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湖北省黄冈中学2012年秋季高二数学(理)期中考试试题及答案


湖北省黄冈中学 2012 年秋季高二数学(理)期中考试试题
命题:曹燕 校对:肖海东

★ 祝同学们考试顺利★
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1. 下列说法中正确的有( )

A.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 B.一组数据不可能有两个众数 C.一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据 D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大 答案:D 解析:一组数据的平均数介于这组数据中的最大数据与最小数据之间,所以 A 错;众数是一组数据中 出现最多的数据,所以可以不止一个,B 错;若一组数据的个数有偶数个,则其中中位数是中 间两个数的平均值,所以不一定是这组数据中的某个数据,C 错;一组数据的方差越大,说明 这组数据的波动越大,D 对.

2. 把 1010(2) 化为十进制数为(
A.20 答案:C B.12

) C.10 D.11

解析: 1010(2) =1? 23 +0 ? 22 +1? 21 +0 ? 20 =10
3. 将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组, 分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名 教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( ) A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 答案:A
2 2 解析:先安排老师有 A2 ? 2 种方法,在安排学生有 C 4 ? 6 ,所以共有 12 种安排方案

4.某程序框图如图 1 所示,现输入如下四个函数:
f ( x) ? x 2 , f ( x) ? sin x , f ( x) ?

1 , f ( x) ? e x , x

则可以输出的函数是( A. f ( x) ? x 2 C. f ( x) ? 答案:B

) B. f ( x) ? sin x D. f ( x) ? e x

1 x

图1 1

解析:有程序框图可知可以输出的函数既是奇函数,又要存在零点.满足条件的函数是 B.
?0 ? x ? 2 5.设不等式组 ? 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距 ?0 ? y ? 2

离小于等于 2 的概率是( A.



? 4

B.

? ?2
2

C.

? 6

D.

4?? 4

答案:A 解析:平面区域 D 的面积为 4,到坐标原点的距离小于等于 2 的点所到区域为 ? ,有几何概型的概率 公式可知区域 D 内一个点到坐标原点的距离小于等于 2 的概率为

? . 4

6.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,…,960,分 组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的 人做问卷 A ,编号落入区间 ? 451, 750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷

B 的人数为(



A.7 B.9 C.10 D.15 答案:C 解析:方法一:从 960 中用系统抽样抽取 32 人,则每 30 人抽取一人,因为第一组号码为 9,则第二 组为 39,公差为 30.所以通项为 an ? 9 ? 30(n ? 1) ? 30n ? 21 ,由 451 ? 30 n ? 21 ? 750 ,即

15

22 21 ? n ? 25 ,所以 n ? 16,17,?25 ,共有 25 ? 16 ? 1 ? 10 人. 30 30 10 ? 10 人. 32

方法二:总体中做问卷 A 有 450 人,做问卷 B 有 300 人,做问卷 C 有 210 人,则其比例为 15: 10:7.抽到的 32 人中,做问卷 B 有 32 ?

7.如图 2 是歌手大奖赛中,七位评委给甲、乙两名选手打出的分数的 茎叶图(其中 m 为 0~9 中的一个正整数),现将甲、乙所得的一个最 高分和一个最低分均去掉后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为
a1,a2 ,中位数分别为 b1,b2 ,则有(

) B. a1 ? a2 , b1 ? b2 D. a1,a2 与 b1,b2 大小均不能确定

图2

A. a1 ? a2

, b1 ? b2



C. a1 ? a2 , b1 ? b2



答案:B 解析:将甲、乙所得的一个最高分和一个最低分均去掉后,甲的分数为 85,84,85,85,81; 乙的分数为 84,84,86,84,87.则 a1 =84,a2 =85 ; b1 =85,b2 =84 . 8.2012 年伦敦奥运会某项目参赛领导小组要从甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中选派四人分别从事 翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中甲、乙只能从事前三项工作,其余三人均能从事 这四项工作,则不同的选派方案共有 ( )

2

A.18 种 答案:D

B.36 种

C.48 种

D.72 种

1 1 3 解析:分两类:第一类,甲、乙两人只选一人参加,共有: C2C3 A3 ? 36 ; 2 2 第二类:甲乙两人都选上,共有: A3 A3 ? 36 ,有分类计数原理,得不同的选派方案共有 72 种.

