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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2第一章 空间中的垂直关系(二)课件


1.2.3(二)

1.2.3
【学习要求】

空间中的垂直关系(二)

1.理解面面垂直的定义,并能画出面面垂直的图形.
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2.掌握面面垂直的判定定理及性质定理,并能进行空间垂 直的相互转化. 3.掌握面面垂直的证明方法,并能在几何体中应用. 【学法指导】 借助对实例、图片的观察,提炼平面与平面垂直的定义; 通过直观感知,操作确认,归纳平面与平面垂直的判定定 理及性质定理;通过运用两定理感悟和体验面面垂直转化 为线线垂直的思想方法.

填一填· 知识要点、记下疑难点

1.2.3(二)

1.两平面垂直的定义:如果两个相交平面的 交线 与第三个
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平面垂直, 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交 线 互相垂直 ,就称这两个平面互相垂直.两个平面 α,β 互相垂直,记作: α⊥β . 2. 面面垂直的判定定理: 如果一个平面过另一个平面的 一条

垂线,则这两个平面互相垂直.
3.面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一 个平面内垂直于它们 交线 的直线垂直于另一个平面.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.2.3(二)

[问题情境]
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在第一大节, 我们曾直观地看到, 当一个平面通过另一个平 面的垂线时, 就给我们两个平面垂直的形象. 这一小节我们 将进一步研究平面与平面垂直的判定与性质.

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1.2.3(二)

探究点一

两平面垂直的定义及判断

问题 1 如图, 已知 α∩β=CD, BA⊥CD, BE⊥CD.
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那么直线 CD 与平面 ABE 有怎样的关系?为什 么?
答 CD⊥平面 ABE.因为 AB∩BE=B,所以 AB 与 BE 确 定平面 ABE, BA⊥CD, BE⊥CD, 又 所以 CD⊥平面 ABE.

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1.2.3(二)

问题 2 在问题 1 的图中,当∠ABE 是什么角时,给我们两
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平面互相垂直的印象?
答 当∠ABE 为直角时;给我们两平面互相垂直的印象.

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1.2.3(二)

问题 3 由问题 2,你能总结出两平面垂直的定义吗?
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如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两

个平面与第三个平面相交所得的两条直线互相垂直,就称 这两个平面互相垂直. 两个平面 α, 互相垂直, β 记作: α⊥β.

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1.2.3(二)

问题 4 在问题 1 的图形中,已知∠ABE 为直角,那么直线 BA 与平面 β 有怎样的关系?为什么?
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答 BA⊥β, 因为∠ABE 为直角, 可知 BA⊥BE, BA⊥CD, 又 所以 BA⊥β.

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1.2.3(二)

问题 5 在问题 1 的图中,如果平面 α 过平面 β 的垂线 BA, 那么这两个平面是否相互垂直呢?说明理由.
答 两个平面垂直.
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理由如下:在平面 β 内过点 B 作 BE⊥CD,由于 BA⊥β, 所以 BA⊥BE,因此∠ABE 为直角.

问题 6 由问题 5 你能得出怎样的结论?
答 平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面过另一 个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直.

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1.2.3(二)

问题 7 如何画两个平面互相垂直的直观图?

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画两个互相垂直的平面,把直立平面的竖边画成和水平

面的横边垂直,如图所示,平面 α 和平面 β 垂直.

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1.2.3(二)

例1

如图,已知:平面 α⊥平面 β,在 α 与 β

的交线上取线段 AB=4 cm,AC,BD 分别 在平面 α 和平面 β 内,它们都垂直于交线 AB,并且 AC=
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3 cm,BD=12 cm,求 CD 的长.
解 连接 BC,因为 BD⊥AB,直线 AB 是两个 互相垂直的平面 α 和 β 的交线,所以 BD⊥α, BD⊥BC,
所以△CBD 是直角三角形,

在直角△BAC 中,BC= 32+42=5; 在直角△CBD 中,CD= 122+52=13.
所以 CD 的长为 13 cm.

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1.2.3(二)

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小结

证明面面垂直需根据面面垂直的判定定理转化为证明

线面垂直,进而转化为证明线线垂直.此外还可用定义法.

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1.2.3(二)

跟踪训练 1 如图,在三棱锥 V-ABC 中,VC⊥ 底面 ABC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC,求证: 平面 VAB⊥平面 VCD.
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证明 因为 AC=BC,所以△ABC 是等腰三角形.

又 D 是 AB 的中点,所以 CD⊥AB. 又 VC⊥底面 ABC,AB?底面 ABC,所以 VC⊥AB. 因为 CD∩VC=C,CD?平面 VCD,VC?平面 VCD, 所以 AB⊥平面 VCD.
又 AB?平面 VAB,所以平面 VAB⊥平面 VCD.

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1.2.3(二)

例 2 已知 Rt△ABC 中, AB=AC=a, 是斜边 BC 上的高, AD 以 AD 为折痕使∠BDC 成直角(如图).

