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浙江高考历年真题之立体几何大题(理科)


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浙江历年理科高考题之立体几何大题
(教师版)

1、 (2005 年)18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, OP⊥底面 ABC. (Ⅰ)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; 2

(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心? 解:方法一: (Ⅰ) ∵O、D 分别为 AC、PC 中点,? OD∥PA

又PA ? 平面PAB , ? OD∥平面PAB
(Ⅱ)? AB ? BC,OA ? OC, OA ? OB ? OC, ?

又? OP ? 平面ABC ,? PA ? PB ? PC. 取BC中点E,连结PE,则BC ? 平面POE

P D F A O B
王新敞
奎屯 新疆

作OF ? PE于F,连结DF,则OF ? 平面PBC ? ?ODF是OD与平面PBC所成的角.
又 OD∥PA ,?PA 与平面 PBC 所成的角的大小等于 ?ODF ,

OF 210 在Rt ?ODF中, ?ODF ? sin ? , OD 30 210 ? PA与平面PBC所成的角为arcsin . 30

C E

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, OF ? 平面PBC ,∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影

∵D 是 PC 的中点,若点 F 是 ?PBC 的重心,则 B,F,D 三点共线, ∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,

? OB ? PC,? PC ? BD,? PB ? PC ,即 k ? 1

王新敞
奎屯

新疆

反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥,∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心 方法二:

王新敞
奎屯

新疆

? OP ? 平面ABC , OA ? OC, AB ? BC ,?OA ? OB, OA ? OP, OB ? OP.
以 O 为原点,射线 OP 为非负 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如图)
王新敞
奎屯 新疆

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? 2 ? ? ? 2 ? ? 2 设 AB ? a, 则 A ? ? 2 a, 0, 0 ? , B ? 0, 2 , 0 ? , C ? ? 2 , 0, 0 ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
设 OP ? h ,则 P ? 0, 0, h ? (Ⅰ)?D 为 PC 的中点,? OD ? ? ?

z

P D

????

? ? ?

2 1 ? a, 0, h ? , 4 2 ? ?

A

x

O B

C

又 PA ? ?

??? ?

? ??? ? ? 2 ? ???? 1 ??? a, 0, ?h ? ,? OD ? ? PA,? OD // PA ,? OD∥平面PAB ? 2 ? 2 ? ?

y

??? ? 2 ? 7 7 ? 1 a,? PA ? ? ,即 PA ? 2a,? h ? ? 2 a, 0, ? 2 a ? , ? 2 2 ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? 1? PA ? n 210 ? 可求得平面 PBC 的法向量 n ? ? 1, ?1, ? , ? ,? cos? PA, n? ? ??? ? ? ? ? 7? 30 | PA | ? | n | ?
(Ⅱ)? k ? 设 PA 与平面 PBC 所成的角为 ? ,则 sin ? ?| cos? PA, n? |?

??? ? ?

210 , 30

(Ⅲ) ?PBC 的重心 G ? ?

? ? ?

???? ? 2 2 1 ? 2 2 1 ? a, a, h ? ,? OG ? ? ? ? ? 6 a, 6 a, 3 h ? , ? 6 6 3 ? ? ?

??? ? ? ? ???? ??? ? ? ???? ??? 1 2 1 2 a, ?h ? ,? OG ? PB ? a 2 ? h 2 ? 0,? h ? a, ? OG ? 平面PBC ,? OG ? PB ,又 PB ? ? 0, ? 2 ? 6 3 2 ? ?

? PA ? OA2 ? h 2 ? a ,即 k ? 1 ,反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥,
∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心
王新敞
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2、 (2006 年)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。 解:方法一: (I)因为 N 是 PB 的中点,PA=AB,所以 AN⊥PB。 因为 AD 平面 PAB,所以 AD⊥PB,从而 PB⊥平面 ADMN, 因为 DM ? 平面 ADMN,所以 PB⊥DM (II)取 AD 的中点 G,连结 BG、NG,则 BG∥CD,
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所以 BG 与平面 ADMN 所成的角和 CD 与平面 ADMN 所成的角相等。 因为 PB⊥平面 ADMN,所以∠BGN 是 BG 与平面 ADMN 所成的角。

在 RtΔ BGN 中, sin ?BGN ?

BN 10 ? BG 5

故 CD 与平面 ADMN 所成的角是 arcsin

10 。 5

方法二:如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-XYZ,设 BC=1,则 A(0,0,0) , P(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,1,0) ,M(1, (Ⅰ)因为 PB ? DM? (2, 0,)?2)( ,1) PD B M ? ? 0( ? 2)(1, ? 22 1 · ,, ) , ( 1 ? 所以 PB⊥DM。 (Ⅱ)因为 PB ? AD ? (2, 0, ?2) ? (0, 2, 0) ? 0 ,所以 PB⊥AD, 又因为 PB⊥DM,所以 PB⊥平面 ADMN, 因此 ? PB ? DC ? 的余角即是 CD 与平面 ADMN 所成的角。

1 ,1) ,D(0,2,0) 2

?? ??? ???? ? ? ?