9. 如图 3 甲所示, 三棱锥 P ? ABC 的高 PO ? 8 ,AC ? BC ? 3 ,?ACB ? 30? , N 分别在 BC 和 PO M、 上,且 CM ? x , PN ? 2 x ( x ? (0.3]) ,图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥 N ? AMC 的体积 V 与 x 的变化关系,其中正确的是( )

答案:A
1 9 解析: S?ABC ? ? 3 ? 3 ? sin 30? ? , 2 4

图3

S N ? AMC VN ? AMC

1 9 27 VP ? ABC ? ? ? 9 ? , x ? 0,VN ? AMC ? 0, 3 4 4 1 3 ? ? 3 ? x ? sin 30? ? x ( x ? (0,3]) 2 4 1 3 1 9 ? ? x ? (9 ? 2 x) ? x( ? x) ( x ? (0,3]) 是抛物线的一部分. 3 4 2 2

10.函数 y ? 9 ? ( x ? 5)2 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为 该等比数列的公比的数是( A. 答案:D 解析:函数等价为 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 9, y ? 0 ,表示为圆心在 (5,0) 半径为 3 的上半圆,圆上点到原点 的最短距离为 2,最大距离为 8,若存在三点成等比数列,则最大的公比 q 应有 8 ? 2q 2 ,即 ) C. 3 D. 5

3 4

B. 2

q 2 ? 4, q ? 2 ,最小的公比应满足 2 ? 8q 2 ,所以 q 2 ?
1 ? q ? 2 ,所以 5 不可能成为该等比数列的公比. 2

1 1 , q ? ,所以公比的取值范围为 4 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置上.) 11.若 (ax ? 1) 的展开式中各项的系数和为 27,则实数 a 的值是_________.
3

答案:4

3

解析:令

x ? 1 , 则有 (a ? 1) 3 ? 27 ? a ? 4 .

9} 那么 a ? b 12. 已知向量 a ? ( x, ?1) ,b ? (3, y ) , 其中 x 随机选自集合 {?1,1, 3} ,y 随机选自集合 {1, 3, ,

的概率是 答案:



2 9 解析:则基本事件空间包含的基本事件有:(-1,1),(-1,3),(-1,9), (1,1),(1,3),(1,9),(3,1),(3,3),(3,9),共 9 种. ? ? ? ? a ? b 则 y ? 3x .事件“ a ? b ”包含的基本事件有(1,3), (3,9),共 2 种.
? ? 2 ∴ a ? b 的概率为 . 9 13.如图 4 是某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形, 等腰三角形和菱形,则该几何体体积为 .

2 3

正视图 2

2 侧视图

答案: 2 3
俯视图

图4

解析:有三视图可知几何体是底面为菱形,对角线分别为 2 和 2 3 ,顶点在底面的射影为底面菱形对

1 1 角线的交点,高为 3,所以体积为 V= ? ? 2 ? 2 3 ? 3=2 3 . 3 2 14.如图 5 是某算法的程序框图,则程序运行后输入的结果是_________.
是 开始

T ?0 k ?1

sin

k? (k ? 1)? 是 a ? 1 ? sin ? 2 2

T ?T ? a

k ? k ?1

k ? 6?



输出 T

结束

否 答案:3

a?0
图5

解析:当 k ? 1, a ? 1, T ? 1; 当 k ? 2, a ? 0, T ? 1; 当 k ? 3, a ? 0, T ? 1; 当 k ? 4, a ? 1, T ? 2; 当 k ? 5, a ? 1, T ? 3 ,则此时 k =k ? 1 ? 6 ,所以输出 T=3 . 15.甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、 乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2 后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以 2 后再加上 12,这样就可得到一个新 的实数 a2 ,对 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数 a3 ,当 a3 ? a1 时,甲获胜, 否则乙获胜。若甲获胜的概率为 答案: a1 ≥ 24或a1 ≤12
4

3 ,则 a1 的取值范围是_________. 4

解析:有题意可得:
?4a1 ? 3 6 ? a ? 6 ?2a1 ? 2 ? 2 2? 1 2 ?a 1 ? ? ? a2 ? ? a1 , a 3? ?a 2 ? a 3? ?a 1 12 ? ? 2 ? 12 ? 2 ? 12 ? ? ? ? a1 ? 18 ?4 ?

