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浙江专版2018高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形热点探究课2三角函数与解三角形中的高考热点问题


热点探究课(二)

三角函数与解三角形中的高考热点问题

[命题解读] 从近五年浙江卷高考试题来看,解答题第 1 题(全国卷 T17)交替考查三角 函数、 解三角形与数列, 本专题的热点题型有: 一是三角函数的图象与性质; 二是解三角形; 三是三角恒等变换与解三角形的综合问题, 中档难度, 在解题过程中应挖掘题目的隐含条件, 注意公式的内在联系,灵活地正用、逆用、变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想 的应用. 热点 1 三角函数的图象与性质(答题模板) 要进行五点法作图、图象变换,研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,求 三角函数的单调区间、 最值等, 都应先进行三角恒等变换, 将其化为一个角的一种三角函数, 求解这类问题,要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角 恒等变换.

?x π ? ?x π ? (本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2 3sin? + ?·cos? + ?-sin(x+ 2 4 ? ? ?2 4 ?
π ). (1)求 f(x)的最小正周期; π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区 6 间[0,π ]上的最大值和最小值. 【导学号:51062131】 [思路点拨] (1)先逆用倍角公式,再利用诱导公式、辅助角公式将 f(x)化为正弦型函 数,然后求其周期. (2)先利用平移变换求出 g(x)的解析式,再求其在给定区间上的最值.

?x π ? ?x π ? [规范解答] (1)f(x)=2 3sin? + ?·cos? + ?-sin(x+π )3 分 ?2 4 ? ?2 4 ? ? π? = 3cos x+sin x=2sin?x+ ?,5 分 3? ?
2π 于是 T= =2π .6 分 1

? π? ? π? (2)由已知得 g(x)=f?x- ?=2sin?x+ ?.8 分 6? 6? ? ?
π ? π 7π ? ∵x∈[0,π ],∴x+ ∈? , ?, 6 ? 6 ?6

? π? ? 1 ? ∴sin?x+ ?∈?- ,1?,10 分 6? ? 2 ? ? ? π? ∴g(x)=2sin?x+ ?∈[-1,2].13 分 6? ?
故函数 g(x)在区间[0,π ]上的最大值为 2,最小值为-1.14 分
1

[答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为: 第一步(化简):将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式.

? 2 2 第二步(用辅助角公式):构造 f(x)= a +b ·?sin x· ?
2 2

a a +b
2

2

+cos x·

b
2

a +b2?

? ?.

第三步(求性质):利用 f(x)= a +b sin(x+φ )研究三角函数的性质. 第四步(反思):反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. [温馨提示] 1.在第(1)问的解法中,使用辅助角公式 asin α +bcos α = a +b sin
2 2

b? ? (α +φ )?其中tan φ = ?,在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,

?

a?

应特别加以关注. 2.求 g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解. [对点训练 1] (2017·石家庄模拟)已知函数 f(x)=Asin ω x+Bcos ω x(A,B,ω 是 1 常数,ω >0)的最小正周期为 2,并且当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x)的解析式;

?21 23? (2)在闭区间? , ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果 ?4 4?
不存在,请说明理由. 2π 2 2 [解] (1)因为 f(x)= A +B sin(ω x+φ ),由它的最小正周期为 2,知 =2,ω = ω π .2 分 1 1 π π 又因为当 x= 时,f(x)max=2,知 π +φ =2kπ + (k∈Z),φ =2kπ + (k∈Z),4 3 3 2 6 分 π? π? ? ? 所以 f(x)=2sin?π x+2kπ + ?=2sin?π x+ ?(k∈Z). 6? 6? ? ? π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?π x+ ?.6 分 6? ? (2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称 π π 1 轴,令 π x+ =kπ + (k∈Z),解得 x=k+ (k∈Z).9 分 6 2 3 由 21 1 23 59 65 ≤k+ ≤ ,解得 ≤k≤ ,11 分 4 3 4 12 12

又 k∈Z,知 k=5,13 分 16 ?21 23? 由此可知在闭区间? , ?上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= .14 分 3 ?4 4? 热点 2 解三角形
2

从近几年全国卷来看,高考命题强化了解三角形的考查力度,着重考查正弦定理、余弦 定理的综合应用,求解的关键是实施边角互化,同时结合三角恒等变换进行化简与求值. △ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,△ABD 面积是△ADC 面积的 2 倍. sin B (1)求 ; sin C (2)若 AD=1,DC= 2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

