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福建省福州格致中学鼓山分校2016届高三数学上学期期中试题 理


2016 届福建省福州格致中学校内高三第一学期期中考试 数学试卷
注意事项: 1、答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写,字体 工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答,超出范围的答案无效,在草纸、试卷上作答无效。

第Ⅰ卷

(60 分)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个正确答案,将正确 答案的序号涂在答题卡上.) 1.已知角α 的终边在第二象限,且 sinα = ,则 tanα 等于( ) A. B.﹣ C. D.﹣

2.下列三个数:a=ln ﹣ ,b=lnπ ﹣π ,c=ln3﹣3,大小顺序正确的是( ) A.a>c>b B.a>b>c C.a<c<b D.b>a>c
2 ?5 m ?3 3. 已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x 是幂函数且是 ? 0, ?? ? 上的增函数,则 m 的值为 ( )

?

?

A.2

B.-1

C.-1 或 2

D.0 )

4.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=ln x,则有(

?1? ?1? A. f? ?<f(2)<f? ? ?3? ?2? ?1? <f? ? ?3?

?1? ?1? B. f? ?<f(2)<f? ? ?2? ?3?

?1? ?1? C. f? ?<f? ?<f(2) ?2? ?3?

?1? D. f(2)<f? ? ?2?

5.函数 y ? log 1 sin(2 x ? ? ) 的单调减区间为 4 2 A. (k? ?





?
4

, k? ]

(k ? Z )
(k ? Z )

B. (k? ?
(k? ?

?
8
8

, k? ?

?
8

]

(k ? Z )
(k ? Z )

D. 2 6. 如图, 直线 y=kx 分抛物线 y=x-x 与 x 轴所围图形为面积相等的两部分, 求 k 的值 (

3 ? (k? ? ? , k? ? ] 8 8 C.

?

3 , k? ? ? ] 8



4 A.1 ? 2
3

B.

1?

3

2 2
1

C.

1?

3

3 2

D.

1?

3 2
1 2


7.已知函数 f ( x) ? ln( 1 ? 9 x 2 ? 3x) ? 1 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) 等于( A.-1 B.0 C. 1 D. 2

8.tan70°cos10°(1- 3tan20°)的值为( A.-1 B.1 C.-2

) D.2

9.已知函数 y= 1-x+ x+3的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为( A. 1 4 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2

m M

)

10..已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A.(-∞,0)



? 1? B.?0, ? ? 2?

C.(0,1)

D.(0,+∞)

11. 设 ? ? (0,

?

? 1 ? sin ? ), ? ? (0, ), 且 tan ? ? ,则 ( 2 2 cos ?
?
2
B. 3? ? ? ?



A. 3? ? ? ?

?
2

C. 2? ? ? ?

?
2

D. 2? ? ? ?

?
2

12. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时,f ( x) ? 若 ?x ? R , f ( x ? 1) ? f ( x) ,则实数 a 的取值范围为( A. [? , ]

1 (| x ? a 2 | ? | x ? 2a 2 | ?3a 2 ) , 2


1 1 6 6

B. [ ?

6 6 , ] 6 6

C.

1 1 [? , ] 3 3

D. [ ?

3 3 , ] 3 3

第Ⅱ卷 (90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.计算定积分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? __________

14..设 f ( x)是R 上的奇函数,且 f (?1) ? 0,当x ? 0时, ( x ? 1) f ( x) ? 2xf ( x) ? 0 ,则不等
2 '

式 f ( x) ? 0 的解集为
2

15.对于函数 f ( x) ? ?

?sin x,sin x ? cos x 给出下列四个命题: ?cos x,sin x ? cos x

①该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数 ②当且仅当 x ? ? ? k? (k ? Z ) 时,该函数取得最小值是-1 ③该函数的图象关于直线 x ? ④当且仅当 2k? ? x ?

5 ? ? 2k? (k ? Z ) 对称 4

?
2

? 2k? (k ? Z ) 时, 0 ? f ( x) ?

2 2

其中正确命题的序号是 16. 已知函数 f ? x ? ? x ? e ?
2 x

(请将所有正确命题的序号都填上)

1 ( x ? 0) 与 g ?x? ? x 2 ? ln(x ? a) 图象上存在关于 y 轴对称 2

的点,则 a 的取值范围是__________________________.

三、 解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ? x ? (1)求 A 的值;

? ?

??

? . ? , x ? R ,且 f ? ? ??? 4? 12 ? ? 2 5 3

?? (2)若 f ?? ? ? f ? ?? ? ? 3 , ? ? ? ? 0, ? ,求 2 ? 2?

