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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 第2课时 等差数列的性质及简单应用学案 新人教A版必修5


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 第 2 课时 等差数列的性质及 简单应用学案 新人教 A 版必修 5
【学习目标】1、掌握等差数列的几条基本性质,能够运用这些性质解决等差数列中的相关 问题。 【重点难点】 能够运用等差数列的 通项公式和性质解决等差数列中的计算问题。 【学习内容】 问题情境导学 给出以下三个等差数列: (1) 1,4, 7,10,13…,公差为 3 (2)-2,-4,-6,-8,-10,…,公差为-2 (3)3,3,3,3,3,3,…,公差为 0 一、等差数列变形后的新数列 ?想一想 1:将上述等差数列中的某两个对应的项相加或相减,得到的 数列是否仍然是等差 数列?将一个等差数列的各项都乘以同一个常数,得到的数列是否仍然是等差数列/?如果 是,公差与原数列的公差有何关系?

填一填: 1: 若 ?an ??bn ?都是等差数列, : 公差分出别 为 d1 , d 2 ,k , m ? R , 数列 ?kan ? mbn ? 仍为等差数列,且公差为_______ 思考 1:你能用等差数列的定义证明这一结论吗?

二、等差数列的性质 想一想: (1)针对上述 3 个等差数列观察分析:等差数列中的奇数项构成的数列是否是等差 数列?偶数项呢?所有下标成等差数列的项呢? (2)在数列(1)中,请你计算 a1 ? a5 , a2 ? a4 ,他们有何关系?在(2) (3)中是否也有这 样 的关系? 计算了 a1 ? a5 , a2 ? a4 的值,他们和 a3 的关系是什么?在(2) (3)中 是否也有这样的关 系?

填一填: (1)等差数列的子数列的性质: 若数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则 ① ?an ? 去掉前几项后余下的项仍组成公差为 d 的等差数列, ②奇数项数列 ?a2 n?1 ? 是公差为________的等差数列;偶数项 ?a 2 n ?是公差为___________的
1

等差数列。 ③若 ?k n ? 成等差数列,则 akn 也成等差数列。 (2)等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? _______________ (3)等差数列 ?an ? 中,若 m ? n ? 2t , 则 am ? an ? _______ 课堂互动探究 类型一、等差数列性质的应用 例1、 已知数列 ?an ? 是等差数列, a15 ? 8, a60 ? 20,求 a 75

? ?

变式训练: (1) 已知等差数列 ?an ? 中, ( a3 ? a4 ? a5 ? 12, 那么 a1 ? a2 ? ? ? a7 ? A、14 B、21 C、28 D、35



( 2 )已知数列 ?an ? ?bn ? 是两个等差数列,其中 a1 ? 3, b1 ? ?3, 且 a20 ? b20 ? 6 ,那么

a10 ?b10 的值为(
A、 ? 6

) B、 6 C、0 D、10

类型二、等差数列中的计算问题 例 2、 设等差数列 ?an ? 的公差为正数, 若 a1 ? a2 ? a3 ? 15, a1a2 a3 ? 80 , 则 a11 ? a12 ? a13 ?

变式训练:若首项和公差都等于

1 1 2 的等差数列 ?an ? 满足 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ? 0(n ? 2) ,求 3 4

n

2

类型三、等差数列的实际应用 例 3、有一批影碟机原售价为每台 800 元,在甲、乙两家商场均有销售,甲商场用如下方法 促销:买一台单价为 780 元,买两台单价为 760 元,依此类推,每多买一台单价均减少 20 元,但每台最少不低于 440 元;乙商场一律都按原价的 75﹪销售, 某单位需购买一批此类 影碟机,问去哪家商场购买花费较少?

【课堂 小结与反思】

【课后作业与练习】 基础达标 1、设数列 ?an ? ?bn ? 都是等差数列,且 a1 ? 25, b1 ? 75, a2 ? b2 ? 100,那么由 a n ? bn 所组 成的数列的第 37 项为( ) A、 0 B、37 C、100 D、 ? 37

2 、等 差数列 ?an ? 中, a2 ? a5 ? a8 ? 9, 那么关于 x 的方程: x 2 ? (a4 ? a6 ) x ? 10 ? 0 ( ) A、 无实根 C、有两个不等实根 B、有两个相等实根 D、不能确定有无实根 )

3、等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ( A、21 B、24 C、27 D、30 ) 4、若数列 ?an ? 是等差数列,则下列数列仍为等差数列的个数有( ① ?an ? an?1 ? ④ ?2a n ? ② an

? ?
2

③ ?an?1 ? an ?

⑤ ?2an ? n?
3

A、1 个 B、2 个 C、 3 个 D、4 个 5、第一届现代奥运会于 1896 年在希腊雅典举行,此后每 4 年举行一次,如因故不能举行, 届数照算,那么 2008 年北京奥运会是第______届( ) A、27 B、28 C、29 D、30 6、等差数列 ?an ? 中, a3 ? 7, a5 ? a2 ? 6 ,则 a6 ? ____________ 7、在等差数列 ?an ? 中,已知 a2 ? 2a8 ? a14 ? 120 , 则 2a9 ? a10 ? ___________ 能力提升 8、已知数列 ? 1, x1 , x2 ,9 和 ? 1, y1 , y2 , y3 ,9 都是等差数列,则

y3 ? y1 ? __________ x2 ? x1

9、 已知 ?an ? 为等差数列,a5 ? a7 ? 4, a6 ? a8 ? ?2 , 则该数列的正数项有___________项。 10、 已知 ?an ? 为等差数列,a10 ? a4 ? a7 ? 39, a4 ? a5 ? a6 ? ?a14 ? 77 , 则 k ? ________ 11、已知等差数列 ?an ? 的公差为整数,且满足下列条件: (1) a1 ? a5 ? a9 ? 93 (2)满足 an ? 100的 n 的最小值是 15,求通项公式 an

9、已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an an?1 ? 2an?1 ? 1 (1)求 a 2 , a3 , a 4

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