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江苏省苏州市五市四区2013-2014学年高一第一学期期末统考数学试题


苏州市 2013—2014 学年第一学期期末调研测试

高一数学
1、函数 f ( x) ? sin 2 x 的最小正周期是 2、函数 f ( x ) ? 1 ? 2 的定义域为___
x

2014.1

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共计 70 分,请把答案直接填写在答题卡相应的位置 上。 ........

_____.

3、已知向量 a ? (k ,1), b ? (6, ?2) ,若 a 与 b 平行,则实数 k = 4、函数 y ? tan x ? x ? ? ?

?

?

?

?



? ?

? ? ? ?? , ? 的值域是__ ? 4 3? ??
2

____

5、已知 tan ? ? 2 ,则 cos ? ? __

___ .

6、已知函数 f ? x ? ? log 2 x ? x ? 2 的零点在区间 ? n, n ? 1?? n ? Z ? 内,则 n ? 7、已知 f ? x ? ? a sin x ? x
2

? a ? R ? , f ? 2 ? ? 3 ,则 f ? ?2 ? ? _
?
2

____

8、 如图是函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ), ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 9、已知 f ? n ? ? ?

则其解析式是________. ) 在一个周期内的图象,
y 3
2

? ? n ? 3, n ? 10, 则 f ?8? ? _ f f n ? 5 , n ? 10. ? ? ? ? ? ? ? ?
π

10、已知 f(x)是定义在 (??, ??) 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x , 若函数 f(x)在区间[-1,t]上的最小值为-1,则实数 t 的取值范围是 11 、 已 知 向 量 . , 则
O
π 3 5π 6

x

6

? ? a ? ?1 ,? 3 a ? ,

?

?? a?

?

? ? b 2a ? b , ? 2 6

-3

? ? a ?b ?



12、 如图, 在等腰三角形 ABC 中, 底边 BC ? 2 , AD ? DC , AE ?

??? ?

??? ? ???? 1 BD ? AC ? ? , 则 CE ? AB =___ __. 2 x 13、如图,过原点 O 的直线与函数 y ? 2 的图象交于 A, B 两点,过 B 作 y 轴的
垂线交函数 y ? 4 的图象于点 C , 若 AC 平行于 y 轴, 则点 A 的坐标是
x

? 1 ??? EB , 若 2

▲_



14 、已知 a ? 0 , 函数 f ( x) ? 为 .

x ? 2a x ? 2a

在区间 ?1, 4 ? 上的最大值等于

1 ,则 a 的值 2

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或 演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内。

1

15、 (本题满分 14 分)已知 sin ? ? cos ? ? ?
(1) 求 sin ? ? cos ? 的值; (2) 若

1 . 5

?
2

? ? ? ? ,求

1 1 ? 的值; sin ? cos ?? ? ? ?

16、 (本题满分 14 分)

? ??? ? 2 ??? ? 1 ??? CB , CF ? CD 。 3 3 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ? ? ? ? (1)用 a , b 表示 EF ; (2)若 a ? 1 , b ? 4 , ?DAB ? 60? ,分别求 EF 和 AC ?FE 的值。
如图,平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b , CE ?

??? ?

?

????

?

??? ?

17、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 9 ? x 的定义域为集合 A .
2

(1)若函数 g ? x ? ? log 2 x ? 2 x ? 3 的定义域也为集合 A , g ? x ? 的值域为 B ,求 A ? B ;
2

?

?

(2)已知 C ? {x

a?2 ? 1} ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围. x ? a ?1

18. (本题满分 16 分)某厂生产某种产品 x(百台) ,总成本为 C ? x ?(万元) ,其中固定成本为 2 万元, 每

1 2 1 ? ?4 x ? x ? , 0 ? x ? 4, 生产 1 百台,成本增加 1 万元,销售收入 R ? x ? ? ? (万元) ,假定该产品产销 2 2 ? x ? 4. ?7.5,
平衡。 (1)若要该厂不亏本,产量 x 应控制在什么范围内? (2)该厂年产多少台时,可使利润最大? (3)求该厂利润最大时产品的售价。 19.(本题满分 16 分) 已知点 A?x1 , f ?x1 ?? , B?x2 , f ?x2 ?? 是函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, ?

?
2

? ? ? 0) 图象上的任意

两点,且角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (3)当 x ? ?0,

? . 3

? ?? 时,不等式 mf ? x ? ? 2m ? f ? x ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. ? 6? ?
n

20. (本题满分 16 分)函数 f n ( x) ? x ? bx ? c (n ? Z , b , c ? R ) . (1)若 n ? ?1 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 2, ?? ? 上是单调递增函数,求实数 b 的取值范围; (2)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1], f 2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立,求 b 的取值范围.
2

2013—2014 学年第一学期期末调研测试

高一数学参考答案和评分标准
一、填空题:
1、 ? ; 2、 ? ??, 0 ? ; 3、 ?3 ; 9、7; 10、 t ? 1 ; 4、 ? ?1, 3 ? ; 5、

2014.1

?

