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东北三省三校2014届高三第一次高考模拟考试理科数学 word版含答案


2014 年哈师大附中第一次高考模拟考试

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草 稿纸、试题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0} , B ? {x | ?4 ? x ? 0} ,则 A CR B ?
{x ? R | x ? 0} B. A.R 2.若复数 z 满足 iz = 2 + 4i,则复数 z = A.2 + 4i B.2 - 4i

C.{x | 0 ? x ? 2} C.4 - 2i

D. ? D.4 + 2i

1 3.在 ( x2 ? )5 的二项展开式中,第二项的系数为 x A.10 B.-10 C.5 4.执行如图所示的程序框图,若输入如下四个函数:
① f ( x) ? sin x ,② f ( x) ? cos x ,③ f ( x) ? 则输出的函数是 A. f ( x) ? sin x B. f ( x) ? cos x C. f ( x) ?

D.-5

1 ,④ f ( x) ? x 2 , x

1 x

D. f ( x ) ? x 2 5.直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出下列命题: ① 若 m∥ n,n∥ α,则 m∥ α; ③ 若 m⊥ n,n⊥ α,则 m∥ α; 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 ② 若 m∥ β,α∥ β,则 m∥ α; ④ 若 m⊥ β,α⊥ β,则 m∥ α。 C.3 D.4

6.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a2 + a4 + a6 = 12,则 S7 的值是

A.21 B.24 C.28 D.7 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为 A. C.
?

2? 3 2? 9
x dx ? 2

? 3 16? D. 9
B.

8. ? 2 sin 2
0

A.0 C.

B.

?
4

?

1 2

?
4

?

1 4

D.

?
2

?1

? y ? ?1, ? 9.变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2, 若使 z = ax + y 取得最大值的最优解有无穷多个,则 ?3x ? y ? 14, ?

实数 a 的取值集合是 A. {?3,0}

B. {3, ?1}

C. {0,1}

D. {?3,0,1}

10.一个五位自然数 a1a2 a3a4 a5 , ai ?{0,1, 2,3, 4,5} , i ? 1, 2,3, 4,5 ,当且仅当 a1 > a2 > a3,a3 < a4 < a5 时称为―凹数‖(如 32014,53134 等) ,则满足条件的五位自然数中―凹数‖的个数为 A.110 B.137 C.145 D.146 11.双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F (c,0) ,以原点为圆心,c 为半径的圆与双 a 2 b2
3 ,则双曲线 C 的离心率为 3

曲线在第二象限的交点为 A,若此圆在 A 点处切线的斜率为 A. 3 ? 1 B. 6 C. 2 3

D. 2

? ?log 2 (1 ? x) ? 1, ?1 ? x ? k 12.已知函数 f ( x) ? ? 3 ,若存在 k 使得函数 f ( x) 的值域是 [0, 2] ,则 k?x?a ? ? x ? 3x ? 2,

实数 a 的取值范围是 A. [ 3, ??)

1 B. [ , 3] 2

C. (0, 3]

D. {2}

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.若向量 a,b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 14.若 cos(? ?

? ,则 | 2a ? b |? __________。 3

?
6

) ? sin ? ?

3 3 5? ,则 sin(? ? ) ? __________。 5 6

15.正四面体 ABCD 的棱长为 4,E 为棱 BC 的中点,过 E 作其外接球的截面,则截面面积

的最小值为__________。 16.已知数列 {an } 的通项公式为 an ?

1 ,前 n 项和为 Sn。若对于任意正整数 n,不等式 n ?1

m 恒成立,则常数 m 所能取得的最大整数为__________。 16 三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 三角形 ABC 中,内角 A , B , C 所对边 a , b , c 成公比小于 1 的等比数列,且 sin B ? sin( A ? C ) ? 2sin 2C 。 S2 n ? Sn ?
(1)求内角 B 的余弦值; (2)若 b ? 3 ,求 ΔABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 S—ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AD 垂直于 AB 和 DC, 侧棱 SA⊥ 底面 ABCD, 且 SA = 2, AD = DC = 1。 (1)若点 E 在 SD 上,且 AE⊥SD,证明:AE⊥ 平面 SDC; (2) 若三棱锥 S—ABC 的体积 VS ? ABC ? 所成二面角的正弦值大小。 19. (本小题满分 12 分) 某城市随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气质量指数 API 的监测数据,结果统计如 下: [0,50] (50,100] (100,150] (150, 200] (200, 250] (250,300] ? 300 API 空气质量 天数 优 4 良 13 轻微污染 18 轻度污染 30 中度污染 9 中度重污染 重度污染 11 15

