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广东省2012届高考数学文二轮专题复习课件:专题3 第16课时 数列的综合应用(二)


专题三 数列

1

考点1 数列与三角函数综合
n? 2 n? 例1 数列?an ?的通项an ? n (cos ? sin ), 3 3 其前n项和为Sn .
2 2

?1? 求Sn;

S3 n ? 2 ? 令bn ? n ,求数列?bn ?的前n项和Tn . n?4

2

切入点: 本题通项中含有三角函数,首先应对 三角函数进行化简.由于三角函数具有周期性, 求解第?1?问时,应对n分n ? 3k,n ? 3k ? 1和n ? 3k ? 2(k ? Z)三种情况进行分类讨论.求解第? 2 ? 问时,可从分析通项入手,根据通项的特点选择 求和方法.

3

n? 2n? 2 n? 解析 ?1?由于cos ? sin ? cos , 3 3 3 故S3k ? ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a4 ? a5 ? a6 ? ? ?
2

? ? a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ? 1 ?2 4 ?5 2 2 ? (? ? 3 ) ? (? ? 6 ) ?? 2 2 ?3k ? 2?2 ? ?3k ? 1?2 2 ?[? ? ? 3k ? ] 2 13 31 18k ? 5 k ?9k ? 4 ? ? ? ? ?? ? 2 2 2 2
2 2 2 2

4

k ? 4 ? 9k ? S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2 k ? 4 ? 9k ? ?3k ? 1?2 S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ? ? 2 2 1 3k ? 2 1 ? ?k ?? ? . 2 3 6 ? n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ?? 3 ? 6 ? ? ? n ? 1??1 ? 3n ? 故Sn ? ? ? n ? 3k ? 1?? k ? N*? . 6 ? ? n?3n ? 4? ? n ? 3k ? ? 6 ?

5

S3 n 9n ? 4 , ? 2 ?因为bn ? n ? n n?4 2?4 1 13 22 9n ? 4 所以Tn ? ( ? 2 ? ?? ), n 2 4 4 4 1 22 9n ? 4 则4Tn ? (13 ? ? ?? n?1 ), 2 4 4

6

两式相减得 1 9 9 9n ? 4 3Tn ? (13 ? ? ?? n?1 ? ) n 2 4 4 4 9 9 ? n 9n ? 4 1 1 9n 4 4 ? ? (13 ? ) ? 8 ? 2 n?3 ? 2 n?1 . n 1 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n 故Tn ? ? ? 2 n?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2
7

1.数列与三角函数的综合在高考中较为少 见.此题将三角函数与数列巧妙结合,是高考命题 的一个很好的创新,体现了高考在“知识网络处” 命题的原则. 2.数列与三角函数综合,要注意三角函数性质 的运用.此题求解的关键在于利用好三角函数的周 期性,通过分类讨论求得数列的前n项和Sn 的表达 式.在第(2)问求和时注意到通项具有{an·n}的特征( b 其中{an}是等比数列,{bn}是等差数列),从而利用 错位相减法得到所求和Tn. 8

变式1 已知? 为锐角,且tan? ? 2 ? 1,函数f ? x ? 1 ? x tan2? ? x ? sin(2? ? ),数列?an ?的首项a1 ? , 4 2 an ?1 ? f ? an ?.
2

?

?1? 求函数f ? x ?的表达式; ? 2 ? 求证:an ?1 ? an;
1 1 1 1 ? ??? ? 2(n ? 2,n ? N). ? 3? 求证:? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

9

证明

2 tan ? 2( 2 ? 1) ? ? 1. ?1? tan2? ? 2 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1)

又因为? 为锐角,所以2? ?

?
4



所以sin(2? ? ) ? 1,故f ? x ? ? x 2 ? x. 4 2 ? 2 ?由?1? 知an ?1 ? an ? an . 1 因为a1 ? ,所以a2,a3, ,an都大于0, ? 2 2 所以an ? 0,故an ?1 ? an .
10

?

1 1 1 1 1 ? ? ? , ? 3?因为 ? 2 an?1 an ? an an (1 ? an ) an an ? 1 1 1 1 所以 ? ? , 1 ? an an an?1 1 1 1 所以 ? ? ?? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? ? a1 a2 a2 a3 an an?1 1 1 1 ? ? ?2? . a1 an?1 an?1

11

1 2 1 3 因为a2 ? ( ) ? ? , 2 2 4 3 2 3 21 a3 ? ( ) ? ? ? 1, 4 4 16 又当n ? 2时,an ?1 ? an, 所以an ?1 ? a3 ? 1, 1 所以1 ? 2 ? ? 2, an?1 1 1 1 即1 ? ? ? ?? ? 2(n ? 2,n ? N). 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 12

考点2 数列中的探究性问题
例2(2011?执信月考改编)已知等差数列?an ?的公差为 ? 1, 且a2 ? a7 ? a12 ? ?6.

