3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关文档
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.2 (二)—— 利用向量方法求角


§ 3.2

立体几何中的向量方法 (二) —— 利用向量方法求角

知识点一 求异面直线所成的角 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的所有棱长都是 1,且∠A1AB=∠A1AD =∠BAD=60° ,E、F 分别为 A1B1 与 BB1 的中点,求异面直线 BE 与 CF 所成角的余弦值. 解 如图所示,

解 如图所示,? 设? AB = a,? AD = b,? AA1 = c.? 则| a | = | b | = | c | =1,? 〈 a,b〉=〈b,c〉=〈a,c〉= 60 ?°?,?

??? ?

????

????

1 ,? 2 ??? ? ???? ???? ? 1 而? BE =? BB1 +? B1E = ? a + c.? 2 ??? ? ??? ? ??? ? 1 ? CF = CB + BF = ? b + c,? 2 ??? ? ??? ? 1 2 3 3 ∴| BE | = |a| +|c|2-a· = c ,| CF | = . 4 2 2 ??? ??? ? ? 1 1 ? CF =?-2a+c?·-b+2c? ∴ BE · ? ?? ?
∴a·b = b·c = a·c = 1 1 1 1 = a· a· b- c-b· c2= , c+ 2 4 2 8

??? ??? ? ? ? ??? ??? ? BE ? CF cos〈 BE , CF 〉= ??? ? ??? ? BE ? CF

=

1 , 6

1 ∴异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦值是 . 6

1

【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时, 首选向量法, 利用向量求解.若能构建空间直角坐标系,求解则更为简捷方便.
正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 A1D1、A1C1 的中点.求:异面 直线 AE 与 CF 所成角的余弦值. 解 不妨设正方体棱长为 2,分别取 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立 如图所示空间直角坐标系,则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、

E(1,0,2)、F(1,1,2),由 AE =(-1,0,2),

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? CF =(1,-1,2),得| AE | = 5,| CF | = 6.
∴ AE · =-1+0+4=3. CF 又? AE · CF = | AE |·|? CF |·? cos ?〈 AE ,? CF 〉? = 30 cos〈 AE ,? CF 〉,?

??? ??? ? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

∴? cos ?〈? AE ,? CF 〉=

??? ?

??? ?

30 ,? 10 30 10

∴异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 知识点二 求线面角

正三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面边长为 a, 侧棱长为 2a, AC1 与侧面 ABB1A1 求 所成的角. 解 方法一

建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B(0,a,0), A1(0,0, 2a),C1?-

?

a 3 a ? a, , 2a ,取 A1B1 中点 M,则 M?0,2, 2a?,连结 AM、 ? ? 2 2 ?

MC1,有

2

????? ? 3 ??? ? ???? MC1 = - 2 a,0,0?, AB =(0,a,0), AA1 =(0,0, 2a), ? ? ????? ????? ???? ??? ? 由于? MC1 ·? AB = 0,? MC1 · AA1 = 0,?
∴MC1⊥面 ABB1A1.? ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 A1B 所成的角θ.?

???? ? ???? ? a 3 a ∵? AC1 = ?- a, , 2a? , AM =?0,2, 2a?, ? ? 2 2 ? ? ???? ???? ? ? a2 9a2 ∴ AC1 · AM =0+ 4 +2a2= 4 .
而| AC1 | =

???? ?

3a2 a2 + +2a2= 3a, 4 4 a2 3 +2a2= a, 4 2 3 = . 3a 2 3a× 2 9a2 4

???? ?
| AM |=

???? ? ???? ? ∴cos〈 AC1 , AM 〉=
???? ?
???? ?

∴〈 AC1 , AM 〉=30° , 即 AC1 与侧面 AB1 所成的角为 30° . 方法二 (法向量法)(接方法一)

??? ? ???? AA1, =(0,0, 2a), AB =(0,a,0),
设侧面 A1B 的法向量 n=(λ,x,y).

??? ? → AB ∴n· =0 且 n· 1=0 AA
∴ax=0,且 2ay=0. ∴x=y=0,故 n=(λ,0,0). ∵ AC1 =?-

???? ?

?

3 a ? a, , 2a , 2 2 ?

???? ? ∴cos〈 AC1 , n〉=

3 ???? ? ?? ? a n ? AC 1 2 ?? ? ???? ? ? 2? n ? AC1 ? ? 3a

.

???? ? 1 设所求线面角为 θ,则 sinθ=|cos〈. AC1 ,n〉|= ,θ=30° . 2
【反思感悟】 】

充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再

用向量有关知识求解线面角. 方法二给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线 夹角,再进行换算.

