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停课复习资料三、数列


三、数 列 1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N* (或它的有限子集 {1,2,3, ?,n} ) 的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如(1)已知

n 1 (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ;(2)数列 {an } 的通 n ? 156 25 an 项为 a n ? ,其中 a , b 均为正数,则 an 与 an?1 的大小关系为___(答: an ? an?1 ) ; bn ? 1 (3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的取值范围(答: ? ? ?3 ) ;(4)一给定函数 y ? f ( x) 的图象在下列图中,并且对任意 a1 ? (0,1) ,由关系 an ?
2

式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函数的图象是 () (答: A)

A B C D 2.等差数列的有关概念: (1) 等差数列的判断方法: 定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或 an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。 如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=

a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为 n

等差数列。 (2) 等差数列的通项:an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 如(1)等差数列 {an } 中,

a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ?

(答: 2 n ? 10 );(2)首项为-24 的等差数列,

8 ? d ?3) 3 n(a1 ? an ) n(n ? 1) d。 (3) 等差数列的前 n 和:S n ? ,S n ? na1 ? 如 ( 1) 数列 {an } 2 2 1 3 15 * 中,an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) ,an ? , 前 n 项和 S n ? ? , 则 a1 =_,n =_ (答: 2 2 2 a1 ? ?3 , n ? 10 );(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求数列 {| an |} 的前
从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答:
2 * ? ?12n ? n (n ? 6, n ? N ) ). n 项和 Tn (答: Tn ? ? 2 * ? ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N )

a?b 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2
(4)等差中项:若 a, A, b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,且 A ? 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为?, a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ? ( 公 差 为 d ) ;偶数个数成等差,可设为?,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
3.等差数列的性质: (1)当公差 d ? 0 时,等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的 一次函数,且斜率为公差 d ;前 n 和 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 n 的 2 2 2

二次函数且常数项为 0. (2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有

am ? an ? 2ap .如(1)等差数列 {an } 中,Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____
(答:27) ; (2)在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其前 n 项和, 则 A、S1 , S2 都大于 0 B、S1 , S2 S19 都小于 0,S20 , S21 S10 都小于 0,S11 , S12 都大于 0 C、 S1 , S2 S5 都小于 0, S6 , S7 都大于 0 D、 S1 , S2 S20 都小于 0,

S21 , S22

都大于 0 (答:B)

(4) 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数 ) 、

{ap?nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;若
{an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an} 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25,前 2n
项和为 100,则它的前 3n 和为 。 (答:225) (5) 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2 n 时,S偶-S奇 ? nd ; 项数为奇数 2n ? 1 时, ; S奇 : S S奇 ? S偶 ? a中 , S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an )


? k ( ) 1 :? k

。如(1)在

等差数列中,S11=22,则 a6 =______(答:2) ; (2)项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇 数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). ( 6 ) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

An ? f ( n) , 则 Bn

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) .如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n 项和 bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 a 6n ? 2 S 3n ? 1 分别为 S n 和 Tn ,若 n ? ,那么 n ? ___________(答: ) 8n ? 7 bn Tn 4n ? 3
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的递 增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是关 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。上述两 种方法是运用了哪种数学思想? (函数思想) , 由此你能求一般数列中的最大或最小项吗? 如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?并求此最大值。
*

(答: 前 13 项和最大, 最大值为 169) ; (2) 若 {an } 是等差数列, 首项 a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 ,

a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答:4006) (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列,

且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的项,其 项数不一定相同,即研究 an ? bm . 4.等比数列的有关概念: (1) 等比数列的判断方法: 定义法

an ?1 a a , 其中 q ? 0, an ? 0 或 n?1 ? n ? q(q为常数) an an an?1

如 (1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项, 奇数项之积为 100, 偶数项之积为 120, (n ? 2) 。 则 an ?1 为____ (答: ) ; (2) 数列 {an } 中, 若 bn ? an?1 ? 2an , Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1, 求证:数列{ bn }是等比数列。 (2) 等比数列的通项: 如设等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。

5 6

a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答: n ? 6 , q ?