?

11、2; 12、 ?

4 ; 13、 (1,2) 3

1 ? ; 6、1; 7、5; 8、 y ? 3sin(2 x ? ) 5 3 2 3 14、 或 。 3 2

二、解答题: 15、 (本题满分 14 分)
解: (1)? sin ?

1 1 ? cos ? ? ? ①,? (sin ? ? cos ? ) 2 ? , 5 25 1 即 1 ? 2sin ? cos ? ? , …………………..3 分 25 12 …………………….5 分 ? sin ? ? cos ? ? ? 25 49 2 (2)由(1)得, (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? cos ? ? …………..7 分 25


?

2

? ? ? ? ,?sin ? ? cos ? ? 0 ,…………………………………8 分 7 5
②. ………………………………………….10 分

? sin ? ? cos ? ?

1 1 1 1 ? ? ? …………………………………..12 分 sin ? cos ?? ? ? ? sin ? cos ?

?

cos ? ? sin ? 35 ? ………………………………..14 分 sin ? cos ? 12

16、 (本题满分 14 分) 解(1) :

??? ? ??? ? ??? ? E F? C F ? C…………………………………… E .2 分
………….4 分

? 1 ??? ? ? 1 ???? 2 ??? 2 ??? 2? 1? ? CD ? CB ? ? AB ? AD ? ? a ? b 3 3 3 3 3 3 ? ? ? (2): ? a ? 1 , b ? 4 , ?DAB ? 60 ,
? ? ? ? ? a ?b ? a ? b ? cos 60? ? 2
….6 分

2 ??? ? 4 ?2 4 ? ? 1 ?2 2 3 ? 2 ? 1 ?? ? EF ? ? ? a ? b ? ? a ? a? b? b ? …………….8 分 3 ? 9 9 9 3 ? 3

由(1) ,得, AC ?FE ? a ? b ?

???? ??? ?

2? 1 ? a ? b ? ………….10 分 ? ? ?? 3 ? ?3

?

?

?

2 ?2 1 ? ? 1 ?2 a ? a? b ? b ………….12 分 3 3 3 2 2 16 ………….14 分 ? ? ? ? ?4 3 3 3
3

17、 (本题满分 14 分) 解: (1)由 9 ? x 2 ? 0 ,得 ?3 ? x ? 3 ,? A ? ? ?3,3? ,…………………2 分

u ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2 ,…………………………………3 分
2

当 x ? A 时, 2 ? u ? 18 ,于是 1 ? g ? x ? ? log 2 18 ,即 B ? ?1, log18? ,…5 分

? log 2 18 ? 3 ,? A ? B ? ?1,3? 。……………………………………7 分
(2) )由

a?2 a?2 ? 1 ,得 ? 1 ? 0 ,即 ? x ? (a ? 1)?? x ? (2a ? 1)? ? 0 .........8 分 x ? a ?1 x ? a ?1

当 a ? ?2 时, C ? ? ,满足 C ? A ;……………………………………9 分 当 a ? ?2 时, C ? (a ? 1, 2a ? 1) , 因为 C ? A ,所以 ?

? a ? 1 ? ?3, 解得 ?2 ? a ? 1 ,………………………11 分 ? 2a ? 1 ? 3,

又 a ? ?2 ,所以 ?2 ? a ? 1 ; 当 a ? ?2 时, C ? (2a ? 1, a ? 1) , 因为 C ? A ,所以 ?

?2a ? 1 ? ?3, 解得 ?2 ? a ? 4 , ?a ? 1 ? 3,

又 a ? ?2 ,所以此时无解;…………………………………………………13 分 综上所述,实数 a 的取值范围是 ?2 ? a ? 1 .……………………………14 分

18、 (本题满分 16 分) 解:由题意得,成本函数为 C ? x ? ? 2 ? x , 从而利润函数

?3 x ? 0.5 x 2 ? 2.5, 0 ? x ? 4, L ? x? ? R ? x? ? C ? x? ? ? 。……………………2 分 x ? 4. ?5.5 ? x,
4

(1)要使不亏本,只要 L ? x ? ? 0 , 当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 3x ? 0.5 x ? 2.5 ? 0 ? 1 ? x ? 4 ,…………4 分
2

当 x ? 4 时, L ? x ? ? 0 ? 5.5 ? x ? 0 ? 4 ? x ? 5.5 , 综上, 1 ? x ? 5.5 , ……………………6 分 答:若要该厂不亏本,产量 x 应控制在 100 台到 550 台之间。…………7 分 (2)当 0 ? x ? 4 时, L ? x ? ? ?0.5 ? x ? 3? ? 2 ,
2

故当 x ? 2 时, L ? x ?max ? 2 (万元)……………………9 分 当 x ? 4 时, L ? x ? ? 1.5 ? 2 ,……………………10 分 综上,当年产 300 台时,可使利润最大。…………………11 分 (3)由(2)知 x ? 3 ,时,利润最大,此时的售价为

P?