3 3 2 2

?0

??? ???? ?

因为 cos ? PB ? DC ??

PB ? DC PB ? DC

=

10 5

所以 CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin

10 5

3、 (2007 年) (本题 14 分) 19. 在如图所示的几何体中,EA ? 平面 ABC ,DB ? 平面 ABC , AC ? BC , 且 AC ? BC ? BD ? 2 AE , M 是 AB 的中点. (I)求证: CM ? EM ; (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角. 解:方法一: (I)证明:因为 AC ? BC , M 是 AB 的中点,所以 CM ? AB . 又 EA ? 平面 ABC ,所以 CM ? EM .

D E

A

C

M
B

(II)解:过点 M 作 MH ? 平面 CDE ,垂足是 H ,连结 CH 交延长交 ED 于点 F ,

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连结 MF , MD .∠FCM 是直线 CM 和平面 CDE 所成的角. 因为 MH ? 平面 CDE ,所以 MH ? ED , 又因为 CM ? 平面 EDM ,所以 CM ? ED , 则 ED ? 平面 CMF ,因此 ED ? MF . 设 EA ? a , BD ? BC ? AC ? 2a , 在直角梯形 ABDE 中, AB ? 2 2a , M 是 AB 的中点, 所以 DE ? 3a , EM ? 3a , MD ?

D E
E

H

A M B

C

6a ,
?

得 △EMD 是直角三角形,其中∠EMD ? 90 , 所以 MF ?

EM ?MD ? 2a . DE MF ? 1 ,所以∠FCM ? 45? , MC
?

在 Rt△CMF 中, tan ∠FCM ?

故 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 . 方法二: 如图,以点 C 为坐标原点,以 CA ,CB 分别为 x 轴和 y 轴,过点 C 作与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴, 建立直角坐标系 C ? xyz , E ? 设 A a , A( a,? , (0, , , (2a, a) . (0, , ) , (a,a, . 则 2 ?, B 2a 0) E ) 0, D 2a 2a M 0)

? 0) (I)证明:因为 EM ? (?a,a, a) , CM ? (a,a, ,

???? ?

???? ?

CM ? 0 ,故 EM ? CM . 所以 EM ?
, (II)解:设向量 n = ?1 y0,z0 ? 与平面 CDE 垂直,则 n ? CE , n ? CD ,

???? ???? ? ?

??? ?

??? ?

z
D

CE ? 0 , n? ? 0 . CD 即 n?
2 2 0, 因为 CE ? (2a, a) , CD ? (0,a,a) ,所以 y0 ? 2 , x0 ? ?2 ,

??? ?

??? ?

E

??? ?

??? ?

???? ? ???? ? CM ?n 2 即 n ? (1 2, 2) , cos n, , ,? CM ? ???? ? ? 2 CM ?n
???? ?
?

x
A
?

C

M y B

直线 CM 与平面 CDE 所成的角 ? 是 n 与 CM 夹角的余角,所以 ? ? 45 , 因此直线 CM 与平面 CDE 所成的角是 45 .

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4、 (2008 年)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF, ? BCF= ? CEF= 90? , AD= 3 ,EF=2。 (Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60? ? 方法一: (Ⅰ)证明:过点 E 作 EG ? CF 交 CF 于 G ,连结 DG , 可得四边形 BCGE 为矩形,又 ABCD 为矩形, 所以 AD ∥EG ,从而四边形 ADGE 为平行四边形, 故 AE ∥ DG .因为 AE ? 平面 DCF , DG ? 平面 DCF , 所以 AE∥平面 DCF . (Ⅱ)解:过点 B 作 BH ? EF 交 FE 的延长线于 H ,连结 AH . 由平面 ABCD ? 平面 BEFC , AB ? BC ,得 AB ? 平面 BEFC , 从而 AH ? EF .所以 ?AHB 为二面角 A ? EF ? C 的平面角.
? 在 Rt△EFG 中,因为 EG ? AD ? 3 , EF ? 2 ,所以 ?CFE ? 60 , FG ? 1 .

D A C B H E G F

又因为 CE ? EF ,所以 CF ? 4 , 从而 BE ? CG ? 3 . A

z D

sin 于是 BH ? BE ? ?BEH ?
因为 AB ? BH ? ?AHB , tan

3 3 . 2

C x B F E y

9 ? 所以当 AB 为 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2

方法二:如图,以点 C 为坐标原点,以 CB,CF 和 CD 分别作为 x 轴, y 轴和 z 轴, 建立空间直角坐标系 C ? xyz .设 AB ? a,BE ? b,CF ? c ,

0, 0, 0) 则 C (0, 0) , A( 3, a) , B( 3, 0) , E ( 3,b, , F (0,c, . 0, 0) ? 0, 0) (Ⅰ)证明: AE ? (0,b, a ) , CB ? ( 3, 0) , BE ? (0,b, , ??? ? ??? ? ??? ?

