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必修五+1.1.1正弦定理+学案


1.1 正弦定理-----学案
一、学习目标
1.掌握正弦定理及基本应用.(重点) 2.会判断三角形的形状.(难点) 3.能根据正弦定理确定三角形解的个数.(难点、易错点)

二、自主学习
教材整理 1 正弦定理 阅读教材 P2~P3 探究下面第 5 行,完成下列问题.

1. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形.( ) (2)在△ABC 中,等式 bsin A=asin B 总能成立.( ) (3)在△ABC 中,若 A=30° ,a=2,b=2 3,则 B=60° .( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× 教材整理 2 解三角形 阅读教材 P3“思考”上面倒数第二行~P4 例 2,完成下列问题. 1.一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素. 2.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

三、合作探究
探究 1. 已知两角及一边解三角形 1. (1)在△ABC 中,c= 3,A=75° ,B=60° ,则 b 等于( ) 3 2 3 3 6 A. B. C. D. 2 2 2 2 2 (2)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60° ,B=45° ,则 AC=________. 【精彩点拨】 (1)可先由角 A,B 求出角 C,然后利用正弦定理求 b. (2)直接利用正弦定理求解. 【自主解答】 (1)因为 A=75° ,B=60° ,所以 C=180° -75° -60° =45° . 3 3× 2 3 2 b c csin B 因为 c= 3,根据正弦定理 = ,得 b= = = . sin B sin C sin C 2 2 2 AC BC AC 12 (2)由正弦定理知: = , 则 = ,解得 AC=4 6. sin B sin A sin 45° sin 60° 【答案】 (1)A (2)4 6 归纳总结:已知两角及一边的三角形解题方法: (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出 第三个角,最后由正弦定理求第三边.
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(2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理 求另外两边. 探究 2.已知两边及一边的对角解三角形 π (1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 A= ,a=1,b= 3,则 B 6 =________. (2)在△ABC 中,已知 a=2 3,b=6,A=30° ,求 B,C 和 c. 【精彩点拨】 (1)由正弦定理的特点,直接求解.注意三角形解的个数问题. (2)先利用正弦定理求角 B,再利用内角和定理求解,由正弦定理求边 c. a b π 【自主解答】 (1)由正弦定理,得 = .把 A= ,a=1,b= 3代入,解得 sin B sin A sin B 6 3 π 2π = .因为 b>a,所以 B>A,结合题意可知 B= 或 . 2 3 3 π 2π 【答案】 或 3 3 bsin A 6sin 30° 3 (2)由正弦定理得 sin B= = = , 又 a=2 3, b=6, a<b, ∴B=60° 或 120° . a 2 2 3 asin C 2 3sin 90° 当 B=60° 时,C=90° ,c= = =4 3; sin A sin 30° asin C 2 3sin 30° 当 B=120° 时,C=30° ,c= = =2 3. sin A sin 30° 综上 B=60° ,C=90° ,c=4 3或 B=120° ,C=30° ,c=2 3. 归纳总结:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形的方法: (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判 断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦 值可求两个角,要分类讨论. 探究 3. 正弦定理的主要功能 (1) 已知△ABC 的外接圆 O 的直径长为 2R,试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定 理.

【提示】 如图, 连接 BO 并延长交圆 O 于点 D, 连接 CD, 则∠BCD=90° , ∠BAC=∠BDC, 在 Rt△BCD 中,BC=BD· sin∠BDC,所以 a=2Rsin A, a b c a b c 即 =2R,同理 =2R, =2R,所以 = = =2R. sin A sin B sin C sin A sin B sin C a b c (2) 由 =2R, =2R, =2R 可以得到哪些变形形式?这些变形形式有 sin A sin B sin C 什么功能? a b c a 【提示】 由 =2R, =2R, =2R 可以得到的变形:sin A= ,a=2Rsin A; sin A sin B sin C 2R b c sin B= ,b=2Rsin B;sin C= ,c=2Rsin C,由这些变形形式,我们可以实现三 2R 2R 角形中边、角关系的转化. (3) 在△ABC 中,若 sin A=2sin Bcos C,且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的 形状.

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a b c 【精彩点拨】 解决本题的关键是利用 sin A= ,sin B= ,sin C= 把 sin2A=sin2B+ 2R 2R 2R sin2C 转化为三角形三边的关系, 从而判定出角 A, 然后再利用 sin A=2sin Bcos C 求解. a b c 【自主解答】 法一:根据正弦定理,得 = = , sin A sin B sin C ∵sin2A=sin2B+sin2C,∴a2=b2+c2,∴A 是直角,B+C=90° , 2 ∴2sin Bcos C=2sin Bcos(90° -B)=2sin2B=sin A=1,∴sin B= . 2 ∵0° <B<90° ,∴B=45° ,C=45° ,∴△ABC 是等腰直角三角形. a b c 法二:根据正弦定理,得 = = ,∵sin2A=sin2B+sin2C, sin A sin B sin C ∴a2=b2+c2,∴A 是直角.∵A=180° -(B+C),sin A=2sin Bcos C, ∴sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bcos C, ∴sin(B-C)=0.又-90° <B-C<90° ,∴B-C=0,∴B=C, ∴△ABC 是等腰直角三角形. 归纳总结: 1.判断三角形的形状看该三角形是否为某些特殊的三角形,如锐角三角形、直角三角 形、钝角三角形、等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等. 2.已知三角形中的边角关系式,判断三角形的形状,可以考虑用正弦定理化边为角, 再利用三角恒等变换找出三个角之间的关系, 或者化角为边, 通过代数恒等变换找出 三边之间的关系,再给出判断.

四、学以致用
1.在△ABC 中,AB= 6,∠A=75° ,∠B=45° ,则 AC=________. π 2.在△ABC 中,c= 6,C= ,a=2,求 A,B,b. 3

3.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b=acos C,试判断△ABC 的形 状.

五、自主小测
1.在△ABC 中,若 sin A>sin B,则有( ) A.a<b B.a≥b C.a>b 定 2.在△ABC 中,若 c=2acos B,则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 3.在△ABC 中,AB= 3,A=45° ,B=60° ,则 BC=________. 4.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60° ,则 cos B=________. D.a,b 的大小无法判

D.不等边三角形

参考答案
a b a sin A 1.【解析】 因为 = ,所以 = .,因为在△ABC 中,sin A>0,sin B>0, sin A sin B b sin B a sin A 所以 = >1,所以 a>b. b sin B 【答案】 C 2.【解析】 由正弦定理知 c=2Rsin C,a=2Rsin A, 故 sin C=2sin Acos B=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
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所以 sin Acos B=cos Asin B,即 sin(A-B)=0,所以 A=B.故△ABC 为等腰三角形. 【答案】 B BC AB 3.【解析】 利用正弦定理 = ,而 C=180° -(A+B)=75° , sin A sin C AB· sin A 3sin 45° 故 BC= = =3- 3. sin C sin 75° 【答案】 3- 3 a b 15 10 3 4.【解析】 由正弦定理 = ,得 = ,∴sin B= ,∵b<a,∴B<A. sin A sin B sin 60° sin B 3 故角 B 为锐角,∴cos B= 1-sin2B= 【答案】 6 3 1-? 6 3?2 = . ?3? 3

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