

3. 【解析】 选 B.由题意知所求点即为 AB1 的中点,由于 A(0,0,0),B1(1,0,1),所以 AB1 的中点坐标为( ,0, ). 4.【解析】选 C.依题意得,M1 的坐标为(x,y,0),M2 的坐标为(0,y,0),M3 的坐标为(0,0,0). 【变式备选】在空间直角坐标系中,点 M(-2,4,-3)在 xOz 平面上的射影为 M′,则点 M′关于原点对称的点 的坐标为 ( (A)(- 2,0,-3) (C)(2,0,3) ) (B)(-3,0,-2) (D)(-2,0,3)

【解析】选 C.由题意得,点 M′的坐标为(-2,0,-3),故点 M′关于原点对称的点的坐标为(2,0,3). 【方法技巧】空间直角坐标系中求对称点坐标的技巧 (1)关于哪个轴对称,对应轴上的坐标不变,另两个坐标变为原来的相反数. (2)关于坐标平面对称,另一 轴上的坐标变为原来的相反数,其余不变. (3)关于原点对称,三个坐标都变为原来的相反数. (4)空间求对称点的坐标的方法,可类比平面直角坐标系中对应的问题进行记忆. 5.【解析】选 D.∵ka-b=(k+1,-k-2,k-1),a-3b=(4,-7,-2),(ka-b)⊥(a-3b), ∴4(k+1)-7(-k-2)-2(k-1)=0, ∴k=. = ,解得λ =- .

6.【解析】选 C.由 a∥b 得, =

7.【解析】选 C.设正方体的棱长为 a,根据条件则有 a= 所以体积为 4 =64. 8.【解析】选 C.对于①,“如果向量 a,b 与任何向量不能构成空间向量的一个基底,那么 a,b 的关系一定是 共线”,所以①错误.②③正确. 9.【解析】选 A. = + × ( + = ) +
3

,解得 a=4,

-3-

= = (

+ [( + +

-

)+( ), =

-

)]

由 OG=3GG1 知,

= (

+

+

),

∴(x,y,z)=( , , ). 10. 【解析】 因为 MN 是它的内切球的一条弦,所以当弦 MN 经过球心时, 弦 MN 的长度最大,此时 MN=2,以 A′为原点建立空间直角坐标系如图. 根据直径的任意性,不妨设 M,N 分别是上下底面的中心,则两点的空间 坐 标 为 M(1,1,2),N(1,1,0), 设 P 点 坐 标 为 P(x, y,z), 则 =(1-x,1-y,2-z), · · 知, ·
2 2 2

=(1-x,1-y,-z), =(1-x) +(1-y) -z(2-z),
2 2



以 即

=(x-1) + (y-1) +(z-1) -1. 因为点 P 为正方体表面上的动点 , 所以根据 x,y,z 的对称性可 的取值范围与点 P 在哪个面上无关,不妨设点 P 在底面 A′B′C′D′内,此时有 0≤x≤2,0≤ · =(x-1) +(y-1) +(z-1) -1=(x-1) +(y-1) ,所以当 x=y=1 时, · · 最大,此时有 ·
2 2 2 2 2 2

y≤2,z=0,所以此时 · ·

·

=0,此时
2

最小,但当 P 位于正方形的四个顶点时, 的最大值为 2,所以 0≤ · ≤2,即

=(x-1) +(y-1) =2,所以

的取值范围是[0,2].

答案:[0,2] 11.【解析】设点 P 的坐标是(x,0,0), 由题意得,|P0P|= 即 ∴(x- 4) =25. 解得 x=9 或 x=-1. ∴点 P 坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 答案:(9,0,0)或(-1,0,0) 【变式备选】在 z 轴上与点 A(-4,1,7)和点 B(3,5,-2)等距离的点 C 的坐标为 【解析】设点 C 的坐标为(0,0,z), 由条件得|AC|=|BC|,
-42

, = ,

.

即 解得 z= . )

=

,

答案:(0,0,

12.【解析】由题意设 c=ta+μ b=(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ),





答案: 13.【解析】设 P(x,y,z),则 =(-1-x,3-y,4-z), 由 =2 知 x=- ,y= ,z=3, =(x-1,y-2,z-1),

故 P(- , ,3). 由两点间距离公式可得| 答案: 14.【解析】以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图,A1(0,0,2),C(0,1,0), D(1,0,1),C1(0,1,2). |= .

则 |

=(1,-1,-1), |= , ·

=(0,1,-2),| =1,

|=

,

-5-

cos<

,

>=

=

,

故异面直线 C1D 与 A1C 的夹角的余弦值为 答案:

.

15.【解析】(1)如图所示,过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E, 在 Rt△BDC 中,由∠BDC=90°, ∠DCB=30°,BC=2,得 BD=1,CD= ∴DE=CD·sin30°= , .

OE=OB-BD·cos60°=1- = . ∴D 点坐标为(0,- , 即向量 ), ). =(0,-1,0),

的坐标为(0,- , =( , ,0),

(2)依题意知, =(0,1,0). 所以 = = -

=(-

,-1,

),

=(0,2,0). = = =.

则 cosθ =

-6-


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