CE ? 0 , CB?BE ? 0 ,从而 CB ? AE , CB ? BE , 所以 CB?
所以 CB ? 平面 ABE .因为 CB ? 平面 DCF ,所以平面 ABE ∥平面 DCF . 故 AE∥平面 DCF .
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??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

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0) (Ⅱ)解:因为 EF ? (? 3,c ? b, 0) , CE ? ( 3,b, ,
所以 EF ? CE ? 0 , | EF |? 2 ,从而

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??3 ? b(c ? b) ? 0, ? 3, 解得 b ? 3,c ? 4 .所以 E ( 3,0) , F (0, 0) . 4, ? 2 ? 3 ? (c ? b) ? 2, ?
设 n ? (1 y,z ) 与平面 AEF 垂直,则 n?AE ? 0 , n?EF ? 0 , ,

??? ?

??? ?

??? ? 3 3 0, ) .又因为 BA ? 平面 BEFC , BA ? (0, a) , a ??? ? ??? ? | BA?n | 3 3a 1 9 ? BA ? ? ,得到 a ? . 所以 | cos ? n, ?|? ??? 2 | BA |? n | a 4a 2 ? 27 2 |
解得 n ? (1,3,

9 ? 时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60 . 2 5、 (2009 年)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分别为
所以当 AB 为

PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE , 并求点 M 到 OA , OB 的距离. 解:方法一: (Ⅰ)证明:如图,连结 OP ,以点 O 为坐标原点,分别以 OB,OC,OP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz . 则 O(0,0) A(0, 8,,B(8,0) C(0,0) P(0,6) E(0, 4,,F (4,3) . 0,, ? 0) 0,, 8,, 0,, ? 3) 0, 由题意,得 G(0, 0) . 4,

z P E A x B F G O C y

??? ? ??? ? 0,, ? 3) 因为 OB ? (8, 0) OE ? (0, 4, ,
所以平面 BOE 的法向量 n ? (0,4) . 3,

??? ? ??? ? 4, · 由 FG ? (?4, ? 3) ,得 n FG ? 0 .
又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG∥平面 BOE .

? 0) (Ⅱ)解:设点 M 的坐标为 ( x0,y0, ,则 FM ? ( x0 ? 4,y0, 3) .
因为 FM ⊥平面 BOE ,所以 FM ∥n .

???? ?

???? ?

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因此, x0 ? 4,y0 ? ?

9 . 4
9 4 ? ?

即点 M 的坐标是 ? 4, ,? . ? 0

? ?

? x ? 0, ? 在平面直角坐标系 xOy 中, △AOB 的内部区域可表示为不等式组 ? y ? 0, ? x ? y ? 8. ?
经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组. 所以,在 △AOB 内存在一点 M ,使 FM ⊥平面 BOE . 由点 M 的坐标,得点 M 到 OA OB 的距离分别为 4, . , 方法二: (Ⅰ)证明:取 PE 的中点为 H ,连结 HG,HF . 因为点 E,O,G,H 分别是 PA AC,OC,PE 的中点, , 所以 HG ∥OE,HF ∥ EB . 因此平面 FGH ∥平面 BOE . 因为 FC 在平面 PGH 内,所以 FG∥平面 BOE . (Ⅱ)解:在平面 OAP 内,过点 P 作 PN ⊥OE ,交 OA 于点 N ,交 OE 于点 Q . 连结 BN ,过点 F 作 FM ∥ PN ,交 BN 于点 M . 下证 FM ⊥平面 BOE . 由题意,得 OB⊥ 平面 PAC ,所以 OB ⊥ PN . 又因为 PN ⊥OE ,所以 PN ⊥ 平面 BOE . 因此 FM ⊥平面 BOE . 在 Rt△OAP 中, A N M B O E Q F G C P B A P H E F G O C

9 4

1 24 PQ 4 PA ? 5,PQ ? , ?NPO ? cos ? , 2 5 OP 5 9 ON ? OP tan ?NPO ? ? OA , · 2 OE ?
所以点 N 在线段 OA 上. 因为 F 是 PB 的中点,所以 M 是 BN 的中点. 因此点 M 在 △AOB 内,点 M 到 OA OB 的距离分别为 ,

1 1 9 OB ? 4, ON ? . 2 2 4

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6、 (2010 年)如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在线段 AB,AD 上,AE=EB=AF= EF 将 ?AEF 翻折成 ?A' EF , 使平面 A' EF ? 平面 BEF. (I)求二面角 A'? FD ? C 的余弦值; (II)点 M,N 分别在线段 FD,BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折, 使 C 与 A' 重合,求线段 FM 的长. 方法一: (Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A?H 因为 A?E ? A?F 及 H 是 EF 的中点,所以 A?H ? EF 又因为平面 A?EF ? 平面 BEF,及 A?H ? 平面 A?EF. 所以 A?H ? 平面 BEF。 如图建立空间直角坐标系 A ? xyz. 则 A?(2, 2, 2 2), C (10,8, 0), F (4, 0, 0), D(10, 0, 0). 故 FN ? (?2, 2, 2 2), FD ? (6, 0, 0) 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 A?FD 的一个法向量 所以 ?