1 , 求面 SAD 与面 SBC 6

(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S(单位:元)与空气质量指数 API(记 为 ω)的关系式为:
0 ? ? ? 100, ?0, ? S ? ?4? ? 400, 100 ? ? ? 300, ?2000, ? ? 300. ?

试估计在本年内随机抽取一天,该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元的概率; (2) 若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季, 其中有 8 天为重度污染, 完成下面 2× 2 列联表,并判断能否有 95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关? 附: P(K2 ≥ k0) k0 0.25 0.15 0.10 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 1.323 2.072 2.706 n(ad ? bc)2 K2 ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 100

重度污染

合计

20. (本小题满分 12 分) 椭圆 M :
2 2 x2 y 2 ) 。直线 l1 : y ? k1x ? m1 ,且经过点 P (1, ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a 2 b2

与椭圆 M 交于 A,C 两点,直线 l1 : y ? k2 x ? m2 与椭圆 M 交于 B,D 两点,四边形 ABCD 是 平行四边形。 (1)求椭圆 M 的方程; (2)求证:平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于原点 D; (3)若平行四边形 ABCD 为菱形,求菱形 ABCD 面积的最小值。 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)e? x (e 为自然对数的底数) 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)设函数 ? ( x) ? xf ( x) ? tf' ( x) ? e? x ,存在函数 x1 , x2 ? [0,1] ,使得成立 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成 立,求实数 t 的取值范围。 请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答 时请写清题号。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 1:几何证明选讲 如图,PA,PB 是圆 O 的两条切线,A,B 是切点,C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点, 直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠ DAQ =∠ PBC。求证:

BD BC ; ? AD AC (2)ΔADQ ∽ΔDBQ。 23. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 4:坐标系与参数方程
(1)
? x ? 1 ? 4cos ? 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? (θ 为参数) ,直线 l 经 ? y ? 2 ? 4sin ?

过定点 P(3,5) ,倾斜角为

? 3

(1)写出直线 l 的参数方程和曲线 C 的标准方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。 22. (本小题满分 10 分) 选修 4 – 5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | 。 (1)求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? t 2 ? 3t 在 [0,1] 上无解,求实数 t 的取值范围。

2014 年东北三省三校第一次高考模拟考试

理科数学参考答案
一、选择题 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 D 6 C 7 D 8 B 9 B 10 D 11 A 12 B

二、填空题 13. 2 3 三、解答题 17.解:(Ⅰ ) sin B ? sin( A ? C) ? 2sin 2C 14.

3 5

15.4π

5

? sin( A ? C ) ? sin( A ? C ) ? 4sin C cos C ? sin A ? 2sin C ……………………….2 分
? a ? 2c
…………4 分 又因为 b ? ac ? 2c
2 2

……………

所以 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 ? ……………………….6 分 2ac 4

(Ⅱ ) b ? 3 ? a ? 6, c ?

3 ……………………….8 分 2
7 ……………………….10 分 4
S E D z

又因为 sin B ? 1 ? cos B ?
2

1 3 ac sin B ? 7 ……………………….12 分 2 8 18.(Ⅰ )证明:? 侧棱 SA ? 底面 ABCD , CD ? 底面 ABCD ? SA ? CD . ……………………….1 分 又? 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC ? AD ? CD ,又 AD ? SA ? A ? CD ? 侧面 SAD ,……………………….3 分 AE ? 侧面 SAD
所以 S
ABC

?

y C

? AE ? CD, AE ? SD, CD ? SD ? D
? AE ? 平面 SDC ……………………….5 分 (Ⅱ ) 连结 AC ,? 底面 ABCD 是直角梯形, AD 垂直于 AB 和 DC ,
SA ? 2, AD ? DC ? 1. ? AC ? 2 , ?CAB ?

