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吉林省东北师大附中、吉林市一中等五校协作体2016届高三第一次联合考试题 - 理科数学


2015-2016 学年第一次联合命题数学(理科)试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知集合 M ? {x | x ? x ? 0}, N ? {0,1,2,3} ,则 (CU M ) ? N =(
2



A. {x | 0 ? x ? 1} 1-3i ,则( 1+2i

B. {0,1}

C. {2,3}

D. {1,2,3}

2.复数 z= A.|z|=2

) C.z 的虚部为-i D.z 的共轭复数为-1+i

B.z 的实部为 1 )

3.下列判断错误的是(

A.“ am 2 ? bm 2 ”是“a < b”的充分不必要条件 B.命题“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ” C.“若 a=1,则直线 x ? y ? 0 和直线 x ? ay ? 0 互相垂直”的逆否命题 D.若 p?q 为假命题,则 p,q 均为假命题 4.已知 f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则 f(x)的表达式为( 3 π A.f(x)=2sin( x+ ) 2 4 4 2π C.f(x)=2sin(3x+ 9 ) 3 5π B.f(x)=2sin( x+ ) 2 4 4 25 D.f(x)=2sin(3x+18π) )

?x ? y ? 3 ? 0 ? 5.若 x、y 满足不等式 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为( ? y ? ?1 ?
A. 11 B. ?11 C. 13 6.若函数 y ? cos 2 x 与函数 y ? sin( x ? ? ) 在 [0, A.

) D. ?13

?
2

] 上的单调性相同,则 ? 的一个值为(
D.

)

?
6

B.
2

?
4
2 2

C.

?
3

?
2


7.过点 A(a, a ) 可作圆 x ? y ? 2ax ? a ? 2a ? 3 ? 0 的两条切线, 则实数 a 的取值范围为 ( A. a ? ?3 或 a ? 1 B. a ?

3 2

C. ? 3 ? a ? 1 或 a ?

3 2

D. a ? ?3 或 1 ? a ?

3 2
)

→ → → → → → → 8.在△ABC 中,若AB2=AB· AC+BA· BC+CA· CB,则△ABC 是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形

D.直角三角形

9.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ? x ? 1 时,f ( x) ? 则函数 g ( x) ? f ( x) ? A. 2 n ( n ? Z ) C. 4n ? 1( n ? Z)

1 x, 2

1 的零点是( 2


2

B. 2n ? 1( n ? Z) D. 4n ? 1( n ? Z) )
1 1 正视图

3

侧视图

10.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( 11 3 A. 6
2

B. 3
2

5 3 C. 3

4 3 D. 3

俯视图

11.已知双曲线

x y ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 与函数 y ? ? x ( x ? 0) 的图象交于点 P . 若函数 2 a b


y ? ? x 在点 P 处的切线过双曲线左焦点 F (?1, 0) ,则双曲线的离心率是(
A.

5 ?1 2

B.

5?2 2

C.

3 ?1 2

D.

3 2

12.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 F ( x) 和 G ( x) 对其公共定义域上的任意实数 x 都满足:

F ( x) ? kx ? b 和 G ( x) ? kx ? b 恒成立,则称此直线 y ? kx ? b 为 F ( x) 和 G ( x) 的“隔离直线”,
已知函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R ), g ( x) ? ① F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 x ? (?

1 ( x ? 0), h( x) ? 2e ln x ,有下列命题: x

3

1 , 0) 内单调递增; 2

② f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 b 的最小值为 ?4 ; ③ f ( x) 和 g ( x) 之间存在“隔离直线”,且 k 的取值范围是 (?4, 0] ; ④ f ( x) 和 h( x) 之间存在唯一的“隔离直线” y ? 2 ex ? e . 其中真命题的个数有( A. 1 个 B. 2 个 ) C. 3 个 D. 4 个

二. 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填写在横线上) 13.执行如图所示的程序框图,输出的 T= 14.若 loga(a2+1)<loga2a<0,则实数 a 的取值范围是 . .

??3 ? a ?x ? 3 f ?x ? ? ? x ? 6 ?a 15.已知函数

?x ? 7 ? ?x ? 7 ? ,若数列?an ? 满足

?a ? an ? f (n) ( n ? N ? ) ,且 n 是递增数列,则实数 a 的取
值范围是 ___________. 16.同底的两个正三棱锥内接于同一个球.已知两个正三棱锥的 底面边长为 a,球的半径为 R.设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ? 、 ? ,则

tan(? ? ? ) 的值是



三.解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 A, B, C 成等差数列,且 b ? 3 .数列

?an ? 是等比数列,且首项 a1 ?

