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1.1.1正弦定理课件(PPT)


定义:

解三角形就是:
B

c
a

A b

C

定义:把三角形的三个角A,B,C和 三条边a,b,c叫做三角形的元素,已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 解三角形。

解三角形就是:由已 知的边和角,求未知 的边和角。

c
B a

A b

C

知识回顾:
请你回顾一下:同一三角形中的边角关系
(1)三边: a+b>c, a+c>b, b+c>a (2)三角: A ?

B ? C ? 180?
B

c
a

A b C

(3)边角:

大边对大角

课前检测
ABC 中, ? A 30 , ? C 90 , a = 10 在 Rt D
0 0

求b , c ?

A b

c

C

a

B

ABC 中,设 BC = a, AC = b, AB = c, 问题1:在 D
证明:

a b c = = sin A sin B sin C

1. 在一个直角三角形?ABC中

a a sin A ? ?c? sin A c b b sin B ? ? c ? sin B c c c sin C ? 1 ? ? c? sin C c
a b c ? ? sin A sin B sin C

A

b

c

C

a

B

2.若三角形是锐角三角形, 如图1, 过点A作AD⊥BC于D,
c

A b C

此时有 sin B ?

AD , sin C c

?

AD B b

图1

D

所以AD=csinB=bsinC, 即

b c ? , sin B sin C

a c 同理可得 ? , sin A sin C

a b c 即: ? ? sin A sin B sin C

3.若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,
过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D, 此时也有 sin B ?
b
AD c

且 sin (? ? C) ? AD ? sin C
a b c 仿(2)可得 ? ? sin A sin B sin C

A c b

B

由(1)(2)(3)知,结论成立.

图2 C

D

正弦定理:
a b c ? ? sin A sinB sinC

(1)文字叙述 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 的正弦的比相等. (2)结构特点 和谐美、对称美. (3)方程的观点

正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?

4.有没有其他的方法证明以上的等式成立?

a b c 求证: = = sin A sin B sin C



2R

(2R为△ABC外接圆直径)

证明: 作外接圆O,
过B作直径BC/,连AC/,
' ? ? ?BAC ? 90 ?, ?C ? ?C

B
a O A b C

c

c ? sin C ? sin C ? 2R c ? ? 2R sin C
'

a b C/ 同理 ? 2 R, ? 2R sin A sin B 能否运用向量的方法 a b c ? ? ? ? 2 R 来证明正弦定理呢? sin A sin B sin C

向量法
利用向量的数量积,产生边的长与内角 的三角函数的关系来证明.

在直角三角形中
A

c
B

b
C

a

D

在锐角三角形中
B

两边同取与j的数量积, 得 j ? AC ? CB ? j ? AB

?

?

jc
A

a
b

j ? AC ? j ? CB ? j ? AB (根据向量的数量积的 定义)
j ? AC ? cos90? ? j ? CB ? cos(90? ? C )

C

? j ? AB ? cos(90? ? A)

证明:过点A作单位向量 j垂直 于 AC,

j与AC的夹角为? ? ? 90 ?????? ,
? ?C j与CB的夹角为? ?90 ? ? ? ? ? ? ? ?, ? 90 ?A j与AB的夹角为? ? ???????? .

?

即a ? sinC ? c ? sin A a c ? ? sin A sinC

同理, 过C点作 j垂直于CB,可得 c b ? ,? 在锐角三角形中 sinC sinB a b c 也有 ? ? sin A sin B sin C

由向量加法的三角形法则
AC ? CB ? AB

在钝角三角形中

设?A ? 900 过点A作与AC垂直的单位向量 j , 则 j与AB的夹角为
A ? 90?
90? ? C

B

j与CB的夹角为

j
A C

具体证明过程 马上完成!

You try
例1.在?ABC中, 已知c ? 10, A ? 45?, C ? 30?. 求角B和边b.

