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2013-2014学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷(二模)


2013-2014 学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷(二模) 九年级数学学科
(满分 150 分,考试时间 100 分钟)
考生注意: 1. 本试卷含三个大题,共 25 题; 2. 答题时,考生务必按答题要求作答在答题纸规定位置,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主 要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列运算正确的是( ▲ ) (A) a 2 ? a 3 ? a 6 ; (B) a 6 ? a 2 ? a3 ; (C) (a2 )3 ? a6 ; ) (D)第四象限. (D) a 6 ? a 2 ? a 4 . 2014.4

2. 一次函数 y ? 2 x ? 1 的图像不经过的象限是( ▲ (A)第一象限; (B)第二象限;

(C)第三象限;

3. 如图,AF 是∠BAC 的平分线,EF∥AC 交 AB 于点 E. 若∠1=25° ,则 ?BAF 的度数为( ▲ (A)15° ; (C)25° ; (B)50° ; (D)12.5°
1 ,那么 △ ABC 的形状是( 2



4. 在 △ ABC 中,∠A、∠B 都是锐角,且 sin A ? cos B ? (A)钝角三角形;

▲ ).

(B)直角三角形; (C)锐角三角形; (D)无法确定.

5. “大衣哥”朱之文是从“我是大明星” 这个舞台走出来的民间艺人。受此影响,卖豆腐的老张 也来参加节目的海选,当天共有 15 位选手参加决逐争取 8 个晋级名额。已知他们的分数互不相同, 老张要判断自己是否能够晋级,只要知道下列 15 名选手成绩统计量中的( ▲ ) (A) 众数; (A)36°; (C)60°; (B) 方差; (B)54°; (D)27°. (C) 中位数; (D)平均数. 6. 如图, AB 与⊙ O 相切于点 B, AO 的延长线交⊙ O 于点 C, 联结 BC, 若∠A=36°, 则∠ C 等于 ( ▲ )

C O A B

二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 函数 y ?

x ? 1 的定义域是





2 8. 分解因式: ab ? ab ?

▲ . ▲ .

9. 如果反比例函数的图像经过点(1,-2),那么这个函数的解析式是

10. 2014 年政府报告中安排财政赤字约为 13500 亿元,13500 亿用科学记数法表示为 ▲ 亿. 11. 不等式组 ?

?3x ? 2 ? 0 的解集是 ▲ ?6 ? 2 x ? 2
2



12. 若关于 x 的方程 ax ? 4 x ? 3 ? 0 有两个相等的实数根,则常数 a 的值是 13. 掷一个材质均匀的骰子,向上一面的点数是 3 的倍数的概率是 ▲ .

▲ .

14. 如图,在 △ ABC 中,D 是 BC 的中点,设 AB ? a , AC ? b ,则 BD ?





15. 解放军某部承担一段长 1500 米的清除公路冰雪任务.为尽快清除冰雪,该部官兵每小时比原计 划多清除 20 米,结果提前 24 小时完成任务,若设原计划每小时清除公路冰雪 x 米,则可列出方程

16. 如图, △ ABC 中,AC、BC 上的中线交于点 O,且 BE⊥AD.若 BD ? 5 , BO ? 4 ,则 AO 的长为 ▲ . 17. 如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点 A、B、C、D 分 别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线的解析式为 y ? x ? 2x ? 3 ,AB 为半圆的直径,则这个“果
2

圆”被 y 轴截得的弦 CD 的长为



.

18.如图,已知 △ ABC 中, ?B ? 90? , BC ? 3 , AB ? 4 ,D 是边 AB 上一点,DE∥BC 交 AC 于 点 E,将 △ ADE 沿 DE 翻折得到 △ A ' DE ,若 △ A ' EC 是直角三角形,则 AD 长为 ▲ 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算:
8? 2 ? (2 ? 2014 )0 ? ( ?1)2014 ? 1 2 ? 2 ? ( ? ) ?1 . 2

.

20. (本题满分 10 分)
1 ? ? x ? 先化简,再求值: ? ? 1 ? x 2 ? 1 ? ? ? x ? x ? 1 ? ,其中 x ? ? ? ? ?
3.

21.(本题满分 10 分)
30°

如图,在△ABC 中,AB=AC=10,sinC= 3 ,点 D 是 BC 上一点,且 DC=AC. 5 (1) 求 BD 的长; (2) 求 tan∠ BAD.