1 或 2) 2 a (1 ? q n ) (3)等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ? 1 1? q a ?a q ? 1 n 。如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) ; (2) 1? q
10 n n ?1 k ?0 k n

? (? C

; ) 的值为__________(答:2046)

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,首先 要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不是 任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知两个正 数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A,等比中项为 B,则 A 与 B 的大小关系为______(答:A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比,可设为?,

a a a a 3 , , a, aq, aq 2 ?(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设为? 3 , , aq, aq ,?, 2 q q q q
因公比不一定为正数,只有公比为正时才可如此设,且公比为 q 。如有四个数,其中前三 个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,第二个数与第三 个数的和为 12,求此四个数。 (答:15,,9,3,1 或 0,4,8,16) 5.等比数列的性质: ( 1 )当 m ? n ? p ? q 时,则有 am an ? a p aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有
2

am an ? ap 2 .如(1)在等比数列 {an } 中, a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数,
则 a10 =___ ( 答 : 512 ) ; ( 2 ) 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 {an } 中 , 若 a5 ? a6 ? 9 , 则

log 3 a1 ? l o g 3 a 2?

? log 3a 1 0?

(答:10) 。

(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {ap? nq}( p, q ? N* ) 、 {kan } 成等比数列;若

a { n } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列, 则 {anbn } 、 且公比 q ? ?1 , {an }、 {bn }成等比数列, bn 则数列 Sn , S2n ? Sn , S 3n ? S 2n ,?也是等比数列。当 q ? ?1 ,且 n 为偶数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列. 如(1)已知 a ? 0 且 a ? 1 ,
设 数 列 {xn } 满 足 l o agx
? n1

? ?1

, 且 x1 ? x 2? lx o g( a nn ? N * )
100

?x

1 0 0

? 100 , 则

x1 0 ? 1 x

1 0 2

?

?x

2 0 0

?

. (答: 100a

) ; (2)在等比数列 {an } 中, S n 为其

前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值为______(答:40) (3) 若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若 则 {an } 为递减数列; 若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列; 若q ? 0, a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. ? a1 n a (4) 当 q ? 1 时, S n ? q ? 1 ? aqn ? b ,这里 a ? b ? 0 ,但 a ? 0, b ? 0 , 1? q 1? q 这是等比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等比 数列。如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r = (答:-1) (5) Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为 Sn , 若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2 n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? a1 ? qS偶 .
数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 如设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n( n ? N ) , 关于数列 ? an ? 有下列三个命题: ①若 a n ? a n?1 (7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故常数

是等差数列又是等比数列;②若 S n ? a n 2 ? b n ? a 、 b ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;③若

(n ? N) ,则 ? an ? 既

n (答:②③) S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比数列。这些命题中,真命题的序号是 6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。如已知数列

1 1 1 1 1 3 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________(答: an ? 2n ? 1 ? n ?1 ) 2 4 8 16 32 S ,(n ? 1) ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? an ? f (n) )求 an ,用作差法: an ? 1 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2) 。
如① 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1 ,求 an (答:

1 1 {an } 满足 a1 ? 2 a2 ? 2 2

?

1 an ? 2n ? 5 ,求 an (答: 2n

? 3, n ? 1 a ?? 2 ,n ? 2 14, n ? 1 a ?? 2 ,n ? 2
n n

) ;② 数列

n

n ?1



f (1),(n ? 1) ? ? 。如数列 {an } an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ? 61 中, a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 ,则 a3 ? a5 ? ______(答: ) 16 ⑷若 an?1 ? an ? f (n) 求 an 用累加法: an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? (a2 ? a1 ) 1 (n ? 2) , 则 ? a1 (n ? 2) 。 如 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ? n ?1 ? n an =________(答: an ? n ? 1 ? 2 ? 1) a a a a ⑸已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。如已知数 an an ?1 an ? 2 a1 4 列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an (答: an ? ) n(n ? 1) ⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地, ( 1 )形如
⑶已知 a1 a2

an ? kan?1 ? b 、 an ? kan?1 ? bn ( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公
比为 k 的等比数列后, 再求 an 。 如① 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 , 求 an(答: ; an ? 2 3n?1 ?1 )

an ?1 的 k a n ?1 b ? 1 an ?1 an ? 递推数列都可以用倒数法求通项。 如① 已知 a1 ? 1, an ? , 求 an(答: ) ; 3n ? 2 3an ?1 ? 1 1 ② 已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: an ? 2 ) n 注意: (1) 用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时, 你注意到此等式成立的条件了吗? ( n ? 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ) ; (2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关系时, 常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 , 先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式, 然后再求解。 5 4, n ? 1 如数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? an ?1 ,求 an (答: an ? ) 3 4n ?1 , n ? 2 3
② 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5 3n?1 ? 2n?1 ) ; (2)形如 an ?

