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四川省遂宁市2015届高三数学零诊考试试题 理


遂 宁 市 高 中 2015 届 零 诊 考 试 数学(理科)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。总分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,满分 50 分) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查 条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写 在答题卡对应框内,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。 3.考试结束后,将答题卡收回。

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? x ? 1 ? x ? 2 , B ? x x ? 1 ,则A ? ? C R B ? = A. C.

?

?

?

?

? x x ? 1? ? x ? ? x ? 2?
5i ? 1 ? 2i
B. ?2 ? i

B. D.

? x x ? 1? ? x ? ? x ? 2?
D. ?1 ? 2i

2.复数

A. 2 ? i

C. 1 ? 2i

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ? 4 ”是“ a ? 2, 且b ? 2 ”的 A.必要不充分条件 C. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 D. 既非充分又非必要条件

4. 在等差数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 4 ,记 an 的前 n 项和为 Sn ,则 S8 ? A.12 B.16 C .24 D.48

5. 已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是 A.若 m // ? , n // ? , 则 m / / n C.若 m ? ? , m ? n ,则 n / /? B.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n D.若 m / /? , m ? n ,则 n ? ?

6. 执行下面的框图,若输入的 N 是 6 ,则输出 p 的值是

-1-

A.120

B.720

C.1440

D.5040
π ) 的部分图像,其中 A,B 两点之间的距 2

7. 如图所示为函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 离为 5,那么 f (?1) ? A.-1 B.1 C. ? 3 D. 3 8. 若 函 数 f ? x ? ? ka ? a
x ?x

? ?? 上 既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 , 则 ? a ? 0且a ? 1? 在? ??,

g ? x ? ? loga ? x ? k ? 的图象是

A

B

C

D

9. 某单位安排 7 位员工在星期一至星期日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中 的甲、乙排在相邻两天,丙不排在星期一,丁不排在星期日,则不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种
? 3 4 ? 8 x ? ,1 ≤ x ≤ 2, ? ? 2 10. 定义函数 f ( x) ? ? ,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6 在区间 ?1,64? (n ? N* ) 内 1 x ? f ( ), x ? 2. ? ?2 2

的所有零点的和为 A. 192 B.189 C.

189 4

D.

189 2

第Ⅱ卷(非选择题,满分 100 分) 注意事项: 1.请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答,不能答在此试卷上。 2.试卷中横线及框内注有“▲”的地方,是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

-2-

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。

?1? 2 11. log 2 6 ? log 4 9 ? 27 ? ? ? = ▲ ?4? r r r r r r 12.已知向量 a, b 的夹角为 60°,且 a ? 2, b ? 1,则 a ? b ? ▲
13.设 V ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c . 若 b ? c ? 2a, 且 3sin A ? 5sin B, 则角 ?C ? ▲

2 3

?

1

14.已知函数 f ? x ? 对任意 x ? R ,都有 f ? x ? 6? ? f ? x ? ? 0, 函数 y ? f ? x ?1? 的图像关于 ?1,0 ? 对称,且 f ? 2? ? 4, 则 f ? 2014? ? ▲

?1, x ? 0 ? 15. 定义符号函数 sgn( x) ? ?0, x ? 0 , 则下列说法正确的是 ▲ (填上你认为所有正确的结 ??1, x ? 0 ?
论序号)



x ? sgn( x); x

② 设函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x, 则方程 f ( x)gsgn ? f ( x) ? =1 有三个实根; ③ 设函数 f ( x) ? lg xgsgn(lg x), 若f (a ) ? f (b), a ? b, 则 a ? b ? (2, ??); ④ 设函数 f ( x) ? xgsgn( x) ? ( x ? 1) sgn( x ? 1), 则函数 y=( ) f ( x ) 的单调递增区间是 [1, ??) ,值域为 [2, ??). 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设 x ? R ,函数 f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( ) ?

1 2

?