? a1 ? 6 ? a1 , a1 ? 12 ? a1
?4a1 ? 36 ? a1 ?4a1 ? 36 ≤ a1 3 ? ? ? 只要 ? a1 或 ? a1 甲获胜的概率即为 ???? 4 ? 4 ? 18 ≤ a1 ? 4 ? 18 ? a1 ? ?
?????? a1 ≥ 24或a1 ≤12

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 1 n ) ( n?N*)展开式中,前三项的二项式系数和是 56 , 16. (本小题满分 12 分)已知二项式 ( x 2 ? ..... 2 x 求: ) n 的值; (Ⅰ (Ⅱ )展开式中的常数项. 16.解析:(Ⅰ) C0 ? C1 ? C2 ? 56 n n n ????? 2 分

? 1? n ?

n(n ? 1) ? 56 ? n 2 ? n ? 110 ? 0 2
????? 5 分

? n ? 10, n ? ?11 (舍去).
(Ⅱ) ( x ?
2

1 2 x

r ) 展开式的第 r ? 1 项是 C10 ( x 2 )10?r (
10

1 r 20? 52r , ) ?C ( ) x 2 2 x 1
r r 10

2 0?

5r ? 0? ?, r 8 2
8

????? 10 分

故展开式中的常数项是 C10 ( ) ?
8

1 2

45 . 256

????? 12 分

17. (本题满分 12 分)某校从高二年级学生中随机抽取 60 名学生, 将其期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段: ? 40,50 ? ,

?50,60 ? ,…, ?90,100? 后得到如下频率分布直方图 6.
(Ⅰ )求分数在 ? 70,80 ? 内的频率; (Ⅱ )用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分) 的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样 本看成一个总体,从中任意选取 2 人, 求其中恰有 1 人的分数不低于 90 分的概率.

图6

5

17 解析: (Ⅰ)分数在 ?70,80 ? 内的频率为:

1 ? (0.010 ? 0.015 ? 0.015 ? 0.025 ? 0.005) ?10 ? 1 ? 0.7 ? 0.3
(Ⅱ )由题意, ?80,90 ? 分数段的人数为: 0.25 ? 60 ? 15 人

???4 分

?90,100? 分数段的人数为: 0.05 ? 60 ? 3 人;
∴ ?80,90 ? 分数段抽取 5 人, ?90,100? 分数段抽取 1 人,

???6 分

∵用分层抽样的方法在 80 分以上(含 80 分)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,

因为从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分,则另一人的 分数一定是在 ?80,90 ? 分数段,所以只需在分数段 ?80,90 ? 抽取的 5 人中确定 1 人. 设“从样本中任取 2 人,其中恰有 1 人的分数不低于 90 分为”事件 A ,

P ? A? ?

1 1 C5C1 1 ? . 2 C6 3

???12 分

18. (本题满分 12 分)号码为 1、2、3、4、5、6 的六个大小相同的球,放入编号为 1、2、3、4、5、 6 的六个盒子中,每个盒子只能放一个球. (Ⅰ )若 1 号球只能放在 1 号盒子中,2 号球只能放在 2 号的盒子中,则不同的放法有多少种? (Ⅱ 若 3 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中, 号球不能放在 4 号盒子中, ) 4 则不同的放法有多少种? (Ⅲ )若 5、6 号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中,则不同的放法有多少种?
4 18.解析: )1 号球放在 1 号盒子中,2 号球放在 2 号的盒子中有 A4 =24 (种) (Ⅰ .

???4 分

(Ⅱ 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中,则 3 号球有两种选择,4 号球不能放在 4 号盒子中, )3 则有 4 种选择,则 3 号球只能放在 1 号或 2 号盒子中,4 号球不能放在 4 号盒子中有
1 1 4 . C2C4 A4 ? 192 (种)

???8 分

(Ⅲ )号码是相邻数字的两个盒子有 1 与 2、2 与 3、3 与 4、4 与 5、5 与 6 共 5 种情况,
1 2 4 则符合题意的放法有 C5 A2 A4 ? 240 (种) .