?1? 求数列?an ?的通项公式an与前n项和Sn; ? 2 ? 将数列?an ?的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原 来顺序恰为等比数列?bn ?的前3项,记 ?bn ?的前n项和为Tn,
试探究是否存在m ? N*,使对任意n ? N*,总有S n ? Tm ? ? 恒成立.若存在,求实数?的取值范围;若不存在,说

明理由.
13

切入点: ? 用等差数列的性质和公式即可; ?1

? 2 ?写出数列?an ?的前4项,观察可知数列?bn ?
的前3项,从而可得数列,再分别求两个数列 前n项和的范围即可.

解析

?1?由a2 ? a7 ? a12 ? ?6,得a7 ? ?2,

所以a1 ? 4,所以an ? 5 ? n, n(9 ? n) 从而Sn ? . 2
14

? 2 ?由题意知b1 ? 4,b2 ? 2,b3 ? 1.
b2 1 设等比数列?bn ?的公比为q,则q ? ? , b1 2 1 m 4[1 ? ( ) ] 1 m 2 所以Tm ? ? 8[1 ? ( ) ]. 1 2 1? 2 1 m 因为( ) 随m递减, 2 所以?Tm ?为递增数列,得4 ? Tm ? 8.
15

n(9 ? n) 又Sn ? 2 1 2 ? ? ? n ? 9n ? 2 1 9 2 81 ? ? [(n ? ) ? ], 2 2 4 故 ? Sn ?max ? S 4 ? S5 ? 10. 若存在m ? N*,使对任意n ? N*总有S n ? Tm ? ?, 则10 ? 8 ? ?,得? ? 2. 所以实数l的取值范围为[2, ?). ?
16

1.本题属于数列中的探究性问题,通常是高 考命题的一个关注点. 2.解决数列中的恒成立问题通常从两个方面 入手: (1)转化为恒成立的方程求参数的值或范围; (2)转化为有关参数的函数,通过求函数的最 值达到求参数的值或范围的目的. (3) 转 化 为 有 关 参 数 的 不 等 式 , 利 用 λ ≥[f(x)]max或λ ≤[f(x)]min求参数的范围.
17

变式2 在数列?an ?中,a1 ? 1,3an an ?1 ? an ? an ?1 ? 0( n ? 2). 1 { ?1? 证明: }是等差数列; an
-

? 2 ? 求数列?an ?的通项公式;
1 ? ? 对任意n ? 2,n ? N*恒成立, ? 3? 若? an ? an ?1 求实数?的取值范围.

18

解析

?1? 证明:将3an an ?1 ? an ? an ?1 ? 0(n ? 2),

1 1 整理得 ? ? 3(n ? 2), an an?1 1 所以{ }是以1为首项,为公差的等差数列. 3 an 1 ? 2 ?由?1? 可得 ? 1 ? 3? n ? 1? ? 3n ? 2, an 1 所以an ? . 3n ? 2
19

1 ? ? 恒成立, ? 3? 若? an ? an?1 即

?
3n ? 2

? 3n ? 1 ? l恒成立,

?3n ? 1??3n ? 2? 整理得? ? . 3? n ? 1? ?3n ? 1??3n ? 2? 令cn ? (n ? 2), 3? n ? 1? ?3n ? 4??3n ? 1? ?3n ? 1??3n ? 2? 所以cn ?1 ? cn ? ? 3n 3? n ? 1? ?3n ? 1??3n ? 4? ? (n ? 2). 3n? n ? 1?

20

因为n ? 2,所以上式大于零, 即?cn ?为单调递增数列, 28 所以c2最小,且c2 ? . 3 28 所以?的取值范围为(??, ]. 3

21

考点3 数列中的存在性问题

例3 已知?an ? 是正数组成的数列,a1 ? 1,且点 ( an,an ?1 )(n ? N* )在函数y ? x 2 ? 1的图象上.

?1? 求数列?an ?的通项公式; ? 2 ? 若数列?bn ? 满足bn ? 2an,求数列?bn ?的前n项
和Sn;

? 3? 在 ? 2 ?的条件下,数列?Sn ?中是否存在三项,
它们可以构成等差数列?若存在,请求出一组 适合条件的项;若不存在,请说明理由.
22

切入点:利用点( an,an ?1 )(n ? N* )在函数 y ? x 2 ? 1的图象上得到数列的递推关系;

? 2 ?由bn ? 2an,结合 ?1?中an可得数列?bn ?的 通项公式,从而得到求和方法; ? 探究性 ?3
问题一般先假设命题成立,再利用分析法 或反证法探究.

23

?1?由已知得an ?1 ? an ? 1. 根据等差数列的定义,得?an ? 是首项为1,
解析 公差为1的等差数列, 所以an ? n(n ? N* ).