1 [解] (1)S△ABD= AB·ADsin∠BAD, 2

S△ADC= AC·ADsin∠CAD.2 分
因为 S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以 AB=2AC. sin B AC 1 由正弦定理,得 = = .6 分 sin C AB 2 (2)因为 S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以 BD= 2.8 分 在△ABD 和△ADC 中,由余弦定理,知

1 2

AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.12 分
故 AB +2AC =3AD +BD +2DC =6. 由(1),知 AB=2AC,所以 AC=1.14 分 [规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面 积公式, 要适时、 适度进行“角化边”或“边化角”, 要抓住能用某个定理的信息. 一般地, 如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理; 如果式子中含有角的正弦或边 的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则两个定理都有可能用到. [对点训练 2] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 asin 2B= 3
2 2 2 2 2

bsin A.
(1)求 B; 1 (2)若 cos A= ,求 sin C 的值. 3 [解] (1)在△ABC 中,由 = , sin A sin B 可得 asin B=bsin A.2 分 又由 asin 2B= 3bsin A,得 2asin Bcos B= 3bsin A= 3asin B,

a

b

3

所以 cos B=

3 π ,得 B= .6 分 2 6

1 2 2 (2)由 cos A= ,可得 sin A= ,则 3 3

? π? sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B)=sin?A+ ? 6? ?
= 3 1 2 6+1 sin A+ cos A= .14 分 2 2 6 热点 3 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体,三角恒等变换与解三角形交汇命题,是近几年高考试题的一大亮点, 主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用,求解的关键是根据题目提供的信 息,恰当地实施边角互化. (2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,

c,且 sin A-cos A=-
(1)求角 C;

10 2 5 ,cos B= . 5 5

(2)若△ABC 的面积为 2,求 a 的值. 【导学号:51062132】 [解] (1)∵sin A-cos A=- 2 ∴1-2sin Acos A= ,2 分 5 3 ∴2sin Acos A= ,∴A 为锐角. 5 ∴sin A+cos A= 1+2sin Acos A= 10 ? sin A-cos A=- , ? 5 由? 2 10 ? ?sin A+cos A= 5 , 2 10 .3 分 5 10 , 5

10 ? sin A= , ? 10 得? 3 10 ? ?cos A= 10 .

2 5 5 2 ∵cos B= ,∴B 为锐角,∴sin B= 1-cos B= . 5 5 则 cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=- 3π 而 0<C<π ,∴C= .8 分 4 2 , 2

b sin B (2)由正弦定理得 = = 2,则 b= 2a. a sin A
4

由(1)得 sin C=

2 , 2

1 1 2 1 2 △ABC 的面积 S= absin C= ×a× 2a× = a =2,∴a=2.14 分 2 2 2 2 [规律方法] 1.以三角形为载体, 实质考查三角形中的边角转化, 求解的关键是抓住边 角间的关系,恰当选择正、余弦定理. 2.解三角形常与三角变换交汇在一起(以解三角形的某一结论作为条件),此时应首先 确定三角形的边角关系,然后灵活运用三角函数的和、差、倍角公式化简转化.

?π ? [对点训练 3] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 tan ? +A?= ?4 ?
2. sin 2A (1)求 2 的值; sin 2A+cos A π (2)若 B= ,a=3,求△ABC 的面积. 4 1 ?π ? [解] (1)由 tan? +A?=2,得 tan A= , 3 ?4 ? sin 2A 2tan A 2 所以 = .5 分 2 = sin 2A+cos A 2tan A+1 5 1 (2)由 tan A= ,A∈(0,π ),得 3 sin A= 10 3 10 ,cos A= .8 分 10 10

π a b 由 a=3,B= 及正弦定理 = ,得 b=3 5.11 分 4 sin A sin B 2 5 ? π? 由 sin C=sin(A+B)=sin?A+ ?,得 sin C= . 4? 5 ? 1 设△ABC 的面积为 S,则 S= absin C=9.14 分 2 热点探究训练(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题 4 π 1.在△ABC 中,AC=6,cos B= ,C= . 5 4 (1)求 AB 的长;