3

如图所示,已知直角梯形 ABCD,其中 AB=BC=2AD,AS⊥平面 ABCD,AD∥BC, AB⊥BC,且 AS=AB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 θ 的余弦. 解 由题设条件知, 可建立以 AD 为 x 轴, 为 y 轴, 为 z 轴的空间直角坐标系(如 AB AS 1 图所示).设 AB=1,则 A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D?2,0,0?,S(0,0,1). ? ?

??? ? → ∴ AS =(0,0,1), CS=(-1,-1,1). ??? ? → AS 是底面的法向量,它与已知向量CS是底面的法向量,
→ → AS· CS 1 3 → 它与已知向量CS的夹角 β=90° -θ,故有 sinθ=cosβ= = = , → → 1× 3 3 |AS||CS| 于是 cosθ= 1-sin2θ= 知识点三 求二面角 6 . 3

如图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直 角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3.点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA.求二面角 A -BE-D 的余弦值. 解 以 B 为原点,以 BC、BA、BP 分别为 x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面 EBD 的一个法向量为 n1=(x,y,1),

??? ? → 因为 BE =(0,2,1),BD=(3,3,0),

4

??? ? ?n1 ? BE ? 0, ? ?2y+1=0 ? 由? 得? , ??? ? ? ?n1 ? BD ? 0, ?3x+3y=0 ?

?x=2 所以? 1 ?y=-2
1



1 1 于是 n1=( ,- ,1). 2 2 又因为平面 ABE 的一个法向量为 n2=(1,0,0), 所以,cos〈n1,n2〉= 1 6 = . 6 6 6 . 6

所以,二面角 A-BE-D 的余弦值为

【反思感悟】 几何法求二面角,往往需要作出平面角,这是几何中一大难 点,而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角,只需求出平面的法向量, 经过简单运算即可,从而体现了空间向量的巨大作用.
若 PA⊥平面 ABC, AC⊥BC, PA=AC=1, BC= 2, 求二面角 A—PB—C 的余弦值. 解

如图所示,建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),B( 2,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),

??? ? ??? ? → AP =(0,0,1), AB =( 2,0,0), CP=(0,-1,1),
设平面 PAB 的法向量为 m=(x,y,z)

??? ? ?m ? AP ? 0, ? 则? ? ??? ? ?m ? AB ? 0, ?

?0,0,1?=0 ??x,y,z?· ?y=- 2x ? , ? ? ?? ? ??x,y,z?· 2,1,0?=0 ?z=0 令 x=1,则 m=(1,- 2,0). 设平面 PBC 的法向量为 n=(x′,y′,z′),则

??? ? ?n ? CB ? 0, ? ? ?x′=0, ??x′,y′,z′?· 2,0,0?=0 ? ?? ? . ? ? ?? ? ? ??? ? ?0,-1,1?=0 ?y′=z′ ??x′,y′,z′?· ?n ? CP ? 0, ?

令 y′=-1,则 n=(0,-1,-1).

5

∴cos〈m,n〉=

3 m· n = . |m||n| 3 3 . 3

∴二面角 A—PB—C 的余弦值为 课堂小结: 1.两条异面直线所成角的求法

(1)向量求法:设直线 a、b 的方向向量为 a、b,其夹角为 φ,则有 cosθ=|cosφ|=

|a· b| . |a|· |b|

(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全 相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角. 2.直线与平面所成角的求法 设直线 l 的方向向量为 a,平面的法向量为 u,直线与平面所成的角为 θ,a 与 u 的夹角 为 φ,则有 |a· u| sinθ=|cosφ|= 或 cosθ=sinφ. |a||u| 3.二面角的求法

??? → ? AB 与CD的夹角(如图①所示).

(2)设 n1、n2 是二面角 α—l—β 的两个面 α、β 的法向量,则向量 n1 与 n2 的夹角(或其补 角)就是二面角的平面角的大小(如图②所示).

