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江苏专用2018高考数学一轮复习第十章算法统计与概率第52课随机抽样教师用书


第 52 课
[最新考纲] 内容 抽样方法

随机抽样
要求 A √ B C

1.简单随机抽样 (1)定义: 从个体数为 N 的总体中逐个不放回地取出 n 个个体作为样本(n<N), 如果每个 个体都有相同的机会被取到,那么这样的抽样方法称为简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:抽签法和随机数表法. 2.系统抽样 (1)定义:将总体平均分成几个部分,然后按照一定的规则,从每个部分中抽取一个个 体作为样本,这样的抽样方法称为系统抽样. (2)假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,系统抽样的步骤为: ①采用随机的方式将总体中的 N 个个体编号. ②将编号按间隔 k 分段,当 是整数时,取 k= ;当 不是整数时,从总体中剔除一些 个体,使剩下的总体中个体的个数 N′能被 n 整除,这时取 k= 号; (3)在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号 l; (4)按照一定的规则抽取样本,通常将编号为 l,l+k,l+2k,?,l+(n-1)k 的个体 抽出. 3.分层抽样 (1)定义:一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总 体情况, 我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分, 然后按各个 部分在总体中所占的比实施抽样, 这种抽样方法叫分层抽样, 所分成的各个部分称为“层”. (2)分层抽样的步骤是: ①将总体按一定标准分层; ②计算各层的个体数与总体的个体数的比; ③按各层个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量;
1

N n

N n

N n

N′ ,并将剩下的总体重新编 n

④在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样). (3)分层抽样的应用范围: 当总体由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样,与先后有关.( (2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.( ) )

(3)要从 1 002 个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为 20 的样本, 需要剔除 2 个学 生,这样对被剔除者不公平.( ) )

(4)分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.( [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.(教材改编)在“世界读书日”前夕,为了了解某地 5 000 名居民某天的阅读时间, 从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5 000 名居民的阅读时间 的全体是________. 总体 [从 5 000 名居民某天的阅读时间中抽取 200 名居民的阅读时间, 样本容量是 200, 抽取的 200 名居民的阅读时间是一个样本,每名居民的阅读时间就是一个个体,5 000 名居 民的阅读时间的全体是总体.] 3.(2015·广东高考改编)为了解 1 000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从 中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为________. 25 1 000 [根据系统抽样的特点分段间隔为 =25.] 40

4.(2015·四川高考改编)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的 学生视力是否存在显著差异, 拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查, 则最合 理的抽样方法是________. 分层抽样法 [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法.] 5.(2017·徐州模拟)某校高一年级有 900 名学生,其中女生 400 名,按男女比例用分 层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本,则应抽取的男生人数为 ________. 25 45 x [设男生抽取 x 人,则有 = ,解得 x=25.] 900 900-400

简单随机抽样

2

(1)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________.(填序号) ①盒子里共有 80 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意 拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里; ②从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验; ③某班有 56 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛. (2)总体由编号为 01,02,?,19,20 的 20 个个体组成,利用下面的随机数表选取 5 个 个体, 选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字, 则选出来的第 5 个个体的编号为________. 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0762 3623 4369 4869 9728 6938 0198 7481