???12 分

19. (本小题共 12 分)近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回 收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机 抽取了该市三类垃圾箱中总计 1000 吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨) : “厨余垃圾”箱 厨余垃圾 可回收物 其他垃圾 400 30 20 “可回收物”箱 100 240 20 “其他垃圾”箱 100 30 60

(Ⅰ )试估计厨余垃圾投放正确的概率; (Ⅱ )试估计生活垃圾投放错误的概率; (Ⅲ )假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 a , b, c ,其中
a ? 0 ,a ? b ? c ? 600 。 当数据 a , b, c 的方差 s 2 最大时, 写出 a , b, c 的值 (结论不要求证明) ,
6

并求此时 s 2 的值. 1 (注: s 2 ? [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ? ? ( xn ? x)2 ] ,其中 x 为数据 x1 , x2 , ? ? ?, xn 的平均数) n 19.解析: )厨余垃圾投放正确的概率约为 (Ⅰ

400 2 “厨余垃圾”箱里厨余垃圾量 = = 厨余垃圾总量 400+100+100 3
(Ⅱ )设生活垃圾投放错误为事件 A,则事件 A 表示生活垃圾投放正确.

???4 分

事件 A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量 与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量,

400+240+60 =0.7 .所以 P(A)约为 1-0.7=0,3. ???8 分 1000 1 2 (Ⅲ )当 a ? 600 , b ? c ? 0 时, S 取得最大值.因为 x ? (a ? b ? c) ? 200 , 3 1 2 2 2 所以 S 2 ? [(600 ? 200) ? (0 ? 200) ? (0 ? 200) ] ? 8000 . ???12 分 3
即 P( A )约为 20. (本题满分 13 分)如图 7,圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,三棱柱的底面为圆柱底面的 内接三角形,且 AB 是圆 O 直径. (Ⅰ )证明:平面 A1 ACC1 ? 平面 B1 BCC1 ; (Ⅱ )设 AB ? AA1 ? 2 ,在圆柱 OO1 内随机选取一点,记该点取自于三 棱柱 ABC ? A1 B1C1 内的概率为 p . (i) 当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值;
图7

(ii)记平面 A1 ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? (0? ? ? ? 90?) ,当 p 取最大值时,求 cos ? 的值. 20 解析: (Ⅰ)因为 AA1 ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,所以 AA1 ? BC , 因为 AB 是圆 O 直径,所以 BC ? AC ,又 AC ? AA1 ? A ,所以 BC ? 平面 A1ACC1 , 而 BC ? 平面 B1BCC1 ,所以平面 A1ACC1 ? 平面 B1BCC1 . (Ⅱ) (i)有 AB=AA1=2,知圆柱的半径 r =1,其体积 V=? r 2 ? 2r ? 2? 1 三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 V1 = BC ? AC ? 2r ? BC ? AC , 2 又因为 BC2 +AC2 =AB2 =4 ,所以 BC ? AC ? ???3 分

BC2 +AC2 =2 , 2

当且仅当 BC=AC= 2 时等号成立,从而 V1 ? 2 , 故p?

V1 1 ? 当且仅当 BC=AC= 2 ,即 OC ? AB 时等号成立, V ?
7

所以 p 的最大值是

1

?



????8 分

1 2 (ii)方法一:延长 A1A,B1O 交于 G,取 AC 中点 H,连 OH,则 OH∥BC,且 OH ? BC ? , 2 2 OH⊥平面 A1 ACC1 ,过 H 作 HK⊥CG,连 OK,则 ?HKO ? ? ,在 Rt ?AGC 中,作 AQ ? GC ,

则 有 AQ ?
cos ? ?

AG ? AC 2 3 1 3 30 ? ,则 HK ? AQ ? ,在 Rt ?HKO 中, OK ? HK 2 ? OH 2 ? , 2 3 6 GC 3

HK 10 ? OK 5 HK 10 ? OK 5

方法二:取 AC 中点 H,可用射影面积法 cos ? ?