一、选择题 1.若直线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150° ,则 l1 与 l2 这两条异面直线所成 的角等于( ) A.30° B.150° C.30° 150° 或 D.以上均错 答案 A 2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 150° ,则直线 l 与平面 α 所成的 角等于( ) A.30° B.60° C.150° D.以上均错 答案 B 3. 直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 α 内, 直角顶点 C 在 α 内的射影是 C′, 则△ABC′ 是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.各种情况都有可能

6

答案 B 解析 ∵0 = CA ?· CB = ( CC ' +? C ' A )( CC ' +? C ' B )? · =| CC ' |2+? C ' A ·? C ' B .? ∴? C ' A ·? C ' B = ? | CC ' |2< 0,? 因 A,B,C′不共线,故∠AC′B 为钝角. 4.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是棱 CC1,BC,A1B1 上 的点,若∠B1MN=90° ,则∠PMN 的大小是( )

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

A.等于 90° B.小于 90° C.大于 90° D.不确定 答案 A 解析 A1B1⊥平面 BCC1B1,故 A1B1⊥MN,

???? → → → → MP · =(MB1+B1P)· MN MN

???? → → → ? = MB1 · +B1P· =0, MN MN
∴MP⊥MN,即∠PMN=90° . 5.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) 1 A. 2 2 B. 3 C. 3 3 D. 2 2

答案 B 二、填空题 6.若两个平面 α,β 的法向量分别是 n=(1,0,1),ν=(-1,1,0).则这两个平面所成的锐 二面角的度数是________. 答案 60° -1 1 解析 cos〈n,ν〉= =- .∴〈n,ν〉=120° . 2 2· 2 7.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别是 DD1,B1C1 的中点,P 是棱 AB 上的动 点,则 A1M 与 PN 所成的角是________. 答案 90° 解析 设正方体每边之长为 1,因

7

????? ????? ????? ? A1M ? A1D1 ? D1M ????? 1 → = A1D1 + D1D, 2

??? ??? → 1 → ? ? PN ? PB +BB1+2B1C1,

? ????? ??? ? 1 → ? ??? ???? 1 ????? ? → ∴ A1M · =?A1D1+2D1D?· PB ? BB1 ? B1C1 ? PN ? ? ? 2
? ?
????? 1 → 1 → → 1 1 = A1D1 ·B1C1+ D1D· 1= - =0, BB 2 2 2 2
∴ A1M ⊥ PN ,即 A1M 与 PN 所成的角为 90° . 三、解答题 8.已知正四棱锥 S—ABCD 的侧棱长为 2,底面的边长为 3,E 是 SA 的中点,求异 面直线 BE 和 SC 所成的角. 解 建立如图所示空间直角坐标系.

?????

??? ?

由于 AB= 3,SA= 2, 可以求得 SO= B? 2 .则 2

3 3 ? ? 3,- 3,0?, , ,0 ,A 2 2 2 ? ? ?2 ?

C?-

?

3 3 2? ? ? . , ,0 ,S 0,0, 2 2 2? ? ?

由于 E 为 SA 的中点, 所以 E? 3 3 2? , ? 4 ,- 4 , 4 ? ??? ? 3 3 3 2? 所以 BE =?- ,- , , 4 4? ? 4 ??? ? ? 3 3 2 SC = - 2 , 2 ,- 2 ?, ? ? ??? ??? ? ? SC 因为 BE · =-1,

??? ?

??? ?
??? ?

| BE |= 2,| SC |= 2, 所以 cos〈 BE , SC 〉= 所以〈 BE , SC 〉=120° .
8

??? ?

-1 1 =- , 2 2× 2

??? ?

??? ?

所以异面直线 BE 与 SC 所成的角为 60° . 9.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2,E、F 分别是线段 AB、BC 上的点,且 EB=FB=1,

(1)求二面角 C—DE—C1 的正切值; (2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值. 解 (1)

以 A 为原点,AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则有 D(0,3,0),D1(0,3,2),E(3,0,0),F(4,1,0),C1(4,3,2), 于是? DE =(3, ? 3,0) ,? EC1 =(1,3,2) ,? FD1 =( ? 4,2,2).? 设平面 C1DE 的法向量为 n=(x,y,z).? 则 n⊥ DE , n⊥ EC1 ∴3x ? 3y=0,? x+3y+2z=0.? ∴x=y= ? z.令 z = 2,? 则 n=(-1,-1,2). ∵向量 AA1 =(0,0,2) 是平面 CDE 的一个法向量, ∴n 与向量 AA1 所成的角 θ 为二面角 C—DE—C1 的平面角.

????

???? ?

???? ?

????

???? ?

????

????

???? n· 1 AA 6 2 ???? ? ∵cosθ= , ∴tanθ= 2 . | n || AA1 | 3
(2)设 EC1 与 FD1 所成角的为 β, 则? cosβ== 21 . 14

10.正三棱锥 O—ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,且长度均为 2.E、F 分别 是 AB、AC 的中点,H 是 EF 的中点,过 EF 的一个平面与侧棱 OA、OB、OC 或其延长线 3 分别相交于 A1、B1、C1,已知 OA1= . 2

9

(1)求证:B1C1⊥平面 OAH; (2)求二面角 O—A1B1—C1 的余弦值. (1)证明 如图所示,以直线 OA、OC、OB 分别为 x、y、z 轴的正方向,建立空间直角 坐标系 O—xyz,则 A(2,0,0),B(0,0,2),C(0,2,0),E(1,0,1),F(1,1,0), 1 1 H?1,2,2?, ? ?

