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2015届高考调研文科课时作业63


课时作业(六十三)
y2 1.已知椭圆 x + 2 =a2(a>0)与以 A(2,1),B(4,3)为端点的线段没有公共点,
2

则 a 的取值范围是( 3 2 A.0<a< 2

) 3 2 82 B.0<a< 2 或 a> 2 3 2 82 D. 2 <a< 2

3 2 82 C.a< 2 或 a> 2 答案 解析 B

椭圆恰好经过 A 与椭圆恰好经过 B 是临界,将 A、B 两点代入解,a

3 2 82 = 2 ,a= 2 ,由数形结合知,B 正确. 2.已知 A、B、C 三点在曲线 y= x上,其横坐标依次为 1,m,4(1<m<4), 当△ABC 的面积最大时,m 等于( A.3 C. 5 2 B A(1,1),C(4,2),直线 AC 方程为 x-3y+2=0. 9 B.4 D. 3 2 )

答案 解析

设点 B 到直线 AC 的距离为 d. |m-3 m+2| 1 1 ∴S△ABC=2|AC|· d=2· 10· 10 1 =2|m-3 m+2|. 3 ∵1<m<4,∴1< m<2,当且仅当 m=2时, 9 S△ABC 取最大值,∴m=4,∴B 正确. 3.抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距离的最小值是( 4 A.3 8 C.5 7 B.5 D.3 )

答案 解析

A 设与抛物线 y=-x2 相切且与直线 4x+3y-8=0,

平行的直线方程为 4x+3y+d=0.
2 ?y=-x , 4 由? 得 3x2-4x-d=0,Δ=16+12d=0,d=-3. ?4x+3y+d=0,

4 |-3+8| 4 ∴距离最小值为 5 =3,故 A 正确. 4. 已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点, Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( A.5 C. 17-1 答案 解析 C 抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆心为 C(0,4), B.8 D. 5+2 )

设点 P 到抛物线的准线的距离为 d,根据抛物线的定义有 d=|PF|,∴|PQ|+d= |PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1= 17-1. 5.已知直线 l:y=2x-4 交抛物线 y2=4x 于 A,B 两点,在抛物线 AOB 这 段曲线上有一点 P,则△APB 的面积的最大值为________. 答案 解析 27 4 由弦长公式知|AB|=3 5,只需点 P 到直线 AB 距离最大就可保证△

APB 的面积最大. 1 设与 l 平行的直线 y=2x+b 与抛物线相切,解得 b=2. 9 5 1 9 5 27 ∴d= 10 ,∴(S△APB)max=2×3 5× 10 = 4 . 6.(2013· 安徽)已知直线 y=a 交抛物线 y=x2 于 A,B 两点,若该抛物线上 存在点 C,使得∠ACB 为直角,则 a 的取值范围为________. 答案 解析 [1,+∞)

2 如图所示,设 C(x0,x2 0)(x0≠a),A(- a,a),B( a,a),

→ =(- a-x ,a-x2),CB → =( a-x ,a-x2). 则CA 0 0 0 0 →· → =0. ∵CA⊥CB,∴CA CB
2 2 2 2 即-(a-x2 0)+(a-x0) =0,(a-x0)(-1+a-x0)=0. 2 ∴x0 =a-1≥0,∴a≥1.

7.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|,|PO|,|PB|成等比数 →· → 的取值范围. 列,求PA PB 答案 解析 r= (1)x2+y2=4 (2)[-2,0)

(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离,即

4 =2. 1+3 得到圆 O 的方程为 x2+y2=4. (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2. 由 x2=4,即得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 ?x+2?2+y2· ?x-2?2+y2=x2+y2,即 x2-y2=2. →· → =(-2-x,-y)· PA PB (2-x,-y)=x2-4+y2=2(y2-1).
2 2 ?x +y <4, 由于点 P 在圆 O 内,故? 2 2 由此得 y2<1. ?x -y =2.

→· → 的取值范围为[-2,0). 所以PA PB x2 y2 2 2 8.已知椭圆 M:a2+b2=1(a>b>0)的离心率为 3 ,且椭圆上一点与椭圆的 两个焦点构成的三角形周长为 6+4 2. (1)求椭圆 M 的方程;

(2)设直线 l 与椭圆 M 交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C,求△ABC 面积的最大值. 答案 解析 x2 2 (1) 9 +y =1 3 (2)8

(1)因为椭圆 M 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 6+4 2,

2 2 c 2 2 所以 2a+2c=6+4 2,又椭圆的离心率为 3 ,即a= 3 , 2 2 所以 c= 3 a,所以 a=3,c=2 2,故 b2=a2-c2=1. x2 椭圆 M 的方程为 9 +y2=1. (2)方法一:不妨设直线 BC 的方程为 y=n(x-3),(n>0), 1 则直线 AC 的方程为 y=-n(x-3). y=n?x-3?, ? ? 由?x2 2 +y =1, ? ?9 1 得(9+n2)x2-6n2x+9n2-1=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 81n2-9 27n2-3 因为 3x2= 2 ,所以 x2= 2 , 9n +1 9n +1 27-3n2 同理可得 x1= . 9+n2 所以|BC|= 1+n2 1+n2 6n2 6 , | AC | = n 9+n2, 9n2+1 1 2?n+n?