2

1 ? 2? ,( ? ? ? ), 求 sin ? . 2 6 3
-3-

17. (本小题满分 12 分) 下图是从遂宁某中学参加高三体育考试的学生中抽出的 60 名学生体育成绩(均为整数)的 频率分布直方图,该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形,根据图形的信息,回答 下列问题: (1)求成绩在区间[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图;并估计这次考试的及 格率(60 分及以上为及格); 2 (2) 假设成绩在[80,90)内的学生中有 的成绩在 85 分以下(不含 85 分), 从成绩在[80,90) 3 内的学生中选出三人,记在 85 分以上(含 85 分)的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

18. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为矩形,平面 ABEF ? 平 面 ABCD, EF // AB, ?BAF ? 90 , AD ? 2, AB ? AF ? 2 EF ? 1, 点 P
o

在棱 DF 上. (1)若 P 为 DF 的中点,求证: BF //平面 ACP ; (2)若二面角 D ? AP ? C 的余弦值为 ,求 PF 的长度. 3 F E P D C

6

A B 19. (本小题满分 12 分)

已知定义在 x ? [?1,1] 上的偶函数 f ( x) 满足:当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ? 2 2 ? x . (1)求函数 f ( x) 在 x ? [?1,1] 上的解析式; (2)设 g ( x) ? ax ? 6 ? 2a (a ? 0) ,若对于任意 x1 , x 2 ? [?1,1] ,都有 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) 成立, 求实数 a 的取值范围.

-4-

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 =2, an?1 ? 2Sn ? 2 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 的各项均为正数, 且 bn 是

n n 与 的等比中项, 求 bn 的前 n 项和为 Tn ; an an ? 2

(3)数列

?cn ?

cn ?
满足

1 36(anbn ) 2 ? 1 , Rn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,是否存在正整数

m, k (1 ? m ? k ) ),使得 R1 , Rm , Rk 成等比数列,若存在,求出 m, k 的值,若不存在,请说明理
由。

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

x ? a ln(1 ? x), g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立?若存在,求出

b 的取值范围;若不存在,说明理由;
(3)证明:不等式 ?1 ?

?k
k ?1

n

2

k 1 ? ln n ? ? n ? 1, 2, ???? . ?1 2

-5-

遂 宁 市 高 中 2015 届 零 诊 考 试

数学(理科)试题参考答案及评分意见

一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 C 2π 3 5 B 6 B 7 A 8 A 9 C 10 D

二、填空题(5 ? 5=25 分) 11. -6 12.

3

13.

14. ?4

15.②③

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) ? cos x(2 3 sin x ? cos x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos x ? sin x
2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6
由 2 k? ?

?

??????3 分

?

2

? 2x ?

?

6

? 2 k? ?

?

2
? ?

, k ? z , 解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ? z

所以函数 f ( x) 的单调增区间是 ? k? ? (2)由 f ( ) ? 2sin(? ? 由

?
6

, k? ?

??

? k?z. 3?

??????6 分

?

?
6

?
6

2

)?

?? ?

2? ? ? 得0 ?? ? ? 3 6 2

1 ? 1 得 sin(? ? ) ? 2 6 4

? ? 15 ? cos(? ? ) ? 1 ? sin 2 (? ? ) ? 6 6 4

??????9 分

? ? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?(? ? ) ? ) ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? ) sin 6 6 6 6 6 6 ? ?
-6-

=

1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? ? 4 2 4 2 8

??????12 分

17.(本小题满分 12 分) 解:(1)因为各组的频率和等于 1,故成绩在[70,80)内的频率为

f 4 =1-(0.01×2+0.015+0.020+0.005)×10
=0.4. ??????2 分

频率分布直方图如右图

??????4 分

依题意,60 分及以上的分数在第三、四、五、六段,故其频率和为 (0.02+0.04+0.01 +0.005)×10=0.75,所以抽样学生成绩的及格率是 75% ??????5 分

(2)因为成绩在[80,90)内的人数=0.01×10×60=6,所以成绩在[80,85)和[85,90)内的 人数分别为 4 人和 2 人. ??????6 分 ??????7 分
2 1 C4 C2 3 ? 3 C6 5

? X 的可能取值为 0、1、2

P( X ? 0) ?