You try
例1.在?ABC中, 已知c ? 10, A ? 45?, C ? 30?. 求角B和边b.
解:
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? b c ∵ sin B ? sin C

c ? sin B 10 ? sin 105 ? ?  b ?   ? sin 30? ? 5 sin C

6 ? 5 2 ? 19

正弦定理应用一: 已知两角和任意一边,求其余两边和一角

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 4 变式2:在△ABC中,已知a= 3 ,b=2 2 ,A=45°, 3 求B和c。

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 4 变式2:在△ABC中,已知a= 3 ,b=2 2 ,A=45°, 3 求B和c。
a b 解:  ? ? sin A sin B

2 b sin A 2 2 ? 2    ? sin B ? ? ?1 a 2

      ? B ? 90     c
0

?2

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 4 变式2:在△ABC中,已知a= 3 ,b=2 2 ,A=45°, 3 求B和c。
a b 解:  ? ? sin A sin B 2 b sin A 2 2 ? 2 1    ? sin B ? ? ? a 4 2

      ? B ? 30 或150 ( 舍去)    
0 0 0

6? 2 a sin C 4 ? 4  C ? 105   c ? ? ?2 3?2 2 sin A 2

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 4 变式2:在△ABC中,已知a= 3 ,b=2 2 ,A=45°, 3 求B和c。
a b 解:  ? ? sin A sin B 2 b sin A 2 2 ? 2 3    ? sin B ? ? ? 4 3 a 2 3

      ? B ? 60 或120     
0 0 0 0

4 3 6? 2 ? a sin C 8 3 3 4  C ? 75 或15  c ? ? ? 8? 2 sin A 3 2

例⒉在△ABC中,已知a=2,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 变式1:在△ABC中,已知a=4,b= 2 2,A=45°, 求B和c。 4 变式2:在△ABC中,已知a= 3 ,b=2 2 ,A=45°, 3 求B和c。

正弦定理应用二:
已知两边和其中一边对角,求另一边的对角,进 而可求其它的边和角。(要注意可能有两解)

1.在?ABC中 (1)已知b ? 12, A ? 300 , B ? 120? , 求a;

(2)已知c ? 10, A ? 45? , C ? 30? , 求b, S ?ABC .
(3)已知A ? 300 , B ? C ? 600 , a ? 2, 求c.

1.在?ABC中 (1)已知b ? 12, A ? 300 , B ? 120? , 求a;

(2)已知c ? 10, A ? 45? , C ? 30? , 求b, S ?ABC .
(3)已知A ? 300 , B ? C ? 600 , a ? 2, 求c.

点拨:已知两角和任意一边,求其余两边和一角,
此时的解是唯一的.

(1)已知b ? 12, A ? 30 , B ? 120 , 求a;
0 ?

a b 解: (1) ? ? , sin A sin B b sin A 12 sin 300 ?a ? ? sin B sin 1200

?4 3

( 2 )已知c ? 10, A ? 45 , C ? 30 , 求b, S?ABC .
? ?

b c 解: ? ? , sin B sin C
B ? 180? ? ( A ? C ) ? 180? ? (45? ? 30? ) ? 105? ,
c ? si nB 10si n105 ?b ? ? ? 5( 6 ? ? si nC si n30 1 S ?ABC ? bc sin A 2
?

2)

1 ? ? 5( 6 ? 2 ) ? 10 sin 45 ? 2

? 25( 3 ? 1)

(3)已知A ? 30? , B ? C ? 60? , a ? 2, 求c.
解:

? A ? 30 , B ? C ? 60
?

?

? B ? C ? 150? ? C ? 45?

a c 又? ? , sin A sin C

a ? sin C 2 sin 45 ?c ? ? ?2 2 ? sin A sin 30
?

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;
(2)已知a ? 2 3, b ? 2 2 , B ? 45? , 求A。

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 1200 , 解这个三角形.

.

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;
(2)已知a ? 2 3, b ? 2 2 , B ? 45? , 求A。

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 1200 , 解这个三角形.

点拨:已知两边和其中一边的对角解三角形 时,通常要用到三角形内角定理和定理或大边 对大角定理等三角形有关性质.

2.在?ABC中 (1)已知b ? 3 , c ? 1, B ? 60? , 求a, 和A,C ;

b c 解: ? , sin B sin C

c sinB 1 ? sin60 1 ? sinC ? ? ? b 2 3
?

? b ? c, B ? 60? ,? C ? B, C为锐角, C ? 30?,A ? 90?

?a ?

c ?b ? 2
2 2

(2)已知a ? 2 3 , b ? 2 2 , B ? 45? , 求A.
a sin B 2 3 sin45? 3 解: sin A ? ? ? 2 b 2 2

? a ? b,? A ? C (大边对大角 )

? A ? 60? 或120?