2 FD ? 4. 沿直线 3

????
?

??? ?

? ??2 x ? 2 y ? 2 2 z ? 0 ? ,取 z ? 2, 则n ? (0, ?2, 2) ?6 x ? 0 ?

? ?? ? ?? ?? n?m 3 ?? ? 又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0, 0,1) ,故 cos ? n, m ?? ? 3 | n |?| m|
所以二面角的余弦值为

3 . 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x??则M (4 ? x,0,0) 因为翻折后,C 与 A 重合,所以 CM= A?M 故 (6 ? x) ? 8 ? 0 ? (?2 ? x) ? 2 ? (2 2) ,得 x ?
2 2 2 2 2 2

21 4

经检验,此时点 N 在线段 BG 上,所以 FM ? 方法二:

21 . 4

(Ⅰ)解:取截段 EF 的中点 H,AF 的中点 G,连结 A?G ,NH,GH 因为 A?E ? A?F 及 H 是 EF 的中点,所以 A? H//EF。
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又因为平面 A? EF ? 平面 BEF,所以 A? H` ? 平面 BEF, 又 AF ? 平面 BEF,故 A?H ? AF , 又因为 G,H 是 AF,EF 的中点, 易知 GH//AB,所以 GH ? AF , 于是 AF ? 面 A? GH 所以 ?A?GH 为二面角 A? —DF—C 的平面角, 在 Rt ?A?GH 中, A?H ? 2 2, GH ? 2, A?G ? 2 3 所以 cos ?A?GH ?

3 3 . 故二面角 A? —DF—C 的余弦值为 。 3 3

(Ⅱ)解:设 FM ? x , 因为翻折后,G 与 A? 重合,所以 CM ? A?M , 而 CM ? DC ? DM ? 8 ? (6 ? x)
2 2 2 2 2

A?M 2 ? A?H 2 ? MH 2 ? A?H 2 ? MG 2 ? GH 2 ? (2 2)2 ? ( x ? 2)2 ? 22 ,得 x ?
经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ?

21 4

21 . 4

7、 (2011 年)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不 存在,请说明理由。

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? 8、 (2012 年)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, ?BAD ? 120 ,且 PA ⊥平面

ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点。
(1)证明: MN // 平面 ABCD ; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。

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浙江历年理科高考题之立体几何大题
(教师版)

1、 (2005 年)18.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点, OP⊥底面 ABC. (Ⅰ)当 k=

1 时,求直线 PA 与平面 PBC 所成角的大小; 2

(Ⅱ) 当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心?

2、 (2006 年)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD, 且 PA=AD=AB=2BC,M、N 分别为 PC、PB 的中点. (Ⅰ)求证:PB⊥DM; (Ⅱ)求 CD 与平面 ADMN 所成的角。

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3、 (2007 年) (本题 14 分) 19. 在如图所示的几何体中,EA ? 平面 ABC ,DB ? 平面 ABC , AC ? BC , 且 AC ? BC ? BD ? 2 AE , M 是 AB 的中点. (I)求证: CM ? EM ; (II)求 CM 与平面 CDE 所成的角.

D
E

A M B

C

4、 (2008 年)如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF, ? BCF= ? CEF= 90? , AD= 3 ,EF=2。 (Ⅰ)求证:AE//平面 DCF; (Ⅱ)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60? ?

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5、 (2009 年)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分别为

PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的距离.

6、 (2010 年)如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在线段 AB,AD 上,AE=EB=AF= EF 将 ?AEF 翻折成 ?A' EF , 使平面 A' EF ? 平面 BEF. (I)求二面角 A'? FD ? C 的余弦值;

2 FD ? 4. 沿直线 3

(II)点 M,N 分别在线段 FD,BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求 线段 FM 的长.

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7、 (2011 年)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC; (Ⅱ)在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不 存在,请说明理由。

? 8、 (2012 年)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形, ?BAD ? 120 ,且 PA ⊥平面

ABCD , PA ? 2 6 , M , N 分别为 PB, PD 的中点。
(1)证明: MN // 平面 ABCD ; (2)过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A-MN-Q 的平面角的余弦值。

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