3 0 C4 C2 1 ? 3 C6 5

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

1 2 C4 C2 1 ? ??10 分 3 C6 5

? X 的分布列为
X P 0 1 2

1 5

3 5
??????12 分

1 5

1 3 1 ? E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 5 5 5
18.(本小题满分 12 分)

解:(1)证明:连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OP. 因为 P 是 DF 中点,O 为矩形 ABCD 对角线的交点, 所以 OP 为三角形 BDF 中位线,
E

F P

A

D O C

所以 BF // OP, 因为 BF ? 平面 ACP,OP ? 平面 ACP,
B

-7-

所以 BF // 平面 ACP.

??????5 分

(2)因为∠BAF=90?,所以 AF⊥AB, 又因为平面 ABEF⊥平面 ABCD,且平面 ABEF ∩平面 ABCD= AB, 所以 AF⊥平面 ABCD, 从而 AF⊥AB,AF⊥AD 因为四边形 ABCD 为矩形,所以 AB⊥AD 以 A 为坐标原点, AB, AD, AF 分别为 x, y, z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系 O ? xyz . 所以 A(0, 0, 0) B (1, 0, 0) C (1, 2, 0), F (0, 0,1) ??????7 分

u r 因为 AB⊥平面 ADF,所以平面 DAP 的法向量为 n1 ? (1, 0, 0) . ??????8 分 设 P 点坐标为 (0, 2 ? 2t , t ) ,其中 0<t≤1 uuu r uuu r 在平面 APC 中, AP ? (0, 2 ? 2t , t ) , AC ? (1, 2, 0) ,
所以 平面 APC 的法向量为 n2 ? (?2,1,

u u r

u r u u r u r u u r | n1 gn2 | r u u r , 所以 cos ? n1 , n2 ?? u | n1 | ? | n2 |

2t ? 2 ), t
E

z F P

A

D y

?

2 (?2) 2 ? 1 ? ( 2t ? 2 2 ) t

?

6 3

B x C

解得 t ?

2 ,或 t ? 2 (舍) . 3

此时 | PF |?

5 . 3

??????12 分

19.(本小题满分 12 分) 解: (1)设 x ? [?1,0] ,则 ? x ?[0,1] ,因为 f ( x) 定义 x ? [?1,1] 在偶函数, 所以 f ( x) ? f (? x) = ? x ? 2 2 ? x 。 所以 f ( x) ? ?

x ? [0,1] x ? [?1, 0] ? ?? x ? 2 2 ? x
? ?x ? 2 2 ? x

??????5 分

(2)因为对任意 x1 , x 2 ? [?1,1] ,都有 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) 成立, 所以 f ( x) max ? g ( x) min ??????6 分

又因为 f ( x) 是定义在 [?1,1] 上的偶函数,所以 f ( x) 在区间 [?1, 0] 和区间 [0,1] 上的值 域相同。 当 x ? [0,1] 时 f ( x) ? x ? 2 2 ? x ,设 t ?
2 函数化为 y ? 2 ? t ? 2t 则 f ( x) max ? 3

2 ? x ,则 t ?[1, 2] ,
??????9 分
-8-

又 g ( x) min ? ?3a ? 6 所以 ?3a ? 6 ? 3 ? a ? 1 故 a 的取值范围为(0,1) 20.(本小题满分 13 分) 解: (1)当 n≥2 时,由 an?1 ? 2Sn ? 2 ,得 an ? 2Sn?1 ? 2 , 两 式 相 减 得 an?1 ? an ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an , 故 ??????12 分

an ?1 ? 3(n ? 2) , 当 n ? 1 时 , an

a2 ? 2S1 ? 2 ? 2a1 ? 2 ? 6 ,此时

a2 ?3, a1

故当 n ? 1时,

a n ?1 ? 3 ,则数列 ?an ?是首项为 2,公比为 3 的等比数列, an
??????4 分 (没有检验当 n ? 1 时扣 1 分) ??????8 分

∴ an ? 2 ? 3n?1 . (2) bn ?