? 2 ?由?1? 可知bn ? 2
2 n

an

? 2 ( n ? N ),
n *

所以S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?1 ? bn 2 ? ?1 ? 2n ? n ?1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 2 ? 2. 1? 2
24

3? 设存在p、q、r ? N*,且p ? q ? r,使S p、 ? Sq、Sr 成等差数列, 所以2Sq ? S p ? Sr, 即2 ? 2q ?1 ? 2 ? ? ? 2 p ?1 ? 2 ? ? ? 2r ?1 ? 2 ?, 所以2q ?1 ? 2 p ? 2r,所以2q ? p ?1 ? 1 ? 2r ? p . 因为p、q、r ? N*,且p ? q ? r, 所以2
q ? p ?1

、 为偶数,? 2 2 1

r? p

r? p

为奇数,

于是产生矛盾,因此不存在满足条件的三项.
25

1.本题集数列、函数、不等式于一体, 充分展示了《考试大纲》构造有一定深度和广 度的数学问题,并注重问题的多样化,体现了 思维的发散性.这需要我们加强这一方面的训 练,需要从多层次、多角度去思考问题.

26

2.解决数列中的存在性问题时按以下两 步实施: (1)先假设存在,把存在性问题转化为相关 参数的方程、不等式或函数; (2)通过求相关表达式的值达到求参数的值 或确定范围这一目的,能求出其值或确定范围 说明存在,否则不存在.

27

变式3 设数列?an ?的各项都是正数,且对任意n ? N*,

?an ?的前n项和. ?1? 求数列?an ?的通项公式; n ?1 n ? 2 ? 若bn ? 3 ? ? ?1? ? ? 2an (?为非零常数,n ? N* ),
-

3 3 3 都有a13 ? a2 ? a3 ??? an ? S,记Sn为数列

问是否存在整数?,使得对任意n ? N*,都有bn ?1 ? bn ?

28

解析

1? 在已知式中,当n ? 1时,a13 ? a12 . ?

因为a1 ? 0,所以a1 ? 1.
3 3 3 2 当n ? 2时,a13 ? a2 ? a3 ? ?? an ? S n, ①

a ? a ? a ? ?? a
3 1 3 2 3 3 3 n 2 n

3 n ?1 2

? S n-1 .
2



① ? ②得a ? S ? S n-1 ? ? Sn ? Sn ?1 ?? Sn ? S n ?1 ?.

29

2 因为an ? 0,所以an ? Sn ? S n ?1 ? 2S n ? an . ③

当n ? 2时,a
2 n

2 n ?1

? 2S n ?1 ? an ?1.
2 n ?1



③ ? ④得a ? a

? 2 ? S n ? S n ?1 ? ? an ? an ?1

? 2an ? an ? an ?1 ? an ? an ?1. 因为an ? an ?1 ? 0,所以an ? an ?1 ? 1. 公差也为1,可得an ? n.
30

所以数列?an ?是等差数列,其首项为1,

? 2 ?因为an ? n, n ?1 n ?1 a n n 所以bn ? 3 ? ? ?1? ? ? 2 ? 3 ? ? ?1? ? ? 2n, n n ?1 所以bn ?1 ? bn ? [3 ? ? ?1? ? ? 2n ?1 ??? 3n ? n ?1 n ?1 n n ? ?1? ? ? 2 ] ? 2 ? 3 ? 3? ? ?1? ? 2n ? 0,
n

3 n ?1 所以? ?1? ? ? ? ( ) . ⑤ 2 当n ? 2k ? 1,k ? 1,2,3, 时,⑤式即为 ? 3 2k ?2 ? ?( ) . ⑥ 2 依题意,⑥式对k ? 1,2,3, 都成立,所以? ? 1. ?
n ?1

31

当n ? 2k,k ? 1,2,3, 时,⑤式即为 ? 3 2k ?1 ? ? ?( ) . ⑦ 2 依题意,⑦式对k ? 1,2,3, 都成立, ? 3 所以? ? ? , 2 3 所以 ? ? ? ? 1. 2 又? ? 0,所以存在整数? ? ?1,使得对任意 n ? N*,都有bn ?1 ? bn .
32

1.解决数列与三角函数的综合问题,注意 将三角函数的周期性与数列求和的一些处理技 巧联系起来; 2.数列探索性问题的一般题型及解法: (1)结论探索型问题:一般是在给定题设条 件下探求结论,它要求我们在对题设条件或图 形认真分析的基础上,进行归纳,大胆猜想, 然后通过推理、计算获得结论;
33

(2)存在探索型问题:这类问题是在题设 条件下探索相应的数学对象是否存在,它要 求我们充分利用题设条件,通常是先在“假 设对象存在”的前提下,根据条件进行计算 或推理,从而对“是否存在的数学对象”作 出正确推断.

34


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