A

B x

?
4

,设 AB ? t ,则 S ?ABC ?

2 1 AC ? t ? t , 4 2

? 三棱锥 VS ? ABC ?

1 2 1 1 ? ? t ,? t ? AB ? .……………………….7 分 6 3 2 2

如图建系,则 A(0,0,0), S (0,0,2), D(0,1,0), B( ,0,0), C (1,1,0) ,由题意平面 SAD 的一个法向 量为 m ? (1,0,0) ,不妨设平面 SBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) , SB ? ( ,0,?2)

1 2

1 2

?x ? 4z ? 0 ,不妨令 z ? 1 ,则 SC ? (1,1,?2) ,则 n ? SB ? 0, n ? SC ? 0 ,得 ? ?x ? y ? 2z ? 0

n ? (4,?2,1) ……………………….10 分
cos ? m, n? ? m?n | m || n | ? 4 21
,……………………….11 分

设面 SAD 与面 SBC 所成二面角为 ? ,则 sin ? ?

105 ……………………….12 分 21

19.解: (Ⅰ ) 设―在本年内随机抽取一天, 该天经济损失 S 大于 200 元且不超过 600 元‖为事件 A……1 分 由 200 ? S ? 600 ,得 150 ? w ? 250 ,频数为 39,……3 分

P ( A) ?

39 ……………………….4 分 100
非重度污染 供暖季 非供暖季 合计 22 63 85 重度污染 8 7 15 合计 30 70 100 ………………………

(Ⅱ )根据以上数据得到如下列联表:

.8 分

100 ? ? 63 ? 8 ? 22 ? 7 ? K 的观测值 k ? ? 4.575 ? 3.841 ……………………….10 分 85 ?15 ? 30 ? 70
2

2

所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关. ……………………….12 分 20.解:

? 2 c, ?a ? 2 2 ? ? ? a ? 2, 2 2 2 (Ⅰ )依题意有 ? ,又因为 a ? b ? c ,所以得 ? 2 9 ? ?b ? 1. ?1 4 ? 2 ? 2 ?1 b ?a 2 x ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的方程为 2

……3 分

? x2 2 ? ? y ? 1, (Ⅱ )依题意,点 A, C 满足 ? 2 ?y ? k x ? m , ? 1 1 2 2 所以 xA , xC 是方程 (2k1 ? 1) x ? 4k1m1 x ? 2m12 ? 2 ? 0 的两个根.
? ? ? 8 ? (2k12 ? 1 ? m12 ) ? 0, ? 得? 4k1m1 ? x A ? xC ? ? 2k 2 ? 1 . ? 1

2k1m1 m , 21 ) . 2 2k1 ? 1 2k1 ? 1 2k2 m2 m2 同理,所以线段 BD 的中点为 (? , ) .……………………….5 分 2 2k 2 ? 1 2 k 2 2 ? 1
所以线段 AC 的中点为 (?

2k2 m2 ? 2k1m1 ? ? 2k 2 ? 1 ? ? 2k 2 ? 1 , ? 1 2 因为四边形 ABCD 是平行四边形,所以 ? m m 1 2 ? ? . 2 2 ? ? 2k1 ? 1 2k2 ? 1
解得, m1 ? m2 ? 0 或 k1 ? k2 (舍). 即平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于原点 O . ……7 分

?x 2 ? ? y ? 1, (Ⅲ )点 A, C 满足 ? 2 ? y ? k x, ? 1
2

所以 xA , xC 是方程 (2k12 ? 1) x2 ? 2 ? 0 的两个根,即 xA ? xC ?
2 2

2 2k12 ? 1

故 | OA |?| OC |? 1 ? k1 ?

2

2 2k1 ? 1
2 2

.

同理, | OB |?| OD |? 1 ? k2 ?

2 2k 2 ? 1
2

.

……………………….9 分

又因为 AC ? BD ,所以 | OB |?| OD |? 1 ? (

1 2 2 ,其中 k1 ? 0 . ) ? 1 2 k1 2( ) ? 1 k1

从而菱形 ABCD 的面积 S 为

S ? 2 | OA | ? | OB | ? 2 1 ? k1 ?