1 sin A ? sin C ,公比为 . 2 a?c

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ?

log 2 an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . an

18.(本小题满分 12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分,台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿 海登陆,造成 165.17 万人受灾,5.6 万人紧急转移安置,288 间房屋倒塌,46.5 千公顷农田受 灾,直接经济损失 12.99 亿元。距离陆丰市 222 千米的梅州也受到了台风的影响,适逢暑假, 小明调查了梅州某小区的 50 户居民由于台风造成的经济损失,将收集的数据分成 ?0,2000? ,

?2000,4000? , ?4000,6000? , ?6000,8000?, ?8000,10000? 五组,并作出如下频率分布直方
图(图 1) : (Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表) ; (Ⅱ)小明向班级同学发出倡议,为该小区居民捐款。现从损失超过 4000 元的居民中随机抽出

2 户进行捐款援助,设抽出损失超过 8000 元的居民为 ? 户,求 ? 的分布列和数学期望; (III)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的 50 户居民捐款情况如下表, 在图 2 表格空白处填写正确数字,并说明是否有 95℅以上的把握认为捐款数额多于或少 于 500 元和自身经济损失是否到 4000 元有关?

(图 1)

P(K ≥k) k

2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

附:临界值表参考公式: K 2 ?

n(ad ? bc) 2 ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

19.(本小题满分 12 分)如图所示,△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD⊥平面 BCD,AB⊥平面 BCD,AB=2 3. (Ⅰ)求证:AB∥平面 MCD; (Ⅱ)求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值.

20. (本小题满分 12 分)已知抛物线 C : x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F (0,1) ,过点 F 作直线 l 交抛 物线 C 于 A,B 两点.椭圆 E 的中心在原点,焦点在 x 轴上,点 F 是它的一个顶点,且其离心率

e?

3 . 2

(Ⅰ)分别求抛物线 C 和椭圆 E 的方程; (Ⅱ)经过 A,B 两点分别作抛物线 C 的切线 l1 , l 2 ,切线 l1 与 l 2 相交于点 M.证明 AB ? MF

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 . ax ? x, a ? R . 2

(Ⅰ)若 f (1) ? 0 ,求函数 f ( x) 的最大值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,讨论函数 g ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若 a ? ?2 ,正实数 x1 , x 2 满足 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x1 x 2 ? 0 ,证明 x1 ? x 2 ?

5 ?1 . 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,多答、不答按本选考题的首题进行评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 ︵ 如图所示,AC 为⊙O 的直径,D 为 BC 的中点,E 为 BC 的中点. (Ⅰ)求证:DE∥AB; (Ⅱ)求证:AC· BC=2AD· CD.
A O B D E C

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系 Ox 中,直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2,M 是 C1 上任意一点,点 P 在射线 OM 上,且满足|OP|· |OM|=4,记点 P 的轨迹为 C2. (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; ? (Ⅱ)求曲线 C2 上的点到直线 ρcos(θ+ 4 )= 2的距离的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x-1|. (Ⅰ)解不等式 f (x)+f (x+4)≥8; b (Ⅱ)若|a|<1,|b|<1,且 a≠0,求证:f (ab)>|a|f ( a ).

吉林省五校高考高端命题研究协作体

2015-2016 学年第一次联合命题数学(理科)答案
一.选择题 题 号 答 案 二.填空题 13. 29 14. 1 2<a<1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

B

D

D

B

A

D

D

D

D

C

A

15. 三.解答题

?2,3?

16.

?

4 3 R 3a

17.解 : (Ⅰ)A, B, C 成等差数列,? B ? 60? ? 6分 (Ⅱ) bn ? ?

sin A ? sin C sin B 1 1 ? ? ? an ? n ……………… a?c b 2 2

log 2 a n ? n ? 2 n ………………8 分 an

S n ? 1? 2 ? 2 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ;
2 S n ? 1 ? 2 2 ? 2 ? 2 3 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1

(1 ? 2) S n ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n2n ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n2n ?1 S n ? (n ? 1)2n ?1 ? 2 ………………12 分
18.解: (Ⅰ)记每户居民的平均损失为 x 元,则:

x ? (1000 ? 0.00015 ? 3000 ? 0.0002 ? 5000 ? 0.00009 ? 7000 ? 0.00003 ? 9000 ? 0.00003) ? 2000 ? 3360


……………………… 2

(Ⅱ)由频率分布直方图可得,损失超过 4000 元的居民共有(0.00009+0.00003+0.00003) ×2000×50=15 户,损失超过 8000 元的居民共有 0.00003×2000×50=3 户,因此,

? 的可能取值为 0,1,2

P(? ? 0) ?