?

7.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比数 列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

? n ? 1 n(n ? 1) 12 ? 22 ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , , 2 6 n(n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? n3 ? [ ] . 如( 1 ) 等比数列 {an } 的前 n 项和 S n = 2 n -1,则 2 4n ? 1 2 2 2 =_____(答: ) ; (2)计算机是将信息转换成二进制数进 a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an 3 ) 2 表示二进制数,将它转换成十进制形式是 行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如 (1101 1? 2 ? 3 ?

那么将二进制 (111?11) 2 转换成十进制数是_______ (答: 1? 23 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 1? 20 ? 13, ?? ?? ?
2005 个1

2

2005

?1 ) (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”先

合并在一起,再运用公式法求和 . 如 求: Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (? 1)n (2 n ? 1)(答:

(?1)n ? n )
(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合 数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列前 n 和
0 1 2 公式的推导方法) . 如① 求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? n ? (2n ?1)Cn ? (n ?1) 2n ;② 已知

f ( x) ?

1 1 1 7 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______(答: ) 2 2 3 4 2 1? x

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项 相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如(1) Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? 2an?1 ? an , T2 ? 4 , 设 {an } 为等比数列, 已知 T1 ? 1 , ①求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.(答:① a1 ? 1 , q ? 2 ;② Tn ? 2n?1 ? n ? 2 ) ; (2)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) ,g ( x) ? 4( x ? 1) ,数列 {an } 满足: a1 ? 2, f (an ) ? (an ?
2

①求证: 数列 {an ? 1} 是等比数列; ②令 h( x) ? (a1 ?1) x ? (a2 ?1) x2 an?1 ) g (an )(n ? N ? ) , 8 8 8 ? ? (an ?1) xn ,求函数 h( x) 在点 x ? 处的导数 h ?( ) ,并比较 h ?( ) 与 2n 2 ? n 的大 3 3 3 8 8 n 2 小。 (答:①略;② h?( ) ? (n ? 1) 2 ? 1 ,当 n ? 1 时, h ?( ) = 2n ? n ;当 n ? 2 时, 3 3 8 8 h ?( ) < 2n 2 ? n ;当 n ? 3 时, h ?( ) > 2n 2 ? n ) 3 3 (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后相 关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ), ? ③ 2 ? 2 ? ? 2? ? ? ; k k ?1 2 k ?1 k ?1 k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ? ? ④ ; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1 n 1 1 1 ? ? ? ? 如(1)求和: (答: ) ; (2)在数 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1 1 列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ; n ? n ?1
① (6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 如 ① 求 数 列 1 × 4 , 2 × 5 , 3 × 6 , ? , n ? (n ? 3) , ? 前 n 项 和 Sn = (答:

n(n ? 1)(n ? 5) 1 1 ) ; ②求和: 1? ? ? 3 1? 2 1? 2 ? 3

?

1 1? 2 ? 3 ?

?n

?

(答:

2n ) n ?1

8. “分期付款” 、 “森林木材”型应用问题 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中,务必“卡手 指” ,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统 一到“最后”解决. (2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存入 本金 p 元,每期利率为 r ,则 n 期后本利和为: Sn ? p(1 ? r ) ? p(1 ? 2r ) ? p(1 ? nr )

n(n ? 1) r ) (等差数列问题) ;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利)模 2 型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年) 后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清。如果每期利率为 r (按复利) ,那么每期等额 n n?1 n ?2 还款 x 元应满足:p(1 ? r ) ? x(1 ? r ) ? x(1 ? r ) ? ? x(1 ? r ) ? x(等比数列问题) . ? p (n ?


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