(3)已知a ? 20, b ? 28, A ? 120 , 解这个三角形.
? b sin A 28 s i n 120 解: sin B ? ? a 20

?

? 本题无解 .

7 3 ?1 10

已知两边和其中一边 的对角,试讨论三角形 的解的情况 已知a、b、A,作三角形

探索发现
已知两边和其中一边对角解斜三角形

C b A a<bsinA 无解 a A

C

C

C b a

b

a
B A

b

a a

B2

B1 A
a b 一解

a=bsinA 一解

bsinA<a<b 两解



B

作三角形

归纳总结: 已知两边和其中一边对角解斜三角形
有两解或一解或无解三种情况
C b A a<bsinA 无解 a b C a B A b

C
a a b

C a

A

B2

B1 A

a=bsinA 一解 两解

一解
无解

一解

bsinA<a<b 两解

a b 一解



B

一解

bsinA



a

作三角形

案例小结!

C
b

(1)A为锐角 C b A a a

a

A B a = bsinA C (一解) b A

B2 bsinA<a<b

B1

( 两解) a B a≥b (一解)

(2)A为直角或钝角
C
b A a>b(一解)

C a B
b A

a
B a>b(一解)

若A为锐角时:
无解 ? a ? b sin A ? a ? b sin A 一解?直角? ? ? ?b sin A ? a ? b 二解?一锐、一钝? ? a?b 一解?锐角? ?

?a ? b 无解 ?若A为直角或钝角时:? ?a ? b 一解?锐角?

判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o

(3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o

判断满足下列的三角形的个数: 两解 (1)b=11, a=20, B=30o 一解 (2)c=54, b=39, C=120o 两解 无解

(3)b=26, c=15, C=30o
(4)a=2,b=6,A=30o

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( )

A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
?
? B、 6

B、3:2:1
D、2:
2? C、 或 3 3
2 2

3 :1
)

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=(
?
3

? 5? D、 或 6 6

练习3.在?ABC中, 若 sin A ? sin B ? sin C , 则?ABC的形状是 (    )
2

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等腰直角三角形

D、不能确定

自我提高!
练习1、在 ABC中,若A:B:C=1:2:3,则 a:b:c=( C )

A、1:2:3
C、1: 3 :2 A、
?
? B、 6

B、3:2:1
D、2:
2? C、 或 3 3
2 2

3 :1

练习2、在 ABC中,若 3a=2bsinA,则B=( C )
?
3

? 5? D、 或 6 6

练习3.在?ABC中, 若 sin A ? sin B ? sin C , 则?ABC的形状是 (    B)
2

A、等腰三角形

B、直角三角形

C、等腰直角三角形

D、不能确定

(3)在 ?ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形

a

A B C cos cos cos 2 2 2

?

b

?

c

,则 ?ABC 是(

)

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

(3)在 ?ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形

a

A B C cos cos cos 2 2 2

?

b

?

c

,则 ?ABC 是( D )

B.等腰直角三角形 D.等边三有形

四、课堂练习:

1、下列判断中正确的是( ) A、a ? 7,b ? 14,A ? 30?,有两解 B、a ? 30,b ? 25,A ? 150?,有一解 C、 a ? 6,b ? 9,A ? 45?, 有两解 D、b ? 9,c ? 10,B ? 60?,无解

四、课堂练习:

1、下列判断中正确的是( B ) A、a ? 7,b ? 14,A ? 30?,有两解 B、a ? 30,b ? 25,A ? 150?,有一解 C、 a ? 6,b ? 9,A ? 45?, 有两解 D、b ? 9,c ? 10,B ? 60?,无解

通过本节学习,我们一起研究了 正弦定理的证明方法,同时了解了向量 的工具性作用,并且明确了利用正弦定 理所能解决的两类有关三角形问题:已 知两角一边;已知两边和其中一边的对 角.

课时小结
a b c 一个 定理 ——正弦定理 ? ? sin A sinB sinC
二种 方法 —— 平面几何法 向量法

二个 应用 —— 已知两角和一边(只有一解) 已知两边和其中一边的对角
(有一解,两解,无解)

P

习题 1, 2, 4

思考题: 在?ABC中的两边a , b及角A
它们之间满足什么关系 式有 一解, 两解, 无解.



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