(1)①②③ (2)01

[(1)①②③中都不是简单随机抽样,这是因为:①是放回抽样,②

中是“一次性”抽取,而不是“逐个”抽取,③中“指定个子最高的 5 名同学”,不存在随 机性,不是等可能抽样. (2)由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的 5 个个体是 08,02,14,07,01,所以第 5 个个体的编号是 01.] [规律方法] 1.简单随机抽样是从含有 N(有限)个个体的总体中,逐个不放回地抽取样 本,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等. 2.(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是制签是否方便;二是号签是否易 搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法. (2)随机数法适用于总体中个体数较多的情形.其中随机数表法的操作要点:编号,选 起始数,读数,获取样本. [变式训练 1] 下面的抽样方法是简单随机抽样的为________. ①在某年明信片销售活动中, 规定每 100 万张为一个开奖组, 通过随机抽取的方式确定 号码的后四位为 2709 的为三等奖; ②某车间包装一种产品,在自动包装的传送带上,每隔 30 分钟抽一包产品,称其重量 是否合格; ③某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取 2 人、14 人、4 人了解对学校机构改 革的意见; ④用抽签方法从 10 件产品中选取 3 件进行质量检验. ④ [①,②选项中为系统抽样,③为分层抽样.] 系统抽样及其应用 (1)(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟) 的茎叶图如图 52?1 所示.
3

图 52?1 若将运动员按成绩由好到差编为 1~35 号, 再用系统抽样方法从中抽取 7 人, 则其中成 绩在区间[139,151]上的运动员人数是________. (2)从编号为 0,1,2, ?, 79 的 80 件产品中, 采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的样本, 若编号为 28 的产品在样本中,则该样本中产品的最大编号为________. (1)4 (2)76 [(1)抽样间隔为 35÷7=5,因此可将编号为 1~35 的 35 个数据分成 7

组,每组有 5 个数据,在区间[139,151]上共有 20 个数据,分在 4 个小组中,每组取 1 人, 共取 4 人. 80 (2)由系统抽样知,抽样间隔 k= =16, 5 因为样本中含编号为 28 的产品, 则与之相邻的产品编号为 12 和 44. 故所取出的 5 个编号依次为 12,28,44,60,76,即最大编号为 76.] [规律方法] 1.如果总体容量 N 能被样本容量 n 整除,则抽样间隔为 k= ,否则,可 随机地从总体中剔除余数,然后按系统抽样的方法抽样.特别注意,每个个体被抽到的机会 均是 . 2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列,首项就是第 1 组所抽取 样本的号码, 公差为间隔数, 根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本 号码. [变式训练 2] (1)为规范学校办学, 某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查. 抽 到的班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本, 已知 7 号、 33 号、 46 号同学在样本中, 那么样本中还有一位同学的编号应是________. (2) 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,?,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中, 编号落入区间[1,450]的人做问卷 A,编号落入区间[451,750]的人做问卷 B,其余的人做问 卷 C.则抽到的人中,做问卷 B 的人数为________. 【导学号:62172288】 (1)20 (2)10 52 [(1)由系统抽样的原理知抽样的间隔为 =13, 故抽取的样本的编号分 4

N n

n N

4

别为 7,7+13,7+13×2,7+13×3,即抽取的编号为 7,20,33,46. 960 750-451+1 (2)抽取号码的间隔为 =30,落入区间[451,750]的“段”数有 =10. 32 30 故做问卷 B 的应有 10 人.] 分层抽样及应用 (1)(2015·北京高考改编)某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分 层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有 320 人,则该样本中的老 年教师有________人. 类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计 人数 900 1 800 1 600 4 300

(2)某中学有高中生 3 500 人,初中生 1 500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样 的方法从该校学生中抽取一个容量为 n 的样本, 已知从高中生中抽取 70 人, 则 n 为________. (1)180 (2)100 [(1)设该样本中的老年教师人数为 x,由题意及分层抽样的特点得

320 = ,故 x=180. 900 1 600 (2)法一:由题意可得 70 3 500 = ,解得 n=100. n-70 1 500 70 1 1 = , 总体容量为 3 500+1 500=5 000, 故 n=5 000× 3 500 50 50

x

法二: 由题意, 抽样比为 =100.]