R ? 3? 3

? 2.33 (万元/百台)=233 元/台。…………14 分

19. (本题满分 14 分)
解: (1)角 ? 的终边经过点 P(1, ? 3) , tan ? ? ? 3 ,…………………2 分

??

?
2

? ? ? 0 ,?? ? ?

?
3

. …………………………………………………3 分

由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 时, | x1 ? x2 | 的最小值为 得T ?


2? 2? 2? ,即 ,?? ? 3 …………………………………………..5 分 ? 3 ? 3

? , 3

f ( x) ? 2sin(3x ? ) …………………………………………………………6 分 3 ? ? ? ? 2k? 5? 2k? (2) ? ? 2k? ? 3x ? ? ? 2k? ,即 ? ,……………8 分 ? ?x? ? 2 3 2 18 3 18 3
? ? 2k? 5? 2k? ? , ? k ? z ………………9 分 ?函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? ? ? 3 18 3 ? ? 18 ?

?

(3 ) 当 x ? ?0,

? ?? 时, ? 3 ? f ? x ? ? 1 ,……………………………………11 分 ? 6? ?

于是, 2 ? f ? x ? ? 0 , mf ? x ? ? 2m ? f ? x ?

等价于 m ?

2 ? f ? x?

f ? x?

? 1?

2 …………………………………12 分 2 ? f ? x?
5

由 ? 3 ? f ? x? ? 1 , 得

2 ? f ? x?

f ? x?

的最大值为

1 ………………13 分 3

所以,实数 m 的取值范围是 m ? 注:用别的方法求得 m ? 20. (本题满分 16 分) 解: (1) n ? ?1 时, f ? x ? ?

1 。……………………………14 分 3

1 ,只要正确就给 3 分。 3 1 ? bx ? c x
1 1 ? bx1 ? c ? ( ? bx2 ? c) x1 x2

任设 x1 ? x2 ? 2 , f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

?

? x1 ? x2 ?? bx1 x2 ? 1? ………………………………………………..2 分
x1 x2

? x1 ? x2 ? 2, ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0 ,
因为函数 f ? x ? 在 ? 2, ?? ? 上是单调递增函数,故恒有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,..3 分 从而恒有 bx1 x2 ? 1 ? 0 ,即恒有 b ?

1 ,…………………………….4 分 x1 x2

当 x1 ? x2 ? 2 时, x1 x2 ? 4 ,?
2

1 1 1 ? ,? b ? ……………………..6 分 x1 x2 4 4

(2)当 n ? 2 时 f 2 ( x) ? x ? bx ? c 对任意 x1 , x2 ?[?1,1] 有 f 2 ( x) ? f 2 ( x) ? 4 恒成立等价于 f 2 ( x) 在 [?1,1] 上的最大值与最小值之差

M ? 4 ……………………..7 分
当?

b ? ?1 ,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递增, 2

(? 1)? 1 ?b ?c 所 以 f 2 ( x)m i n? f 2 , f 2 ( x) max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c , 所 以 M ? 2b ? 4 , 与 题 设 矛
盾;……………………………..9 分 当 ?1 ? ?

b b b ? 0 ,即 0 ? b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [? ,1] 上单调递增,所 2 2 2
b b2 ? f 2 (? ) ? ? ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (1) ? 1 ? b ? c , 2 4
2

以 f 2 ( x) min

所以 M ? ?

?b ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 0 ? b ? 2 ;……………………………..11 分 ?2 ?
6

当0 ? ?

b b b ? 1 ,即 ?2 ? b ? 0 时, f 2 ( x) 在 x ? [?1, ? ] 上单调递减,在 x ? [? ,1] 上单调递增,所 2 2 2
b 2
2

以 f 2 ( x) min ? f 2 (? ) ? ?

b2 ? c , f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c , 4

?b ? 所以 M ? ? ? 1? ? 4 恒成立,所以 ?2 ? b ? 0 ;……………………………….13 分 ?2 ?
当?

b ? ?1,即 b ? 2 时, f 2 ( x) 在 x ?[?1,1] 上单调递减, 2

? b ? c, f 2 ( x)max ? f 2 (?1) ? 1 ? b ? c , 所 以 M ? ?2b ? 4 , 与 题 设 矛 所 以 f 2 ( x)m i n? f 2(1)? 1
盾.……………………………………………………………………………….15 分 综上所述,实数 b 的取值范围是 ?2 ? b ? 2 .………………………………16 分

7


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