?3 ? f ? ? ?? ? . 4 ? ?

18. .(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4sin x sin (
2

?

x ? ) ? cos 2 x 4 2

[? , ] (1)设 ω >0 为常数,若 y ? f (? x) 在区间 上是增函数,求 ω 的取值范围;
(2)设集合 A ? {x |

? 2? ? x ? } , B ? {x || f ( x) ? m |? 2} ,若 A? B,求实数 m 的取值范 6 3
3

? 2? 2 3

围.

19.(本小题满分 12 分) 若二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2

20.(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=ka -a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x +2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 2x -2x (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a -4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2 21.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? 1 的图象上有两点 A(0,1)和 B(1,0) (Ⅰ) 在区间 (0, 1) 内, 求实数 a 使得函数 f ( x) 的图象在 x=a 处的切线平行于直线 AB; (Ⅱ)设 m>0,记 M(m, f ( m) ) ,求证在区间(0,m)内至少有一实数 b,使得函数 图象在 x=b 处的切线平行于直线 AM.
2

x

-x

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? a ln x, g ( x) ? (a ? 1) x , a ? ?1 . 2

(I) 若函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, 求实数 a 的
4

取值范围;

g (x) ,求证:当 x1 , x2 ?[1, a] 时, (II)若 a ? ( 1 , e ] (e ? 2.71828 ) ? ,设 F (x) ? f (x) ?
不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立.

参考答案 一.选择题: DABCB 二.填空题: 13. 17. (1) f ? x ? ? ADBCB CB 15. ③④ 16. (??, e )

2 3

14. (??, ?1) ? (0,1)

? 3 sin(x ? ) ………………4 4

(2)

30 ………………10 4

? 1 ? cos( ? x) 2 18.解:(1)f(x) = 4sinx g ? cos2x ? 2sinx ? 1, ……………………2 2
[ ? , ?] ∵f(ω x)=2sinω x+1 在 上是增函数. ? 2? 2 3 2? ? ?? ? , ? 即 3 2? 2 [ ? , ][ ? ? ∴ ? ? , ] , 2? 2? ?? 3 , ??? (0, ] . …………………………………………………6 2? 4 ? 2 2 3

(2)由|f(x)-m|<2 得:-2<f(x)-m<2, 即 f(x)-2<m<f(x)+2. ∵A? B,∴当

? 2 ? x ? ? 时,f(x)-2<m<f(x)+2 恒成立 6 3

[f ? x ? ? 2] ∴ max<m<[f ? x ? ? 2] min , ……………………………………………9
[ , ] 又x? 时, ? 2? 6 3 ? ? f ? x ?max ? f ( ) ? 3;f ? x ?min ? f ( ) ? 2 , 2 6
2

∴m∈(1,4)……………………………………………………………………12 19. 解:(1)由 f(0)=1,得 c=1.即 f(x)=ax +bx+1. 又 f(x+1)-f(x)=2x, 则 a(x+1) +b(x+1)+1-(ax +bx+1)=2x,
5
2 2

即 2ax+a+b=2x,
?2a=2, ? 所以? ?a+b=0, ?
2

解得?

?a=1, ? ?b=-1. ?

因此,f(x)=x -x+1…………………………………………………………….6 (2)f(x)>2x+m 等价于 x -x+1>2x+m,即 x -3x+1-m>0,要使此不等式在[-1,1] 上恒成立,只需使函数 g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可. ∵g(x)=x -3x+1-m 在[-1,1]上单调递减, ∴g(x)min=g(1)=-m-1, 由-m-1>0 得,m<-1. 因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).……………………………….12 20. 解:∵f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(0)=0,∴k-1=0,即 k=1…………………………………………………2 1 (1)∵f(1)>0,∴a- >0,
2 2 2 2

a

又 a>0 且 a≠1,∴a>1,f(x)=a -a , ∵f′(x)=a ln a+a
x
-x

x

-x

ln a=(a +a )·ln a>0,

x

-x

∴f(x)在 R 上为增函数.……………………………………………………………4 原不等式可化为 f(x +2x)>f(4-x), ∴x +2x>4-x,即 x +3x-4>0, ∴x>1 或 x<-4, ∴不等式的解集为{x|x>1,或 x<-4}.…………………………………….6 3 1 3 (2)∵f(1)= ,∴a- = , 2 a 2 即 2a -3a-2=0, 1 ∴a=2 或 a=- (舍去),…………………………………………………8 2 ∴g(x)=2 +2
x
2x -2x 2 2 2 2

-4(2 -2 )=(2 -2 ) -4(2 -2 )+2.