???? 1 1 1 1 → AH =?-1,2,2?, OH=?1,2,2?, ? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ??? → ??? BC =(0,2,-2),所以 AH · =0,OH· =0, BC BC
所以 BC⊥平面 OAH. 由 EF∥BC,得 B1C1∥BC,故 B1C1⊥平面 OAH. (2)解 3 由已知 A1?2,0,0?,设 B1(0,0,z), ? ?

???? 1 ,0,1) ,? EB1 =( ? 1,0,z ? 1) ,? 2 ???? ? ???? ???? ? ???? 由? A1E 与? EB1 共线得:存在λ∈R 使? A1E =λ EB1 ,
则? A1E =( ?

???? ?

?-1=-λ, ?λ=1, ? 2 ? 得? ?? ? 2 ?1=λ?z-1?, ?z=3, ? ?
所以 B1(0,0,3),同理 C1(0,3,0).

????? ? 3 ????? 3 ? 所以 A1B1 =?-2,0,3?, A1C1 = ? ? ,3, 0 ? , ? ?
? 2 ?
设 n1=(x1,y1,z1)是平面 A1B1C1 的一个法向量,

????? ? A1B1 ? n1 ? 0, ? ? 则 ? ????? ?? n ? A1C1·1 ? 0, ? ? ?

10

?-2x +3z =0, 即? 3 ?-2x +3y =0,
3
1 1 1 1

令 x1=2,得 y1=z1=1,所以 n1=(2,1,1). 又 n2=(0,1,0)是平面 OA1B1 的一个法向量, n 1· 2 n 1 6 所以 cos〈n1,n2〉= = = . |n1|· 2| |n 6 4+1+1 所以二面角 O-A1B1-C1 的余弦值为 6 . 6

11


推荐相关:

高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.2 (一)—— 平行与垂直关系的向量证法

高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.2 (一)—— 平行...的法向量. 知识点二 利用向量方法证平行关系 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中...


高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.2 (二)—— 利用向量方法求角

高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.2 (二)—— 利用向量方法求角 隐藏>> § 3.2 立体几何中的向量方法 (二) —— 利用向量方法求...


高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 § (三)—— 利用向量方法求距离

高中数学选修人教A教案导学案第3章 空间向量与立体几何 § (三)—— 利用向量方法求距离 隐藏>> § 3.2 立体几何中的向量方法(三) —— 利用向量方法求距离...


高中数学选修人教A导学案第3章 空间向量与立体几何§3.1.3 空间向量的数量积运算

高中数学选修人教A导学案第3章 空间向量与立体几何§3.1.3 空间向量的数量积运算...( ( 2 2 2 2 2 2 4 (1) BC · ED1 = b· [ 知识点二 利用数量...


选修2-1第三章 空间向量与立体几何 导学案

选修2-1第三章 空间向量与立体几何 导学案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...;当λ=0 时,λa= . 3. 向量加法和数乘向量,以下运算律成立吗? 加法交换...


高中数学选修人教A导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1.5 空间向量运算的坐标表示

高中数学选修人教A导学案第3章 空间向量与立体几何 §3.1.5 空间向量运算的坐标...已知 A(3,3,1),B(1,0,5),求: (1)线段 AB 的中点坐标和长度; (2)...


高中数学人教版选修2-1教学设计:§3.2立体几何中的向量方法(一)

高中数学人教选修2-1教学设计:§3.2立体几何中的向量方法(一)_数学_高中...⑶利用性质 a· a=|a|2,可以解决线段的长或两点间的距离问题. 二、例题讲解...


高中数学人教版选修2-1教学设计:人教A版选修2—1 --§3.2立体几何中的向量方法(1)

高中数学人教版选修2-1教学设计:人教A选修2—1 --§3.2立体几何中的向量...·b= 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 向量表示空间的点、直线、平面 ...


人教版数学选修2-1第三章空间向量与立体几何学案

人教数学选修2-1第三章空间向量与立体几何学案_高二数学_数学_高中教育_教育...(a+b)=λa+λb 二、新课导学 学习探究 探究任务一:空间向量的相关概念 ...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com