[规律方法] 1.分层抽样中分多少层,如何分层要视具体情况而定,总的原则是:层内 样本的差异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠. 2.为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的,这就要求各层所抽取的个体数与该层 所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比,即 ni∶Ni=n∶N.分层抽样的有关 计算,转化为按比例列方程或算式求解. [变式训练 3] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4 800 件,采用分层抽样的方法从 中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测. 若样本中有 50 件产品由甲设备生产, 则乙设备 生产的产品总数为________件. 【导学号:62172289】 1 800 [由题设,抽样比为 80 1 = . 4 800 60

设甲设备生产的产品为 x 件,则 =50,∴x=3 000. 60 故乙设备生产的产品总数为 4 800-3 000=1 800.]
5

x

[思想与方法] 1. 三种抽样方法的共同点都是等概率抽样, 即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等, 体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为 n,总体容量为 N,每个个体被抽 到的概率是 . 2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列. 3.分层抽样:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;分层后,在每一层抽样时 可采用简单随机抽样或系统抽样. [易错与防范] 1.简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取,是不放回抽样. 2.系统抽样中,易忽视抽取的样本数也就是分段的段数,当 不是整数时,注意剔除, 剔除的个体是随机的. 3.分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的. 课时分层训练(五十二) A 组 基础达标 (建议用时:30 分钟) 1.为了了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行 调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女 生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 ________. 按学段分层抽样 [不同的学段在视力状况上有所差异, 所以应该按照学段分层抽样. ]

n N

N n

6

2. 从编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射试验, 若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是 ________.(填序号) 【导学号:62172290】 ①5,10,15,20,25;②3,13,23,33,43;③1,2,3,4,5;④2,4,6,16,32. ② [间隔距离为 10,故可能编号是 3,13,23,33,43.]

3. 某工厂甲、 乙、 丙三个车间生产了同一种产品, 数量分别为 120 件, 80 件, 60 件. 为 了解它们的产品质量是否存在显著差异, 用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调 查,其中从丙车间的产品中抽取了 3 件,则 n=________. 13 3 n [依题意得 = ,故 n=13.] 60 120+80+60

4.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分 层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则 p1,

p2,p3 的大小关系为________. p1=p2=p3 [由于三种抽样过程中,每个个体被抽到的概率都是相等的,因此 p1=p2= p3.]
5.将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002,?,999,从中抽取一个 容量为 50 的样本, 按系统抽样的方法分为 50 组, 如果第一组编号为 000,001,002, ?, 019, 且第一组随机抽取的编号为 015,则抽取的第 35 个编号为________. 【导学号:62172291】 695 [由题意可知,第一组随机抽取的编号 a1=15,

N 1 000 分段间隔数 k= = =20,则抽取的第 35 个编号为 a35=15+(35-1)×20=695.] n 50
6.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有 学生 2 000 名,抽取了一个容量为 200 的样本,已知样本中女生比男生少 6 人,则该校共有 女生________人. 970 [由题意可知抽样比为 200 1 = , 2 000 10

设样本中女生有 x 人,则 x+(x+6)=200, 所以 x=97,该校共有女生 97 =970 人.] 1 10

7.(2017·南京模拟)某大学为了了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟 采用分层抽样的方法, 从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查, 已 知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4∶5∶5∶6,则应从一年级 本科生中抽取________名学生. 60 4 [根据题意,应从一年级本科生中抽取的人数为 ×300=60.] 4+5+5+6
7

8.利用简单随机抽样,从 n 个个体中抽取一个容量为 10 的样本.若第二次抽取时,余 1 下的每个个体被抽到的概率为 , 则在整个抽样过程中, 每个个体被抽到的概率为________. 3 5 14 [根据题意, 9

n-1 3

1 10 5 = ,解得 n=28.故每个个体被抽到的概率为 = .] 28 14

9. (2017·扬州模拟)用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 160 名学 生从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若 第 16 组抽出的号码为 123, 则第 2 组中应抽出个体的号码是________. 【导学号: 62172292】 11 [由题意可知,系统抽样的组数为 20,间隔为 8,设第 1 组抽出的号码为 x,则由