方法三:由(i)可知, p 取最大值时, OC ? AB ,于是以 O 为坐标原点,
H

建立空间直角坐标系 Oxyz ,则 C(1,0,0) ,B(0,1,0) B1 (0,1,2) , ,
??? ? 因为 BC ? 平面 A1ACC1 ,所以 BC=(, , ) 1 -1 0 是平面 A1ACC1 的一个法向量,
K Q

? ?n ? OC ?x ?rx ? 0 ? 0 ? 设平面 B1OC 的法向量 n=(x,y,z) ,由 ? ? ???? 得,故 ? , ? ? ? y ? ?0 ?n ? OB1 ?ry ? 2rz ? 2 z ? ? ? ? 取 z ? 1 得平面 B1OC 的一个法向量为 n=(0,-2,1) ,因为 0 <? ? 90 ,
? ??? ? ? ??? ? 102r n ? BC 10 所以 cos ? ?| cos n,BC |= ? ??? ? . ? ? 5 ? 2r 5 | n | ? | BC | 5
???13 分

?

??? ?

G

21. (本题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1, 圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . (Ⅰ )若过点 C1 (?1, 0) 的直线 l 被圆 C2 截得的弦长为

6 ,求直线 l 的方程; 5

(Ⅱ )圆 D 是以 1 为半径,圆心在圆 C3 : ( x+1)2 ? y 2 ? 9 上移动的动圆 , 若圆 D 上任意一点 P 分别作圆 C1 的两条切线 PE , PF ,
???? ???? ? ? 切点为 E , F ,求 C1 E? 1 F 的取值范围 ; C

(Ⅲ )若动圆 C 同时平分圆 C1 的周长、圆 C2 的周长, 如图 8 所示,则动圆 C 是否经过定点?若经过, 求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.

21 解析: )设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,即 kx ? y ? k ? 0 . (Ⅰ
8

因为直线 l 被圆 C2 截得的弦长为 6 ,而圆 C2 的半径为 1, 5 所以圆心 C2 (3, 到 l : kx ? y ? k ? 0 的距离为 4)
4k ? 4
2

? 4. k ?1 5

化简,得 12k 2 ? 25k ? 12 ? 0 ,解得 k ? 4 或 k ? 3 . 4 3 所以直线 l 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 (Ⅱ) 动圆 D 是圆心在定圆 ( x+1)2 ? y 2 ? 9 上移动,半径为 1 的圆
y

???4 分

设 ?EC1 F ? 2? ,则在 Rt ?PC1 E 中, cos ? ?

C1 E PC1

?

1 , PC1
E D P

P

有 cos 2? ? 2cos 2 ? ? 1=

2 PC1
2

? 1 ,则

? C1 ?
F

x O

???? ???? ???? ???? ? ? ? ? C1 E C ?F 1 C Ec o ?F2 ? 1 1 Cs ?

? o s 22 ?= c
PC1

2

1

由圆的几何性质得, DC1 ? r ? PC1 ? DC1 ? r ,即 2 ? PC1 ? 4 , 4 ? PC1 ? 16
2

???? ???? ? ? 1 7 则 C1 E ? C1F 的最大值为 - ,最小值为 - . 2 8
y (Ⅲ )设圆心 C ( x, ) ,由题意,得 CC1 ? CC2 ,

???? ???? ? 7 1 ? ? ? 故 C1 E ? C1 F ? ? ? , ? ? . ? 8 2?

???9 分

即 ( x ? 1)2 ? y2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 . 化简得 x ? y ? 3 ? 0 ,即动圆圆心 C 在定直线 x ? y ? 3 ? 0 上运动.
y

y
C2

3 设 C (m, ? m) ,则动圆 C 的半径为 1 ? CC12 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 .

于是动圆 C 的方程为 ( x ? m)2 ? ( y ? 3 ? m)2 ? 1 ? (m ? 1)2 ? (3 ? m)2 . 整理,得 x ? y ? 6 y ? 2 ? 2m( x ? y ? 1) ? 0 .
2 2

C1
O

C

x



? x ? 1 ? 3 2, ? x ? 1 ? 3 2, ? x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 2 由? 2 得? 或? x ? y 2 ? 6 y ? 2 ? 0, ? y ? 2 ? 3 2; ? y ? 2 ? 3 2. ? ? 2 ? 2

所以定点的坐标为 1 ? 3 2, ? 3 2 , 1 ? 3 2, ? 3 2 . 2 2 2 2 2 2

?

? ?

?

???14 分

9


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