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2014-2015高考理科数学《椭圆》练习题


2014-2015 高考理科数学《椭圆》练习题
[A 组 一、选择题 3 1.已知椭圆的长轴长是 8,离心率是 ,则此椭圆的标准方程是( 4 A. C. + =1 16 7 ) 基础演练·能力提升]

x2 x2

y2

B. D.

+ =1 或 + =1 16 7 7 16

x2 x2

y2

x2

y2

16

+ =1 25

y2

16



y2
25

=1 或

x2
25



y2
16

=1

c 3 解析:依题意知,2a=8,e= = , a 4
∴a=4,c=3,b2=a2-c2=16-9=7. 又焦点位置不确定,故椭圆的标准方程为

x2
16

+ =1 或 + =1. 7 7 16

y2

x2

y2

答案:B 2.椭圆 +y =1 的两个焦点为 F1,F2,过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为 P, 4 则|PF2|=( A. 7 2 ) B. 3 2

x2

2

C. 3

D.4

解析: a2=4,b2=1,所以 a=2,b=1,c= 3,不妨设 F1 为左焦点,P 在 x 轴上方,则 F1(- 3, 0),设 P(- 3,m)(m>0),则 - 3 4
2

1 1 +m2=1,解得 m= ,所以|PF1|= ,根据椭圆定义:|PF1| 2 2

1 7 +|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2- = . 2 2 答案:A 3. 矩形 ABCD 中, |AB|=4, |BC|=3, 则以 A, B 为焦点, 且过 C, D 两点的椭圆的短轴的长为( A.2 3 C.4 2 B.2 6 D.4 3 )

解析:依题意得|AC|=5,所以椭圆的焦距为 2c=|AB|=4,长轴长 2a=|AC|+|BC|=8,所以短
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轴长为 2b=2 a -c =2 16-4=4 3. 答案:D 4.已知 P 为椭圆

2

2

x2
25



y2
16

=1 上的一个点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y 2=4 上 ) B.7 D.15

的点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 C.13

解析:由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2,分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+ |PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 答 案:B ?1 ? 5.已知椭圆 x2+my2=1 的离心率 e∈? ,1?,则实数 m 的取值范围是( ?2 ? 3? ? A.?0, ? 4? ? 3? ?4 ? ? C.?0, ?∪? ,+∞? 4? ?3 ? ? 解析:椭圆标准方程为 x + =1. 1
2

)

?4 ? B.? ,+∞? ?3 ? 4? ?3 ? ? D.? ,1?∪?1, ? 3? ?4 ? ?

y2 m

1 ?1 ? 当 m>1 时,e2=1- ∈? ,1?, m ?4 ? 4 解得 m> ; 3 1 当 0<m<1 时,e =
2

m

-1

3? ?4 3 ?1 ? ? ? =1-m∈? ,1?,解得 0<m< ,故实数 m 的取值范围是?0, ?∪? ,+∞?. 4? ?3 1 4 ?4 ? ? ?

m
答案:C

x2 y2 6.直线 y=x 与椭圆 C: 2+ 2=1 的交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的焦点,则椭圆 C 的离心率 a b
为( A. ) -1+ 5 2 B. 1+ 5 2

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C.

3- 5 2

D.

1 2

解析:设直线 y=x 与椭圆 C: 2+ 2=1,在第一象限的交点为 A,依题意有,点 A 的坐标为(c,

x2 y2 a b

c2 c2 c2 c2 c),又点 A 在椭圆 C 上,故有 2+ 2=1,因为 b2=a2-c2,所以 2+ 2 2=1,所以 c4-3a2c2+a4=0, a b a a -c
即 e4-3e2+1=0,解得 e2= 答案:A 二、填空题 7.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________. 解析:由△ABF2 的周长=4a=16,得 a=4,又知离心率为 =16,b =a -c =16-8=8,∴C 的方程为 答案: + =1 16 8
2 2 2

3± 5 5-1 ,又 C 是椭圆,所以 0<e<1,所以 e= . 2 2

2 .过 F1 2

2 c 2 ,即 = ,得 c=2 2,所以 a2 2 a 2

x2
16

+ =1. 8

y2

x2

y2

x2 y2 8.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点为 F1,若椭圆上存在一个点 P,满足以椭圆短轴为直径的圆 a b
与线段 PF1 相切于该线段的中点,则椭圆的离心率为________. 解析:如图,设切点为 M,由条件知,OM⊥PF1 且 OM=b.

∵M 为 PF1 的中点,∴PF2=2b,且 PF1⊥PF2,从而 PF1=2a-2b.
2 2 ∴PF2 1+PF2=F1F2,

即(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2, 整理得 3b=2a,∴5a2=9 c2, 解得 e= =

c a

5 . 3
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答案:

5 3

9.已知点 A(0,2)及椭圆 +y2=1 上任意一点 P,则|PA|的最大值为________. 4 解析:设 P(x0,y0),则-2≤x0≤2,-1≤y0≤1,
2 ∴|PA|2=x2 0+(y0-2) .

x2

∵ +y2 0=1, 4
2 ∴|PA|2=4(1-y2 0)+(y0-2)

x2 0

2?2 28 ? =-3y2 . 0-4y0+8=-3?y0+ ? + 3? 3 ? 2 ∵-1≤y0≤1,而-1<- <1, 3 2 28 ∴当 y0=- 时,|PA|2 , max= 3 3 即|PA|max= 答案: 2 21 . 3

2 21 3

三、解答题 10. 设 F1, F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、 右焦点, 点 P 在椭 圆上, 且 PF1⊥PF2, |PF1|·|PF2| =2.当 a=2b 时,求椭圆方 程. 解析:∵a=2b,a2=b2+c2,∴c2=3b2, 又∵PF1⊥PF2, ∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=12b2, 由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b, (|PF1|+|PF2|)2=12b2+4=16b2, 从而得 b2=1,a2=4, ∴椭圆方程为 +y2=1. 4 11.(2013 年高考浙江卷)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点,C1 的长轴
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x2 y2 a b

x2

x2 y2 a b

是圆 C2:x +y =4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.