系统抽样的法则可知,第 n 组抽出个体的号码应该为 x+(n-1)×8,所以第 16 组应抽出的 号码为 x+(16-1)×8=123,解得 x=3,所以第 2 组中应抽出个体的号码为 3+(2-1)×8 =11.] 10.央视春晚直播不到 20 天的时候,某媒体报道,由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》 节目被毙,为此,某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查,得到如下数据: 网民态度 人数(单位:人) 支持 8 000 反对 6 000 无所谓 10 000

若采用分层抽样的方法从中抽取 48 人进行座谈,则持“支持”态度的网民抽取的人数 为________. 16 8 000 1 [持“支持”态度的网民抽取的人数为 48× =48× =16.] 8 000+6 000+10 000 3

11.某中学初中部共有 110 名教师,高中部共有 150 名教师,其性别比例如图 52?2 所 示,则该校女教师的人数为________人.

图 52?2 137 [初中部的女教师人数为 110×70%=77,高中部的女教师人数为 150×(1-60%)

=60,该校女教师的人数为 77+60=137.] 12.(2017·泰州期末)某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层 抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人, 那么 n=________. 200 [由分层抽样的特点可知:

100 n = ,即 n=200.] 800 200+800+600 B 组 能力提升
8

(建议用时:15 分钟) 1.(2017·常州期末)某地区有高中学校 10 所,初中学校 30 所,小学学校 60 所,现采 用分层抽样的方法从这些学校中抽取 20 所学校对学生进行体质健康检查,则应抽取初中学 校________所. 6 [由分层抽样的特点可知初中学校应抽取 20× 30 =6(所).] 10+30+60

2.某工厂的三个车间在 12 月份共生产了 3 600 双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质 量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为 a,b,

c,且 a,b,c 均成等差数列,则第二车间生产的产品数为________.
1 200 [因为 a,b,c 成等差数列,

所以 2b=a+c, 所以

a+b+c
3

1 =b,所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的 .根据分层抽样的性 3

1 1 质,可知第二车间生产的产品数占总数的 ,即为 ×3 600=1 200.] 3 3 3.(2017·苏州模拟)将参加夏令营的 600 名学生编号为 001,002,?,600,采用系统 抽样方法抽取一个容量为 50 的样本,且随机抽得的号码为 003.这 600 名学生分住在三个营 区, 从 001 到 300 住在第Ⅰ营区, 从 301 到 495 住在第Ⅱ营区, 从 496 到 600 住在第Ⅲ营区, 三个营区被抽中的人数依次为________. 600 25,17,8 [由系统抽样的特点知,从号码 003 开始每间隔 =12 人抽出 1 个, 50 设抽出的第 n 个号码为 an,则 an=3+12(n-1), 由 an≤300 知 n≤25;由 an≤495 知 n≤42, 所以第Ⅰ营区被抽取的人数为 25,第Ⅱ营区被抽取的人数为 42-25=17,第Ⅲ营区被 抽取的人数为 50-42=8.] 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽 样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二 年级的学生中应抽取________人. 8 [设样本容量为 N,则 N× 30 =6,∴N=14, 70

40 ∴高二年级所抽学生人数为 14× =8.] 70 5.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中学学 生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中 生近视人数分别为________,________.

9

① 图 52?3 200 20



[易知,样本容量为(3 500+4 500+2 000)×2%=200.

又样本中高中学生共有 2 000×2%=40(人). 利用图②知,高中学生的近视率为 50%. 因此所抽样本中高中学生的近视人数为 40×50%=20(人).] 6.(2017·无锡模拟)一个总体中有 90 个个体,随机编号 0,1,2,?,89,依从小到大 的编号顺序平均分成 9 个小组,组号依次为 1,2,3,?,9.现用系统抽样方法抽取一个容量 为 9 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字 与 m+k 的个位数字相同,若 m=8,则在第 8 组中抽取的号码是________. 76 [由题意知,m=8,k=8,则 m+k=16,也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6,

十位数字为 8-1=7,故抽取的号码为 76.]

10


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