1 S△ABC=2|BC||AC|= 1 设 t=n+n≥2, 则 S=

1 64. ?n+n?2+ 9

2t 2 3 8 = ≤ ,当且仅当 t = 64 8 3时取等号. 2 64 t + 9 t+ 9t

3 所以△ABC 面积的最大值为8. 方法二:不妨设直线 AB 的方程 x=ky+m(m≠3).

x=ky+m, ? ? 由?x2 2 消去 x 得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0. +y =1, ? ?9 设 A(x1,y1),B(x2,y2), m2-9 2km 则有 y1+y2=- 2 ,y y = . k +9 1 2 k2+9 ①

→· → =0. 因为以 AB 为直径的圆过点 C(3,0),所以CA CB → =(x -3,y ),CB → =(x -3,y ), 由CA 1 1 2 2 得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0. 将 x1=ky1+m,x2=ky2+m 代入上式, 得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0. 12 将①代入上式,解得 m= 5 或 m=3(舍). 12 12 所以 m= 5 (此时直线 AB 经过定点 D( 5 ,0),与椭圆有两个交点),所以 S△
ABC=

1 2|DC||y1-y2| 25?k2+9?-144 . 25?k2+9?2

1 3 9 =2×5 ?y1+y2?2-4y1y2=5 设 t= 1 1 ,0<t≤9, k +9
2

9 则 S△ABC=5

144 2 - 25 · t +t.

25 1 3 所以当 t=288∈(0,9]时,S△ABC 取得最大值8. 9.已知向量 a=(x, 3y),b=(1,0),且(a+ 3b)⊥(a- 3b). (1)求满足上述条件的点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (2)设曲线 C 与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 P、Q,点 A(0,-1), 当|AP|=|AQ|时,求实数 m 的取值范围. 答案 解析 x2 (1) 3 +y2=1 1 (2)(2,2)

(1)∵(a+ 3b)⊥(a- 3b),

∴(a+ 3b)· (a- 3b)=0,∴a2-3b2=0.

x2 ∴x2+3y2=3,即点 M(x,y)的轨迹 C 的方程为 3 +y2=1. ?y=kx+m, (2)由? 2 得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0. 2 ?x +3y -3=0, ∵曲线 C 与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点, ∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0,即 3k2-m2+1>0.① 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),线段 PQ 的中点 N(x0,y0), x1+x2 3km ? ?x0= 2 =-1+3k2, 则? m y0=kx0+m= . ? 1+3k2 ? ∵|AP|=|AQ|,∴PQ⊥AN. 设 kAN 表示直线 AN 的斜率, 又 k≠0,∴kAN· k=-1. -1- 即 m 1+3k2 · k=-1,得 3k2=2m-1.② 3km 1+3k2

1 ∵3k2>0,∴m>2. 将②代入①得 2m-1-m2+1>0,即 m2-2m<0, 1 解得 0<m<2,∴m 的取值范围为(2,2). 10.(2013· 广东)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c>0)到直线 l: 3 2 x-y-2=0 的距离为 2 .设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|· |BF|的最小值. 答案 解析 1 (1)x2=4y (2)y=2x0x-y0 (1)由题设条件,可得 9 (3)2

|0-c-2| 3 2 = 2 ,由 c>0,得 c=1. 2 所以 C 的方程为 x2=4y. (2)设过点 P(x0,y0)的两切线的切点分别为 A(x1,y1)和 B(x2,y2),则直线 AB 的方程可表示为 y2-y1 y-y1= (x-x1).① x2-x1 x x1 x2 由于 y′=2,∴过 A,B 的切线的斜率分别为 kA= 2 和 kB= 2 . x1 因此直线 PA 的方程可表示为 y-y1= 2 (x-x1). x1 2 结合 x1 =4y1,得 y+y1= 2 x; x2 同理 PB 的方程可表示为 y+y2= 2 x. x1 ? ?y0+y1= 2 x0, P(x0 , y0) 在 这 两 条 直 线 上 , 所 以 ? x2 y + y = 0 2 ? ? 2 x0, ② ③

由于

因此

y2-y1 x0 ? ?x2-x1= 2 , ? x 1 ? ?y1= 2 x0-y0.

1 将②③代入①得到直线 AB 的方程为 y=2x0x-y0 1 1 (或 y=2x0x-x0+2 或 y=2(y0+2)x-y0). (3)由于 y=-1 为抛物线 C 的准线,所以 |AF|· |BF|=|y1-(-1)|· |y2-(-1)| =|y1y2+y1+y2+1|. x2=4y, ④ ? ? 由(2)可知(x1,y1),(x2,y2)是方程组? x0 y= 2 x-y0,⑤ ? ? x2 x2 0 2 0 2 由⑤得(y+y0) = 4 x ,将④代入(y+y0) = 4 x2,得到
2

的两解.

2 y2+(2y0-x2 0)y+y0=0. 2 易得 y1+y2=x2 0-2y0,y1y2=y0. 2 2 ∴|AF|· |BF|=|y1y2+y1+y2+1|=|x2 0+(y0-1) |=|PF| .

3 2 9 由于点 F 到直线 l 的距离为 2 ,故|AF|· |BF|的最小值为2.



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