1 1 2 C3 C12 12 C 32 C12 22 1 , , ? P ( ? ? 1 ) ? ? P ( ? ? 2 ) ? ? 2 2 2 35 C15 35 C15 C15 35

? 的分布列为

?
P

0

1

2

22 35

12 35

1 35

E? ? 0 ?

22 12 1 2 ? 1? ? 2 ? ? 35 35 35 5

………………………7 分

(Ⅲ)如图:

经济损失不超过 4000 元 捐款超过

经济损失超过 合计 4000 元

30
500 元 捐款不超

9

39

5
过 500 元 合计

6 15

11 50

35

K2 ?

50 ? (30 ? 6 ? 9 ? 5) 2 39 ?11? 35 ?15 , ? 4.046 ? 3.841

所以有 95℅以上的把握认为捐款数额是否多于或少于 500 元和自身经济损失是否 4000 元 有关.………………………12 分 19.解:(Ⅰ)证明:取 CD 中点 O,因为△MCD 为正三角形,所以 MO⊥CD. 由于平面 MCD⊥平面 BCD,所以 MO⊥平面 BCD.又因为 AB⊥平面 BCD, 所以 AB∥MO.又 AB?平面 MCD, MO? 平面 MCD, 所以 AB∥平面 MCD. ……………… 6分 (Ⅱ)连接 OB,则 OB⊥CD,又 MO⊥平面 BCD. 取 O 为原点,直线 OC,BO,OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系如图所示. OB=OM= 3,则各点坐标分别为 C(1,0,0),M(0,0, 3),B(0,- 3,0), A(0, - 3, 2 3). → → CM=(-1,0, 3),CA=(-1,- 3,2 3). 设平面 ACM 的法向量为 n1=(x,y,z),

? → ?n1· CM=0, 由? → ? CA=0, ?n1·

?-x+ 3z=0, 得? ?-x- 3y+2 3z=0,

解得 x= 3z,y=z,取 z=1,得 n1=( 3,1,1).又平面 BCD 的法向量为 n2=(0,0,1), 所以 cos〈n1,n2〉=
2

n1· n2 1 2 5 = .设所求二面角为 θ,则 sinθ= .………………12 分 |n1|· |n2| 5 5
2

20.解: (Ⅰ) 由已知抛物线 C : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点为 F (0,1) 可得抛物线 C 的方程为 x ? 4 y .

x2 y 2 + 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 设椭圆 E 的方程为 a ,半焦距为 c .由已知可得:

? b ?1 ? 3 ? c ? ? ? 2a 2 2 2 ?a ? b ? c ? , 解 得

a ? 2, b ? 1 . 所 以 椭 圆 E 的 方 程 为 :

x2 ? y2 ? 1 4 . ………………4 分
(Ⅱ) 显然直线 的斜率存在, 否则直线 与抛物线 C 只有一个交点, 不合题意, ……………… 6分 故可设直线 的方程为 y ? kx ? 1,

l

l

l

A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) ,

? y ? kx ? 1 ? 2 x ? 4y , 由?

2 x x ? ?4 . 消去 y 并整理得 x ? 4kx ? 4 ? 0, ∴ 1 2

∵抛物线 C 的方程为

y?

1 2 1 x y? ? x 4 ,求导得 2 , y ? y1 ? 1 x1 ( x ? x1 ) 2 ,

∴ 过 抛 物 线 C 上 A、B 两 点 的 切 线 方 程 分 别 是

y ? y2 ?

1 x2 ( x ? x2 ) 2 , y?


1 1 1 1 x1 x ? x12 y ? x2 x ? x2 2 2 4 , 2 4 , x1 ? x2 x1 x2 x ?x , ) ( 1 2 , ?1) 2 4 ,即 M 2 ,

( l ,l 解得两条切线 1 2 的交点 M 的坐标为

???? ? ??? ? x ?x 1 1 1 FM ? AB ? ( 1 2 , ?2) ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ? ( x2 2 ? x12 ) ? 2( x2 2 ? x12 ) ? 0 2 2 4 4 ,
∴ AB ? MF . ……12 分 21. 解:(Ⅰ)因为 f (1) ? 1 ? …………………………

a ? 0 ,所以 a ? 2 , 此时 f ( x) ? ln x ? x 2 ? x, x ? 0 , 2

f ?( x) ?