n n n n n . ? ? ? ? n ?1 n ?1 an an ? 2 2?3 2?3 2 ? 3n

1 1 2 n ( ? 2 ? ... ? n ) . 2 3 3 3 1 2 3 n 2 1 2 3 n 则 2Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n . ①,则 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ?1 . ② 3 3 3 3 3 3 3 3 3
所以 Tn ? 则①-②得:

1 1 [1 ? ( ) n ] 4 1 1 1 1 n 3 ? n ? 1 ? 2n ? 3 . Tn ? ? 2 ? 3 ? ... ? n ? n?1 ? 3 1 3 3 3 3 3 3 3n ?1 2 2 ? 3n?1 1? 3 3 2n ? 3 所以 Tn ? ? ??????8 分 8 8 ? 3n 1 1 1 1 (3) 由(2)知 cn ? ? ( ? ) ,所以 2 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
Rn ? 1? 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? 2? 3 3 5 ?( 1 1 ? n ? )? ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 2n ? 1
.........11 分

m 2 1 k ) ? ( ) 2m ? 1 3 2k ? 1 6 6 3 ?2m 2 ? 4m ? 1 可得 ? ? m ? 1? ? 0 ,??2m 2 ? 4m ? 1 ? 0 ,从而 1 ? 2 2 2 k m * 又 m ? N , m ? 1 得 m ? 2 ,此时 k ? 12
假设存在正整数 m, k (1 ? m ? k ) ),使得 R1 , Rm , Rk 成等比,则 (
-9-

即当 m ? 2 , k ? 12 时 R1 , Rm , Rk 成等比数列。

..........13 分

21.(本小题满分 14 分) 解: (1)由已知得: f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

a ,且函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值 1? x

∴ f ?(0) ?

1

?1 ? 0 ?

2

?

a ? 0 ,即 a ? 1 1? 0
??????2 分

∴ f ( x) ?

x ? ln(1 ? x), 1? x

∴ f ?( x) ?

1

?1 ? x ?

2

?

1 ?x ? 1 ? x ?1 ? x ?2

当 x ? ? ?1, 0 ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; 当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; ∴函数 f ( x) 的最大值为 f (0) ? 0 (2)由已知得: g ?( x) ? ??????4 分

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

①若 b ? 1 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ②若 b ? 0 ,则 x ? ? 0, ?? ? 时, g ?( x) ?

1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ? 0, ?? ? 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立; ③若 0 ? b ? 1 ,则 g ?( x) ? 当 x ? ? 0,

1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

? 1 ? ? 1 ? ? 1? 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 ?0, ? 1? 上为增函数, ? b ? ? b ?

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 , ∴不能使 g ( x) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立;
- 10 -

综上所述, b 的取值范围是 x ? ?1, ?? ? (3)由(1) 、 (2)得:

??????9 分

x ? ln(1 ? x) ? x( x ? 0) 1? x 1 1 1 1 取 x ? 得: ? ln(1 ? ) ? . n 1? n n n
令 xn ?

??????11 分

?k
k ?1

n

2

k ? ln n , ?1

则 x1 ?

n 1 ? n 1 1 1 ? ? ln ?1 ? ? ?? 2 ? 0. , xn ? xn ?1 ? 2 ?? 2 n ?1 2 ? n ?1 ? n ?1 n ? n ? 1? n
1 . 2
n ?1

因此 xn ? xn ?1 ? ??? ? x1 ? 又 ln n ?
n
n

?? ?ln k ? ln ? k ? 1? ? ? ? ln1 ? ? ln ?1 ? k ? , ? ?
k ?2 k ?1

?

1?

故 xn ?

n ?1 k n ? 1 ? n ?1 ? k ? 1 ?? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 2 2 ? k ? k ?1 ? k ? 1 ? k ?? n ? 1 k ?1 k ? 1 k ?1

n ?1 n ?1 n ?1 1? 1 1 1 ? k ? ?? 2 ? ? ? ?? 2 ?? ? ?1 ? ? ?1 ??????14 分 k? n k ?1 ? k ? 1 k ?1 ? k ? 1? k k ?1 ? k ? 1? k

- 11 -


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