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人教A版数学必修四《第二章-平面向量》单元复习课件


第二章 平面向量 单元复习

知识结构

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线性运算

基本定理
实际背景 向量 坐标表示

向 量 的 实 际 应 用

数量积

知识梳理

1.向量的有关概念 (1)向量: 既有大小,又有方向的量. (2)向量的模(或长度): 表示向量的有向线段的长度. (3)零向量:模为零的向量.

(4)单位向量: 模为1的向量.

(5)相等向量: 长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:

长度相等且方向相反的向量. (7)平行向量(共线向量):
方向相同或相反的非零向量.

(8)向量的数量积:
a· b=|a||b|cosθ .

2.向量的几何运算 (1)加法运算: 三角形法则:
a+ b a



平行四边形法则:



a+ b

a

(2)减法运算:


三角形法则:
a

a+ b



平行四边形法则:

a

-b

a- b

(3)数乘运算:
a

λ >1时
λa

λ =1时
λa

0<λ <1时
λa

λ <-1时
λa

λ =-1时
λa

-1<λ <0时
λa

λ =0时 λa

3.向量定理

(1)共线定理:
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当 有唯一一个实数λ ,使b=λ a. (2)基本定理: 若e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量,则对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数λ1,λ 2,使 a= λ1e1+λ2e2.

范例分析

uuu r 1 uur 已知CN = CA 4

uuu r uuu r 例1 在△ABC中,设 A B = a, A C = b,

uuuu r 为基底表示向量 MN .
uuuu r 1 3 MN = b - a 2 4

uuu r r 3 uuu ,CM = CB ,试以a、b 4
A N M

B

C

例 2 在△ ABC 中,已知点 O 满足 : uuu r uuu r uuu r OA + OB + OC = 0 ,求证:点O是 △ABC的重心.
A O B D E C

例3 在平行四边形ABCD中,M是AB的 中点,点N在BD上,且BD=3BN,试推断点 M、N、C是否共线?并说明理由.
D C

N
A M B

uuuu r 1 uuur MN = MC 3

例4 在Rt△ABC中,已知斜边BC=2 , uuu r 线段PQ以A为中点,且PQ=4 ,向量 与 BC uuu r uuu r uuu r CQ . PQ 的夹角为60°,求 BP g
C

uuu r uuu r BP g CQ = - 2
P

Q

A

B

知识梳理

1.向量加法的运算性质 ( 1 ) a+ b=b+ a; ( 2 ) (a + b ) + c = a + (b + c ) ; (3)若a与b为相反向量,则a+b=0; (4)若b+c=a,则c=a-b; (5)|a±b|≤|a|+|b|,|a±b|≥||a|-|b||; uuu r uuuu r uuuu r uuuuuu r uuur (6)OA1 + A1A2 + A2A3 + L + An - 1An = OAn

2.向量数乘的运算性质
(1) λ(μa)=(λμ) a ; (2) (λ+μ) a =λa +μa; (3) λ(a+b)=λa+λb;

3.数量积的运算性质 ( 1 ) a· b= b · a; ( 2 ) ( λa) · b = λ( a· b ) = a· ( λ b) ; ( 3 ) ( a+ b ) · c= a · c+ b · c; ( 4 ) a⊥ b a· b= 0; (5)a2=|a|2; (6)|a· b|≤|a||b|;

?

a× b (7) cos q = ; | a || b |
a ×b (8) | a | cos q = . |b|

范例分析 例1 已知向量a、b满足:|a|=4,且 a· (a-b)=12,求向量b在a方向上的投影.

1
例2 已知非零向量a、b满足: (a-b)⊥b,且(a+2b)⊥(a-2b),求向量 a与b的夹角. 60°

例3 已知向量a、b、c两两之间的夹 角为120°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3, 求向量a+b+c与a的夹角.
150° 例 4 设向量 a 、 b 不共线,已知 uuu r uuu r uuu r A B = 2a+kb, BC = a+b, CD = a-2b, 且A、B、D三点共线,求实数k的值. k=-1

知识梳理

1.向量的坐标表示 (1)设i、j是与x轴、y轴同向的两个单 位向量,若a=xi+yj,则a=(x,y); ( 2)若点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuu r A B =(x2-x1,y2-y1).

2.向量的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)a-b=(x1-x2,y1-y2); ( 3 ) λ a= ( λ x 1 , λ y 1 ) ; ( 4 ) a? b= x 1 x 2 + y 1 y 2 ; (5)向量a,b(b≠0)共线 ? x1y2 =x 2 y1; ( 6 ) a⊥ b x 1x 2+y 1y 2= 0 ; (7)|a| = x 12 + y12 ;

?

a ?b (8) cos q = = a b

x 1x 2

y 1y 2

x 12 + y 12 x 22 + y 22

范例分析

例1设向量a=(1,-3),b=(-2,4), c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c, 2(a-c),d 的有向线段首尾相接能构 成四边形,求向量d 的坐标. d=(-2,-6)

例2 uuu r uuu r ( -1 , 2) ,且 , ,求 BC / / OA OC ^ OB uuu r 向量 A C 的坐标.
uuu r A C = (11,6)

uuu r uuu r 已知向量OA = (3, 1) , OB = r uuu r uuu

例3 已知向量a=(2,3),b=(-4, 3),求向量a在b方向上的投影.
1 5

例4 设向量a与b的夹角为θ ,已知 a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),求 cosθ 的值. 63
cos q = 65

例5 已知向量a=(1,2),b=(-2, 5 -4),|c|= 5 ,若(a+b)?c = ,求 2 向量a与c的夹角. 120°


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