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求证:(1)平面 ABD⊥平面 BDC,平面 ACD⊥平面 BDC; (2)∠BAC=60° .
证明 (1)因为 AD⊥BD,AD⊥DC,
所以 AD⊥平面 BDC. 因为平面 ABD 和 ACD 都过 AD, 所以平面 ABD⊥平面 BDC,平面 ACD⊥平面 BDC;

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1.2.3(二)

(2)如图(1)中,在直角△BAC 中,
2 因为 AB=AC=a,所以 BC= 2a, 所以 BD=DC= a, 2 如图(2),△BDC 是等腰直角三角形,
所以 BC= 2BD=a, 所以 AB=AC=BC,因此∠BAC=60° .
小结 对于由平面图形折叠而成的几何体,要注意利用平面 图形折叠前后有些线段的长度及角的大小不变的性质.

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1.2.3(二)

跟踪训练 2 如图,在四面体 ABCD 中,BD= 2a,AB=AD=BC=CD=AC=a.求证:平面 ABD⊥平面 BCD.
证明 取 BD 中点 E,连接 AE,CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE.
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在△ABD 中,AB=a, 1 2 BE= BD= a, 2 2 2 2 ∴AE= a,同理,CE= a. 2 2 2 在△AEC 中,AE=EC= a,AC=a, 2 ∴AC2=AE2+EC2,即 AE⊥EC. 又∵BD∩EC=E,∴AE⊥平面 BCD. 又∵AE?平面 ABD, ∴平面 ABD⊥平面 BCD.

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1.2.3(二)

探究点二 两平面垂直的性质 问题 1 设平面 α 与平面 β 垂直,α∩β=CD,BA?α, BA⊥CD,那么 BA 是否垂直平面 β? 答 BA⊥β,证明如下:如下图,
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在平面 β 内过点 B 作 BE⊥CD,

因为 α⊥β,所以 BA⊥BE, 又因为 BA⊥CD,CD∩BE=B,所以 BA⊥β.

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1.2.3(二)

问题 2 由问题 1 你能归纳出怎样的结论?
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面面垂直的性质定理:如果两个平面垂直,那么在

一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.

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1.2.3(二)

例3

如图所示, 是四边形 ABCD 所在平面外 P

的一点,ABCD 是∠DAB=60° 且边长为 a 的 菱形.侧面 PAD 为正三角形,其所在平面垂 直于底面 ABCD.
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(1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB. 证明 (1)连接 PG,BD,由题知△PAD 为正三
角形,G 是 AD 的中点,∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PG⊥平面 ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60° ,
∴△ABD 为正三角形.∴BG⊥AD.
又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD.

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1.2.3(二)

(2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD.∴AD⊥平面 PBG, 又∵PB?面 PBG,∴AD⊥PB.
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小结

证明线面垂直,除利用定义和判定定理外,另一种重

要的方法是利用面面垂直的性质定理证明, 应用时应注意: (1) 两平面垂直;(2)直线必须在一个平面内;(3)直线垂直于交线.

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1.2.3(二)

跟踪训练 3 如图,已知平面 PAB⊥平面 ABC, 平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 点为 垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC;
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(2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形. 证明 (1)在△ABC 内取一点 D,作 DF⊥AC 于点 F,
因为平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC,
所以 DF⊥平面 PAC,又 PA?平面 PAC, 所以 DF⊥AP. 作 DG⊥AB 于点 G, 同理可证 DG⊥AP. 因为 DG、DF 都在平面 ABC 内,且 DG∩DF=D, 所以 PA⊥平面 ABC.

研一研· 问题探究、课堂更高效

1.2.3(二)

(2)连接 BE 并延长,交 PC 于点 H.因为 E 是△PBC 的垂心, 所以 PC⊥BE.
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又已知 AE 是平面 PBC 的垂线,所以 PC⊥AE. 又 BE∩AE=E,所以 PC⊥平面 ABE. 因为 AB?平面 ABE,所以 PC⊥AB. 又因为 PA⊥平面 ABC,AB?平面 ABC,所以 PA⊥AB. 又 PC∩PA=P,所以 AB⊥平面 PAC. 又 AC?平面 PAC,所以 AB⊥AC,
即△ABC 是直角三角形.

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.2.3(二)

1.下列命题中正确的是
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( C )

A.平面 α 和 β 分别过两条互相垂直的直线,则 α⊥β B.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的两条平行直 线,则 α⊥β C.若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的两条相交直 线,则 α⊥β D. 若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线, 则 α⊥β

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.2.3(二)

2.设两个平面互相垂直,则
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( B )

A.一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面 B.过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内 C.过交线上一点垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 D.分别在两个平面内的两条直线互相垂直

练一练· 当堂检测、目标达成落实处

1.2.3(二)

3. 已知四边形 ABCD 是平行四边形, 直线 SC⊥平面 ABCD, E 是 SA 的中点, 求证:平面 EBD⊥平面 ABCD.
证明 连接 AC,BD,交点为 F,连接 EF,EF 是△SAC 的
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中位线, ∴ EF∥SC.

∵SC⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD, 又 EF?平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 ABCD.

1.2.3(二)

1. 判定面面垂直的方法主要有: (1)面面垂直的定义(使用较少); (2)面面垂直的判定定理(使用最多). 在证明两个平面垂直时,
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一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线在现 有的图中不存在,则可通过作辅助线来解决. 2.空间中的垂直关系相互转化图:

1.2.3(二)

3.运用两个平面垂直的性质定理时,一般需作辅助线,基本作 法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直
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转化为线面垂直或线线垂直.


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