1 ?2 x 2 ? x ? 1 ? 2x ?1 ? ( x ? 0) , x x

由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,所以 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减, 故当 x ? 1 时函数有极大值, 也是最大值, 所以 f ( x) 的最大值为 f (1) ? 0 . ……………… 4分 (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) -(ax ? 1) ? ln x ?

1 2 ax ? (1 ? a) x ? 1 , 2

所以 g ?( x) ?

1 ?ax 2 ? (1 ? a ) x ? 1 . ? ax ? (1 ? a ) ? x x

当 a ≤ 0 时,因为 x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 . 所以 g ( x) 在 (0, ??) 上是递增函数, 当 a ? 0 时,

?ax 2 ? (1 ? a ) x ? 1 g ?( x) ? ?? x

1 a ( x ? )( x ? 1) , a x

令 g ?( x) ? 0 , 得x?

1 1 1 . 所以当 x ? (0, ) 时,g ?( x) ? 0 ; 当 x ? ( , ??) 时,g ?( x) ? 0 , a a a 1 a 1 a

因此函数 g ( x) 在 x ? (0, ) 是增函数,在 x ? ( , ??) 是减函数. 综上,当 a ≤ 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 (0, ??) ,无递减区间; 当 a ? 0 时,函数 g ( x) 的递增区间是 (0, ) ,递减区间是 ( , ??) .……………… 8分 (Ⅲ)当 a ? ?2 时, f ( x) ? ln x ? x 2 ? x, x ? 0 .
2 2 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 x2 ? 0 ,即 ln x1 ? x1 ? x1 ? ln x2 ? x2 ? x2 ? x1 x2 ? 0 .

1 a

1 a

从而 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 ? ln( x1 ? x2 ) .
2

令 t ? x1 ? x2 ,则由 ? (t ) ? t ? ln t 得, ? ?(t ) ?

t ?1 . t

可知,? (t ) 在区间 (0,1) 上单调递减, 在区间 (1, ??) 上单调递增. 所以 ? (t ) ≥ ? (1) ? 1 ,
2 所以 ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ≥ 1 ,因为 x1 ? 0, x2 ? 0 ,

因此 x1 ? x2 ≥

5 ?1 成立.……………………………………………… 12 分 2

22.解: (Ⅰ)连接 OE,因为 D 为的中点,E 为 BC 的中点,所以 OED 三点共线. 因为 E 为 BC 的中点且 O 为 AC 的中点, 所以 OE∥AB,故 DE∥AB. ………………………………5 分 (Ⅱ)因为 D 为的中点,所以∠BAD=∠DAC, 又∠BAD=∠DCB?∠DAC=∠DCB. 又因为 AD⊥DC,DE⊥CE?△DAC∽△ECD. AC AD ?CD= CE ?AD· CD=AC· CE? 2AD· CD=AC· 2CE ? 2AD· CD=AC· BC. ………………………………10 分

B

A

O

23.解: (Ⅰ)设 P (ρ,θ),M (ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1=4. 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ………………………………5 分 (Ⅱ)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1,C3:x-y=2. 3 2 C2 是以点(0,1)为圆心,以 1 为半径的圆,圆心到直线 C3 的距离 d= 2 , 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 距离的最大值为 1+ 2 . ……………………………… 10 分

? ?-2x-2,x≤-3, -3≤x≤1, 24.解: (Ⅰ)f (x)+f (x+4)=|x-1|+|x+3|=?4, ?2x+2, x≥1. ?
当 x<-3 时,由-2x-2≥8,解得 x≤-5; 当-3≤x≤1 时,f (x)≤8 不成立; 当 x>1 时,由 2x+2≥8,解得 x≥3. 所以不等式 f (x)≤4 的解集为{x|x≤-5,或 x≥3}. ………………………………5 分 b (Ⅱ)f (ab)>|a|f ( a )即|ab-1|>|a-b|. 因为|a|<1,|b|<1, 所以|ab-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0, 所以|ab-1|>|a-b|.故所证不等式成立. ………………………………10 分


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