? π? (2)求 cos?A- ?的值. 6? ?
4 [解] (1)因为 cos B= ,0<B<π , 5
5

所以 sin B= 1-cos B=

2

?4?2 3 1-? ? = .2 分 ?5? 5

由正弦定理知 = , sin B sin C 6× 3 5 2 2

AC

AB

AC·sin C 所以 AB= = sin B

=5 2.6 分

(2)在△ABC 中,A+B+C=π ,所以 A=π -(B+C),

? π? 于是 cos A=-cos(B+C)=-cos?B+ ? 4? ?
=-cos Bcos π π +sin Bsin .9 分 4 4

4 3 又 cos B= ,sin B= , 5 5 4 2 3 2 2 故 cos A=- × + × =- .12 分 5 2 5 2 10 7 2 2 因为 0<A<π ,所以 sin A= 1-cos A= . 10 π π ? π? 因此,cos?A- ?=cos Acos +sin Asin 6? 6 6 ? =- 2 3 7 2 1 7 2- 6 × + × = .14 分 10 2 10 2 20
2

2.设 f(x)=2 3sin(π -x)sin x-(sin x-cos x) . (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)把 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把得到的 π ?π ? 图象向左平移 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求 g? ?的值. 3 ?6? 【导学号:51062133】 [解] (1)f(x)=2 3sin(π -x)sin x-(sin x-cos x) =2 3sin x-(1-2sin xcos x) = 3(1-cos 2x)+sin 2x-1 =sin 2x- 3cos 2x+ 3-1 π? ? =2sin?2x- ?+ 3-1,4 分 3? ? π π π 由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + (k∈Z), 2 3 2
2 2

6

π 5π 得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 12 12 所 以

f(x) 的 单 调 递 增 区 间 是 ?kπ - ,kπ + ? (k ∈ 12 12

? ?

π

5π ?

?

π 5π ? ? ? ? Z)?或?kπ - ,kπ + ??k∈Z??.7 分 12 12 ? ? ? ? π? ? (2)由(1)知 f(x)=2sin?2x- ?+ 3-1,9 分 3? ? 把 y = f(x) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 ( 纵坐标不变 ) ,得到 y =

? π? 2sin?x- ?+ 3-1 的图象, 3? ?
π 再把得到的图象向左平移 个单位, 3 得到 y=2sin x+ 3-1 的图象, 即 g(x)=2sin x+ 3-1, π ?π ? 所以 g? ?=2sin + 3-1= 3.14 分 6 6 ? ? π? 2? 3.设 f(x)=sin xcos x-cos ?x+ ?. 4? ? (1)求 f(x)的单调区间; (2)在锐角△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 f? ?=0,a=1,求△ABC 面 ?2? 积的最大值. π? ? 1+cos?2x+ ? 2? sin 2x ? [解] (1)由题意知 f(x)= - 2 2 = sin 2x 1-sin 2x 1 - =sin 2x- .2 分 2 2 2

?A?

π π 由- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2 π π 可得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z;3 分 4 4 由 π 3π +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z, 2 2

π 3π 可得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z.6 分 4 4 π ? π ? 所以 f(x)的单调递增区间是?- +kπ , +kπ ?(k∈Z),7 分 4 4 ? ?

7

单调递减区间是?

?π +kπ ,3π +kπ ,?(k∈Z). ? 4 ?4 ?

1 1 ?A? (2)由 f? ?=sin A- =0,得 sin A= , 2 2 2 ? ? 由题意知 A 为锐角,所以 cos A=
2 2 2

3 .9 分 2

由余弦定理 a =b +c -2bccos A, 可得 1+ 3bc=b +c ≥2bc,12 分 即 bc≤2+ 3,当且仅当 b=c 时等号成立. 1 2+ 3 因此 bcsin A≤ . 2 4 所以△ABC 面积的最大值为 2+ 3 .14 分 4
2 2

2a+b 4. (2017·浙江名校交流卷)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知

c

cos?A+C? = . cos C (1)求角 C 的大小; (2)若 c= 3,求使△ABC 周长最大时 a,b 的值. 2a+b cos?A+C? [解] (1)∵ = , c cos C ∴ 2sin A+sin B cos?A+C? = , sin C cos C

∴2sin Acos C+sin Bcos C+sin Ccos B=0, ∴2sin Acos C+sin A=0,4 分 1 2π 又 sin A≠0,∴cos C=- ,∴C= .6 分 2 3 3 a b (2)∵ = = , 2π sin A π ? ? sin sin? -A? 3 ?3 ?

?π ? ∴a=2sin A,b=2sin? -A?,10 分 ?3 ? ?π ? ∴ △ ABC 的 周 长 = 3 + 2sin A + 2sin ? -A? = 3 + sin A + 3 cos A = 3 + ?3 ?
π ? π? 2sin?A+ ?,∴当 A= 时,△ABC 的周长最大,此时 a=b=1.14 分 3 6 ? ?

8


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