2

2

(1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程. ?a=2, 解析:(1)由题意得? ?b=1. 所以椭圆 C1 的方程为 +y2=1. 4 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设为 k,则直线 l1 的 方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d= 所以|AB|=2 2 4k2+3 . k2+1 4-d2= 1 , k2+1

x2

又 l2⊥l1,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. ?x+ky+k=0, 由? 2 2 ?x +4y =4, 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0, 8k 故 x0=- . 4+k2

k2+1 所以|PD| = . 4+k2
8 设△ABD 的面积为 S,则

S= |AB|·|PD|=
所以 S=

1 2

8

4k2+3 , 4+k2 13 4k2+3

32 4k2+3+

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≤ 2

32 4k2+3· 13 4k2+3



16 13 , 13

当且仅当 k=±

10 时取等号. 2 10 x-1. 2

所以所求直线 l1 的方程为 y=±

12.(能力提升)设椭圆 C: 2+ 2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 A,过 A 与 AF2 垂直 → → 的直线交 x 轴负半轴于 Q 点,且 2F1F2+F2Q=0. (1)求椭圆 C 的 离心率; (2)若过 A,Q,F2 三点的圆恰好与直线 x- 3y-3=0 相切,求椭圆 C 的方程; (3)在(2)的条件下, 过右焦点 F2 的直线交椭圆于 M, N 两点, 点 P(4,0), 求△PMN 面积的最大值. 解析:(1)设 Q(x0,0). → ∵F2(c,0),A(0,b),则F2A=(-c,b), →

x2 y2 a b

AQ=(x0,-b),
→ → 又F2A⊥AQ,∴-cx0-b2=0, → → b2 故 x0=- ,又 2F1F2+F2Q=0, c

b2 ∴F1 为 F2Q 的中点,故-2c=- +c, c c 1 即 b2=3c2=a2 -c2,∴e= = . a 2 c 1 (2)∵e= = ,∴a=2c,b = 3c, a 2
则 F2(c,0),Q(-3c,0),A(0, 3c). ∴△AQF2 的外接圆圆心为(-c,0),半径

r= |F2Q|=2c=a.
∴ |-c-3| =2c,解得 c=1,∴a=2,b= 3, 2
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1 2

椭圆方程为 + =1. 4 3 (3)设直线 MN 的方程为:x=my+1,代入 + =1 得 4 3 (3m2+4)y2+6my-9= 0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), ∴y1+y2=- 6m , 3m2+4

x2 y2

x2 y2

y1y2=-

9 , 3m +4
2

|y1-y2|=

y1+y2

2

-4y1y2

4 3· 3m2+3 = . 3m2+4 1 ∴S△PMN= |PF2|·|y1-y2| 2 6 3· 3m2+3 = , 3m2+4 令 3m +3=λ ≥
2

3, 9 = , 1 2 3+ 3 6 3

6 3λ 6 3 ∴S△PMN= 2 = ≤ λ +1 1 λ + λ

9 ∴△PMN 面 积的最大值为 ,此时 m=0. 2 [B 组 因材施教·备选练习]

x2 y2 1.(2013 年高考四川卷)从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A a b
是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的 离心率是( A. C. 2 4 2 2 ) B. D. 1 2 3 2

解析:左焦点为 F1(-c,0),PF1⊥x 轴,
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c2? b4 b2? c2 y2 b2 ? P 2 2? 当 x=-c 时, 2+ 2=1?yP=b ?1- 2?= 2?yP= (负值不合题意,已舍去),点 P?-c, ?, a? a a? a b a ? ? b b2 由斜率公式得 kAB=- ,kOP=- . a ac b b2 ∵AB∥OP,∴kAB=kOP?- =- ?b=c. a ac c2 1 c 2 ∵a2=b2+c2=2c2,∴ 2= ?e= = . a 2 a 2
答案:C → → x2 y2 2.已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆 2+ 2=1 的两个焦点,P 为椭圆上一点且PF1·PF2=c2,则此

a

b

椭圆离心率的取值范围是( ? 3 ? A.? ,1? ?3 ? ? 3 2? C.? , ? 2? ?3

) ?1 1? B.? , ? ?3 2? ? 2? D.?0, ? 2? ?

→ → 解析:设 P(m,n),PF1·PF2=c2=(-c-m,-n)·(c-m,-n)=m2-c2+n2,∴ m2+n2=2c2,2c2

x2 y2 -m =n ①,把 P(m,n)代入椭圆 2+ 2=1 得 b2m2+a2n2=a2b2②, a b
2 2

a2b2-2a2c2 c 3 把①代入②得 m = ≥0,∴ a2b2≤2a2c2 ,∴ b2≤2c2 ,∴ a2≤3c2,∴ e= ≥ . 又 m2= 2 2 b -a a 3
2

? 3 a2b2-2a2c2 2 c 2 2? ≤a ,∴a2≥2c2,∴e= ≤ .综上知此椭圆离心率的取值范围是? , ?.故选 C. 2 2 b -a a 2 2 ? ?3 答案:C

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