2

1 2 , ? 1 ? ( )2 ? 1 2 k1 2k ? 1 2( ) ? 1 k1

2

2 1

整理得 S ? 4

1 2? 1 (k1 ? 1 2 ) k1

,其中 k1 ? 0 .……………………….10 分

故,当 k1 ? 1 或 ? 1 时,菱形 ABCD 的面积最小,该最小值为

8 . 3

……12 分

21. 解: (Ⅰ )∵ 函数的定义域为 R, f ?( x ) ? ?

x ……………………….2 分 ex

∴ 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 。 ∴ f ( x ) 在 (??, 0) 上单调递增,在 (0, ? ?) 上单调递 减。……………………….4 分 (Ⅱ ) 假设存在 x1 , x2 ?[0, 1] , 使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立, 则 2[? ( x)]min ? [? ( x)]max 。 ∵? ( x) ? xf ( x) ? tf ?( x) ? e ∴? ?( x) ?
?x

?

x 2 ? (1 ? t ) x ? 1 ex

? x 2 ? (1 ? t ) x ? t ( x ? t )( x ? 1) ?? ………………………6 分 x e ex

① 当 t ? 1 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递减,∴2? (1) ? ? (0) ,即

t ? 3?

e ? 1。 2
……………………

….8 分 ② 当 t ? 0 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, 1] 上单调递增,∴2? (0) ? ? (1) ,即

t ? 3 ? 2e ? 0 。
…………………… ….10 分 ③ 当 0 ? t ? 1 时, 在 x ? ?0, t ? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [0, t ] 上单调递减 在 x ? ?t ,1? , ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 在 [t , 1] 上单调递增 所以 2? (t ) ? max{? (0), ? (1)} ,即 2 由(Ⅰ )知, g (t ) ? 2

t ?1 3?t ? max{1, } —— (*) t e e

t ?1 在 [0,1] 上单调递减 et 4 t ?1 2 3?t 3 ? ,所以不等式 (*) 无解 故 ? 2 t ? 2 ,而 ? e e e e e e 综上所述,存在 t ? ( ??,3 ? 2e) (3 ? , ??) ,使得命题成 2
立. ………………………12 分 22.证明:

A

D B ,所以 (Ⅰ )连结 AB .因为△ PBC ∽ △P

BD PD ? . BC PB
D

O Q B C

P

同理

AD PD ? . AC PA BD AD BD BC ? ? ,即 . BC AC AD AC
……5 分

又因为 PA ? PB ,所以

(Ⅱ )因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ , 所以△ ABC ∽ △ ADQ ,即

BC DQ . ? AC AQ



BD DQ . ? AD AQ

又因为 ?DAQ ? ?PBC ? ?BDQ , 所以△ ADQ ∽ △DBQ . 23.解: (Ⅰ )圆 C: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 ,直线 l: ……10 分

1 ? x ? 3? t ? 2 ? , t为参数 ……………………….5 分 ? 3 ?y ? 5? t ? ? 2
(Ⅱ )将直线的参数方程代入圆的方程可得 t 2 ? (2 ? 3 3)t ? 3 ? 0 ,……………………….8 分 设 t1 , t2 是 方 程 的 两 个 根 , 则 t1t2 ? ?3 , 所 以

|P

A | ?| P 1

分 B |2 ? | t 1……………………….10 |? t2 | t| t | |

3

24.解:

1 ? x? ? x ? 3, 2 ? 1 ? (Ⅰ ) f ( x) ? ? ?3 x ? 1, ?2 ? x ? , 2 ? x ? ?2 ? 3 ? x, ? ?
? 1 1 ? ? x ? ?2 ? x? ??2 ? x ? 所以原不等式转化为 ? ……3 分 2 或? 2 或? 3? x ? 3 ? ?x ? 3 ? 3 ? ??3x ? 1 ? 3 ?
所以原不等式的解集为 ? ??, ? ? 3

? ?

4? ?

?6, ?? ? ………………….6 分

(Ⅱ )只要 f ( x)max ? t 2 ? 3t ,……………………….8 分

由(Ⅰ )知 f ( x)max ? ?1 ? t 2 ? 3t 解得 t ?

3? 5 3? 5 或t ? ……………………….10 分 2 2


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