A

B
22. (本题满分 10 分)

D

C

春季流感爆发,某校为了解全体学生患流感情况,随机抽取部分班级对患流感人数的进行调查, 发现被抽查各班级患流感人数只有 1 名、2 名、3 名、4 名、5 名、6 名这六种情况,并制成如下两 幅不完整的统计图:
抽查班级患流感人数条形图
班级个数 6
3名 4名 5名 2名 1名 6名 20% 抽查班级患流感人数条形统计图

班级患流感人数扇形统计图

抽查班级患流感人数扇形统计图 各种患流感人数情况的班级数

抽查班级患

占抽查班级总数的百分比分布图
5 4 3 2 4

班级个数 6

5 4 3 2 1 0 1名 2名

3名 4名 5名

2名 1名 6名 20%

5 4 3 2 1 2

3名

4名

5名

6名

人数

0

1名

2名

(1) 抽查了

▲ 个班级,并将该条形统计图补充完整; ▲ ;

(2) 扇形图中患流感人数为 4 名所在扇形的圆心角的度数为 (3) 若该校有 45 个班级,请估计该校此次患流感的人数. 23. (本题满分 12 分)

已知:如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90° ,BC=2AD,点 E 是 BC 的中点、F 是 CD 上的点,联结 AE、EF、AC. (1) 求证: AO ? OF ? OC ? OE ; (2) 若点 F 是 DC 的中点,联结 BD 交 AE 于点 G, 求证:四边形 EFDG 是菱形.

24. (本题满分 12 分) 如图,直线 y ? 4 x ? 4 与 x 轴、y 轴相交于 B、C 两点,抛物线 y ? ax ? 2ax ? c(a ? 0) 过点
2

B、C,且与 x 轴另一个交点为 A,以 OC、OA 为边作矩形 OADC,CD 交抛物线于点 G. (1)求抛物线的解析式以及点 A 的坐标; (2)已知直线 x ? m 交 OA 于点 E,交 CD 于点 F,交 AC 于点 M,交抛物线(CD 上方部分)于点 P,请用含 m 的代数式表示 PM 的长; (3)在(2)的条件下,联结 PC,若△ PCF 和△ AEM 相似,求 m 的值.

25. (本题满分 14 分) 如图,已知∠ MON 两边分别为 OM、ON, sin∠ O= O 重合),以 A 为圆心、AD 为半径作⊙ A,设 OD=x. (1) 若⊙ A 交∠ O 的边 OM 于 B、C 两点, BC ? y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定 义域; (2) 将⊙A 沿直线 OM 翻折后得到⊙A′. ① 若⊙A′与直线 OA 相切,求 x 的值; ② 若⊙A′与以 D 为圆心、DO 为半径的⊙D 相切,求 x 的值.

3 且 OA=5,点 D 为线段 OA 上的动点(不与 5

图1

备用图

2013-2014 学 年 第 二 学 期 徐 汇 区 初 三 年 级 数 学 学 科 学习能力诊断卷参考答案和评分标准
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.C; 2.D; 3.C; 4.B; 5.C; 6.D. 二.填空题:(本大题共 12 题,满分 48 分) 7. x ? ?1 ; 8. ab ?1 ? b? ; 9. y ? ?

4 2 2 4 ; 10.1.35 ?10 ; 11. ? ? x ? 2 ; 12. a ? ; 3 3 x

13.

1 1? 1? 7 25 1500 1500 ? ? 24 ; 16.6; 17. 3 ? 3 ; 18. 或 . ;14. a ? b ; 15. 8 3 2 2 8 x x ? 20

三、(本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解:原式= 2 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ???????????????????(7 分) =2? 2 20.原式= ?????????????????????(3 分)

x 2 ? 1 ? 1 x( x ? 1) ? x ? ????????????????????(2 分) x2 ?1 x ?1
?????????????????????(2 分)

x2 x ?1 ? 2 = 2 x ?1 x
=

x2 x ?1 1 ? 2 = x ?1 ( x ? 1)( x ? 1) x

?????????????????(3 分)

将 x ? 3 代入

1 1 1 3 ?1 , ? ? x ? 1 x ?1 2 3 ?1

??????????????(3 分)

21.解:(1)过点 A 作 AH⊥BC,垂足为 H,则 BH=CH=

1 BC ?????????(2 分) 2

在 Rt△ACD 中,sinC= ∵AC=10,∴AH=6, ∴ HC ? BH ?
2

AH 3 ? , AC 5
????????????(2 分)
2 2 2

A E B

C DH AC ? AH ? 10 ? 6 ? 8 ????????????(1 分)

∴BD=BC-CD=6.??????????????????????????(1 分) (2)过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E, ????????????????? (1 分)

Rt△BED 中,sinB=

ED 3 18 ???????????(1 分) ? ,BD= 6,∴ DE ? BD 5 5 24 26 ,∴ AE ? 5 5
?????????????(1 分)



BE ? BD 2 ? DE 2 ?

∴tan∠BAD=

ED 9 ?????????????????????(1 分) ? AE 13

22. 解:(1)20 个班级;条形统计图中,缺少的部分对应纵轴值为 2;????? (4 分)

4 ? 72 ? ; ?????????????????????(2 分) 20 45 ? 180 .????? (1 分) (3) (1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 5 ? 6 ? 4) ? 20 23.(1)证明:∵ 点 E 是 BC 的中点,∴ BC=2EC= 2BE.
(2) 360 ? ? 又∵ BC=2AD,∴EC=AD. ????????????(1 分)

AD / / EC ,∴ 四边形 AECD 为平行四边形.????????(1 分)
∴ AE / / CD , ∴ ?????????????????????(1 分)

AO OE ? 即 AO ? OF ? OC ? OE .????????????(1 分) OC OF (2)证明:∵ E、F 分别是 BC、CD 的中点, 1 ∴EF / / BD 且 EF ? BD .??????????????????(1 分) 2


AE / / CD ,∴ 四边形 EFDG 为平行四边形.??????? ??(1 分)

∵ AD 平行且等于 BE,∴ 四边形 ABED 是平行四边形.???? ??(1 分) 又∵ ∠ ABE=90° ,∴ 四边形 ABED 是矩形.?????????????(1 分) ∴BD=AE 且 EG ?