x

-x

x

-x 2

x

-x

令 t(x)=2 -2 (x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知), 3 即 t(x)≥t(1)= , 2 ∴原函数变为 w(t)=t -4t+2=(t-2) -2, ∴当 t=2 时,w(t)min=-2, 此时 x=log2(1+ 2). 即
2 2

-x

g(x)



x



log2(1



2

)















2…………………………………………………………12
6

21. (Ⅰ)解:直线 AB 斜率 kAB=-1 令 f ?(a) ? ?1(0 ? a ? 1) 解得 a ?

f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1

即3a 2 ? 2a ? 1 ? ?1

2 …………………………………………………………………………4 3

(Ⅱ)证明:直线 AM 斜率 k AM ?

(m 3 ? m 2 ? m ? 1) ? 1 ? m2 ? m ?1 m?0

考察关于 b 的方程 f ?(b) ? m 2 ? m ? 1 即 3b -2b-m +m=0 在区间(0,m)内的根的情况 令 g(b)= 3b -2b-m +m,则此二次函数图象的对称轴为 b ?
2 2 2 2

1 3

而 g ( ) ? ?m ? m ?
2

1 3

1 1 1 ? ?( m ? ) 2 ? ?0 3 2 12

g(0)=-m +m=m(1-m) g(m)=2m -m-m(2m-1) ………………………………………………………8
2

2

1 时, g (0) ? 0, g (m) ? 0, 方程 g (b) ? 0在区间 (0, m) 内有一实根 2 1 1 1 (2)当 ? m ? 1时, g (0) ? 0, g ( ) ? 0, 方程 g (b) ? 0在区间 (0, ) 内有一实根 2 3 3 1 1 (3)当 m ? 1时, g ( ) ? 0, g (m) ? 0, 方程 g (b) ? 0在区间 ( , m) 内有一实根 3 3
∴(1)当 0 ? m ? 综上,方程 g(b)=0 在区间(0,m)内至少有一实根,故在区间(0,m)内至少有一实数 b, 使得函数图象在 x=b 处的切线平行于直线 AM …………………………………………………12 22.解: (I) f ?( x) ? x ?

a , g ?( x) ? a ? 1 , x

∵函数 f ( x), g ( x) 在区间 [1,3] 上都是单调函数且它们的单调性相同, ∴当 x ?[1,3] 时, f ?( x) ? g ?( x) ? 即 (a ? 1)( x ? a) ? 0 恒成立,
2

(a ? 1)( x 2 ? a) ? 0 恒成立, x

∴?

? a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ?[1,3] 时恒成立,或 ?

? a ? ?1 ?a ? ? x
2

在 x ?[1,3] 时恒成立,

∵ ?9 ? x ? ?1 ,∴ a ? ?1 或 a ? ?9 (II) F ( x) ?

……………………………………6

1 2 a ( x ? a)( x ? 1) x ? a ln x, ?(a ? 1) x , F ?( x) ? x ? ? (a ? 1) ? 2 x x
7

∵ F ( x) 定义域是 (0, ??) , a ? (1, e] ,即 a ? 1 ∴ F ( x) 在 (0,1) 是增函数,在 (1, a) 实际减函数,在 (a, ??) 是增函数 ∴当 x ? 1 时, F ( x) 取极大值 M ? F (1) ? ?a ?

1 , 2
1 2

当 x ? a 时, F ( x) 取极小值 m ? F (a) ? a ln a ? a2 ? a , ∵ x1 , x2 ?[1, a] ,∴ | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |?| M ? m |? M ? m 设 G (a) ? M ? m ? ∴ [G?(a )]? ? 1 ?

1 2 1 a ? a ln a ? ,则 G?(a) ? a ? ln a ? 1 , 2 2

1 ,∵ a ? (1, e] ,∴ [G?(a)]? ? 0 a

∴ G?(a) ? a ? ln a ? 1 在 a ? (1, e] 是增函数,∴ G?(a) ? G?(1) ? 0 ∴ G (a) ?

1 2 1 a ? a ln a ? 在 a ? (1, e] 也是增函数 2 2

∴ G(a) ? G (e) ,即 G (a) ?

1 2 1 (e ? 1) 2 e ?e? ? ?1, 2 2 2



1 2 1 (e ? 1) 2 (3 ? 1) 2 e ?e? ? ?1 ? ? 1 ? 1 ,∴ G(a) ? M ? m ? 1 2 2 2 2

∴当 x1 , x2 ?[1, a] 时,不等式 | F ( x1 ) ? F ( x2 ) |? 1 成立. ……………………………12

8


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