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【优化方案】2012高中数学 第1章1.1.2余弦定理课件 新人教A版必修5


1.1.2 余弦定理

学习目标
1.了解向量法证明余弦定理的推导过程.

2.掌握余弦定理并能解决一些简单的三角度
量问题.

课前自主学案 1. 1.2 余 弦 定 理

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.在Rt△ABC中,C=90°,三边满足勾股定理
2+b2=c2 a ___________.

2.在△ABC中,正弦定理是______=______= ______

知新盖能 余弦定理及推论

思考感悟 1.你能用坐标法证明余弦定理吗?

提示:建立如图所示的坐标系,则A(0,0), B(c,0),C(bcos A,bsin A). 由两点间距离公式得: BC2=b2cos2A-2bccos A+c2+b2sin2A 即a2=b2+c2-2bccos A.

同理可证:b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. 2.余弦定理和勾股定理有何关系? 提示:勾股定理是余弦定理的特例,对于a2=b2 +c2-2bc· cosA,若A=90°,则a2=b2+c2.

课堂互动讲练

考点突破 已知两边及一角解三角形 已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断 该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的 夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求 第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用 余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边 (也可以两次应用正弦定理求出第三边).

例1 在△ABC 中, 已知 b=3, c=3 3, B=30° ,

求角 A、角 C 和边 a.
【思路点拨】 可先由正弦定理求出角C,然后再

求其他的边和角,也可以由余弦定理列出关于边

长a的方程,首先求出边长a,再由正弦定理求角A、
角C.

【解】 法一: 由余弦定理 b =a +c -2accos B, 2 2 2 得 3 =a +(3 3) -2a×3 3×cos 30° , ∴a2-9a+18=0,解得 a=3 或 6. 当 a=3 时,A=30° ,∴C=120° . 当 a=6 时,由正弦定理得 1 6× 2 asin B sin A= = =1. b 3 ∴A=90° , ∴C=60° .

2

2

2

1 法二:由 b<c,B=30° ,b>csin 30° =3 3× = 2 3 3 知本题有两解, 2 1 3 3× 2 csin B 3 由正弦定理得 sin C= b = = , 3 2 ∴C=60° 或 120° , 当 C=60° 时,A=90° , 由勾股定理 a= b2+c2= 32+?3 3?2=6, 当 C=120° 时,A=30° ,△ABC 为等腰三角形, ∴a=3.

互动探究 1 解三角形?

若将本例中“c= 3 3”改为“c=

2 3”,“B=30° ”改为“A= 30° ”,应如何求

解:直接运用余弦定理: 2 2 2 a =b +c -2bccos A 2 2 =3 +(2 3) -2×3×2 3×cos 30° =3, 从而 a= 3, 2 2 2 2 2 2 a +c -b ? 3? +?2 3? -3 6 1 ∴cos B= = = = . 2ac 12 2 2× 3 × 2 3 ∵B<C,A+B+C=180° , ∴B=60° , C=180° -A-B=180° -30° -60° =90° .

已知三边解三角形 已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角, 再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角, 进而求出第三个角.
例2 在△ABC中,已知a=7,b=3,c=5,求

最大角和sin C.

【思路点拨】

在三角形中,大边对大角,所以a

边所对角最大,然后根据已知三边可用余弦定理

求三角.

【解】 ∵a>c>b,∴A 为最大角. b2+c2-a2 1 由余弦定理,有 cos A= =- , 2bc 2 ∴A=120° . 3 ∴sin A= . 2 c 5 3 5 3 由正弦定理,得 sin C=asin A= × = . 7 2 14

判断三角形的形状
判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行 思考,可用正、余弦定理将已知条件转化为边边 关系,通过因式分解、配方等方式得出边的相应

关系,从而判断三角形的形状,也可利用正、余
弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系,通

过三角变换,得出三角形各内角之间的关系,从
而判断三角形形状.

例3 在△ABC中,acos A+bcos B=ccos C,试

判断三角形的形状. 【思路点拨】 利用余弦定理把边与角的关系转

化为边与边的关系.

b2+c2-a2 【解】 由余弦定理得 cos A= ,cos B 2bc a2+c2-b2 a2+b2-c2 = ,cos C= ,代入已知条件 2ac 2ab b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 得:a· + b· - c· =0. 2bc 2ac 2ab

通分整理得: a2(b2+c2-a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2-b2)=0. 展开整理得(a2-b2)2=c4. ∴a2-b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2. 根据勾股定理,知△ABC是直角三角形. 【名师点评】 判断三角形的形状时,如果遇到的 式子含角的余弦或边的二次式,那么要考虑用余弦 定理;如果遇到的式子含角的正弦或边的一次式, 那么大多情况用正弦定理;若是以上特征均不明显, 则要考虑两个定理综合应用.

互动探究2

本题条件变为bcos A=acos B,试判

断△ABC的形状.

b2+c2-a2 a2+c2-b2 解:∵cos A= ,cos B= ,则 2bc 2ac 2 2 2 2 2 2 b +c -a a +c -b 代入已知条件得:b· =a· . 2bc 2ac b2+c2-a2-a2-c2+b2 ∴ =0.则 2b2=2a2,∴b= 2c a. ∴该三角形为等腰三角形.

方法感悟

1.余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一 个角之间的关系,每一个等式中都包含四个不同 的量,它们分别是三角形的三边和一个角,知道 其中的三个量,就可以求得第四个量:(1)已知两 边与它们的夹角,可以求得第三边;(2)已知两边 与其中一边的对角,可以代入余弦定理,看成关 于另一边的二次方程,从而解得另一边;(3)已知 三角形的三边可以求得三角形的三个角.从这里 可以看出,利用余弦定理解三角形时,条件中必 须至少知道两边.

2.余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理

可以看作是余弦定理的特例.
(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平

方,那么第三边所对的角是锐角.
(2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平 方,那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平 方,那么第三边所对的角是直角.


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