1 1 AE ? BD ????????????????(2 分) 2 2

∴EG ? EF ,∴ 四边形 EFDG 是菱形??????????????(2 分)

24. 解:(1)直线 y ? 4 x ? 4 与 x 轴、y 轴交于 B(-1,0)、C(0,4),?????(1 分) ∵ 抛物线 y ? ax ? 2ax ? c (a ≠ 0)经过点 B(-1,0)、C(0,4),
2

4 ? ?a ? 2a ? c ? 0 4 2 8 ?a ? ? ∴? ,解得 ? 抛物线的解析式为 y ? ? x ? x ? 4 .??(1 分) 3 ,∴ 3 3 c?4 ? ? ? c?4
∵ 抛物线 y ? ax ? 2ax ? c 的对称轴为直线 x ? 1 ,∴ A(3,0).????????(1 分)
2

(2)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b(k ≠ 0).∵ A(3,0)、点 C(0,4).

4 ? ?3k ? b ? 0 4 ?k ? ? ∴? ,解得 ? 3 ∴直线 AC 的解析式为 y ? ? x ? 4 .????(1 分) 3 ? b?4 ? ? b?4
4 2 8 x ? x ? 4 上,且点 M 的横坐标为 m, 3 3 4 4 2 8 ∴ M(m, ? m ? 4 )、P(m, ? m ? m ? 4 ), 3 3 3 4 2 ∴PM=PE-ME= ? m ? 4m .????????????????????(2 分) 3 4 2 8 (3)由题意 PG= PE-EF= ? m ? m , CG= m ????????????(1 分) 3 3
∵ 点 M 在 AC 上,点 P 在抛物线 y ? ? ∵ME / / CO ,∴ 所以?AOC∽ ?AEM. ∵ ?PCF 和?AEM 相似,∴?PCF 和?AOC 相似 ???????????(1 分) ① 若?PFC∽ ?AOC,则 ?PCF ? ?ACO , 有 tan ?PCG ?

PG 3 23 8 ? 3 ? 4 ? tan ?ACO ? ,即 ? ? m2 ? m ? ? m ? ;解得 m ? .(2 分) CG 4 16 3 ? 4 ? 3
有 tan ?CPG ?

②若?PFC∽ ?ACO,则 ?PCF ? ?AOC ,

CG 3 ? tan ?ACO ? ,即 PG 4

4 ? 4 2 8 ? ? ? m ? m ? ? m ? ,解得 m ? 1 .???????????????(2 分) 3 ? 3 ? 3
综上所述,当?PCF 和?AEM 相似时, m ? 25.(1)解:作 AF ? OB ,垂足为点 F. 在 Rt?AOF 中,

23 或m ?1 16

??(1 分)
B F C

sin ?O ?

3 AF ? , 5 OA
????? (1 分)
2

OE ? 5 ,∴ AF ? 3 ,
2 2 2

∴ OF ? OA ? AF ? 5 ? 3 ? 4

O D? x ,∴ AB ? AD ? 5 ? x ,??(1 分) O
∴ BF ?

D

A

AB 2 ? AF 2 ? (5 ? x) 2 ? 32 ? x2 ?10x ?16 ??(1 分)
, B C

A B? A C , A? F
2

A'
∴ y ? 2BF ? 2 x ? 10 x ? 16 (0 ? x ? 2) . ?? (2 分)

(2)解:由题意得点 A′在 AF 的延长线上,且 A′F=AF=3?(1 分)

F

O H D

A

联结 A′D,作 A?H ? OA ,垂足为点 H, 在 Rt?A?HA 中 A?H ? A?A ? cos ?FAO ? 6 ? 若⊙A′与直线 OA 相切,则有

4 24 ? (1 分) 5 5
(1`分) ∴x ?

24 ? 5? x 5

1 ???(1`分) 5

(3)解:? HD ? HA ? AD ? x ?

7 5
2 2

7 ? ? 24 ? 14 ? 2 2 2 在 Rt?A?HD 中, A?D ? A?A ? HD ? ? x ? ? ? ? ? ? x ? x ? 25 . 5? ? 5 ? 5 ?
①若⊙ A ' 与⊙D 外切,则 A?D ? DO ? A?B , 有 x ? (5 ? x) ?

x2 ?

14 14 x ? 25 ,得 x ? . 5 5

?????????(2`分)

②若⊙ A ' 与⊙D 内切,则 A?D ? DO ? A?B , 有 x ? (5 ? x) ? 综上所述,当 x ?

x2 ?

14 86 x ? 25 ,得? x ? (舍). ?????????(2 分) 15 5

14 时两圆相外切。 5


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