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幂函数w1


一次函数

二次函数

对数函数

简单函数
反比例函数
指数函数

还有我!



函数的完美追求
我们知道: N ? 1.如果 a 一定,N 随 b 的变化而变化, x 我们建立了指数函数 y ? a ;

a

b

2.如果 a 一定, b 随 N 的变化而变化, 我们建立了对数函数: y ? log a x。

设想:如果b一定,N随a的变化而变化,
是不是也应该可以确定一个函数呢?

函数的生活实例
问题 1:如果张红购买了每千克 1元的蔬菜 w千克, 那么她需要付的钱数p = w元, 这里p是w的函数。 问题2:如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 是S = a? ,这里S是a的函数 。 问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积 是V = a? , 这里V是a的函数 。 问题 4: 如果正方形场地的面积为 S ,那么正方形的 1 这里a是S的函数 。 边长a= , 2 S 问题5:如果某人t s内骑车行进了1km,那么他骑 ?1 车的平均速度vt = km/s , 这里v是t的函数 。

以上问题中的函数具有什么共同特征?

以上问题中的函数有什么共同特征?
(1)

(2)

(3)
(4) (5)

y=x y=x2 y=x3 y=x1/2 y=x-1

(1)都是函数; (2)均是以自变量为底的幂; (3)指数为常数; (4)自变量前的系数为1; (5)只有一项
?

上述问题中涉及的函数,都是形如 y ? x 的函数。

幂函数

幂函数的定义
?R) 一般地,形如 y ? x (α 的函数叫做幂函数,其 中是常数,x是自变量
注意:
? y ? x (? ? R) 中的指数a为任意实数。而 (1)幂函数

α

x y ? a (a ? 0, a ? 1)中的底数a为大于0且不等 指数函数

于1的常数。 (2)只有形如 y ? x? (? ? R) 的函数才叫做幂函数

幂函数与指数函数的对比
名称 x 指数 底数

解析式
指数函数: y=a
x

a
底数 指数

y
幂值 幂值

幂函数: y= x a

判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看未知数x是指数还是底数

指数函数

幂函数

判一判
判断下列函数是否为幂函数.

(1) y=x4 1 ( 2) y ? 2 x (3) y= -x2

(4) y ? x

1 2

(5) y=2x2 (6) y=x3+2

例、已知函数 f ( x) ? (m ? 2m) x f ( x) 是幂函数? 时,
2

m2 ?m?1

,m为何值

解:因为若函数为
?

f ( x) 幂函数,则需满足
m 2 ? m ? 1? R

2 y ? x (? ? R) 。 所以, m ? 2m ? 1

解得:

m ? ?1 ? 2

f ( x) 是幂函数。 即当 m ? ?1 ? 2 时,

下面研究幂函数

y?x .
a

结合图象,研究性质:定义域、值域、单调 性、奇偶性、过定点的情况等。 我们重点研究 y ? x, y ? x 2 , y ? x ?1 , y ? x3 , y ? x
1 2

利用描点法,在同一平面直角坐标系画出这六 个幂函数的图象.

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表:
y=x y=x2 R [0,+∞) y=x3 y=x
1 2

y=x-1 {x|x≠0} {y|y≠0}

定义域
值域 奇偶性 单调性 公共点

R R

R [0,+∞)
R [0,+∞)
非奇 非偶









在(-∞,0]上减, 在R上 在[0, 在(-∞,0)上减, 在R +∞)上增, 在[ 0 ,+∞)上增, 增 上增 在(0,+∞)上减

(1,1)

? 通过观察到的幂函数图象。请注意幂函 数的指数变化,带来的幂函数图形的变 化

重点研究 幂函数在第一象限的图象
因为函数的奇偶性能够帮助我们 完成左半平面内的图象,所以只需 要研究它们在第一象限内的图象

观察一
3

y?x
2

3

y?x

2

1

0 0 1 2 3

观察二
3

2

y?x y?x

1 2

1 3

1

0 0 1 2 3

观察三
3

2

1

0 0 1 2

y?x ?1 y?x ?2 y?x
3

?1 2

那当 ?

? 1, ? ? ?

呢?

其他图像可以利用奇偶性画出来
紧握拳头
y

半张开
y

伸开手掌
y

? ??

0 ?? ??

? ??

2 1 0 1 2

2
1

2 1

x

0

1

2

x

0 1 2

x

归纳
幂函数图象在第一象限的性质:

? ? 0 ,图象都过定点 (0, 0)和( 1, 1 );
在区间[0, ? ?)上单调递增 .

? ? 0, 图象都过定点 ( 1, 1 );
在区间(0, ? ?)上单调递减 .

变式2:如果幂函数 f ( x) ? x

m2 ?2 m?3

(m ? Z )

的图像与坐标轴无交点且关于y轴对称, 则m=_______.

变式1: x ? (0,1) 时,函数 y ? x p的图像在直线 y ? x 上方,则P的取值范围是_________.

变式3:
幂函数 y ? x
? m2 ?7 m?10

(m ? N ) 在 (0, ??)上为增函数,
? m 3

?

则满足: (a ? 1) _________.

?

m 3

? (3 ? 2a)

的 a的取值范围是

课堂小结:

本节知识结构 : 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质


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