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大一上学期(第一学期)高数期末考试题


大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1. 设f ( x) ? cos x( x ? sinx ),则在x ? 0处有( (A) f ?(0) ? 2 2.
设? ( x ) ?
  ).

(B) f ?(0) ? 1(C) f ?(0) ? 0

(D) f ( x ) 不可导.

1? x ,? ( x ) ? 3 ? 33 x,则当x ? 1时(   ) 1? x .

( A ) ? ( x)与? ( x) 是同阶无穷小,但不是等价无穷小;
? ( x)与? ( x) 是等价无穷小;

(B)

(C)? ( x) 是比 ? ( x) 高阶的无穷小; 高阶的无穷小. 3. 若
F ( x) ? ? (2t ? x) f (t )dt
0 x

(D)? ( x) 是比 ? ( x)

,其中 f ( x ) 在区间上 (?1,1) 二阶可导且

f ?( x ) ? 0 ,则(

).

(A)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极大值; (B)函数 F ( x) 必在 x ? 0 处取得极小值; (C)函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值,但点 (0, F (0)) 为曲线 y ? F ( x) 的 拐点; (D) 函数 F ( x) 在 x ? 0 处没有极值, 点 (0, F (0)) 也不是曲线 y ? F ( x) 的拐点。 4.
设f ( x )是连续函数,且 f ( x ) ? x ? 2? f (t )dt , 则 f ( x ) ? (
0 1

)

x2 (A) 2

x2 ?2 (B) 2 (C) x ? 1
2

(D) x ? 2 .

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 5. 6.
lim (1 ? 3 x ) sin x ?
x ?0

.
则? f ( x ) ? cos x dx ? x

已知

cos x 是 f ( x ) 的一个原函数, x

.
n ??

7.

lim

?
n

(cos 2

?
n

? cos 2

2? n ?1 ? ? ? cos 2 ?) ? n n

.

8.

1 - 2

?

1 2

x 2 arcsinx ? 1 1 ? x2

dx ?

.

三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) x? y ( ? ) 确 1 定 , 求 y?( x ) 以 及 9. 设 函 数 y ? y( x ) 由 方 程 e ? s i n xy y ?( 0 ) . 10.
求? 1 ? x7 dx . x(1 ? x 7 )

?x ? 1 ? xe ,  x ? 0 设f ( x ) ? ?  求 ? f ( x )dx . ?3 2 ? 2 x ? x , 0 ? x ? 1 ? 11.

0 12. 设函数 f ( x ) 连续, ,且 x ?0 数. 求 g?( x ) 并讨论 g?( x ) 在 x ? 0 处的连续性.

g( x ) ? ? f ( xt )dt

1

lim

f ( x) ?A x , A 为常

13. 求微分方程 xy? ? 2 y ? x ln x 满足 四、 解答题(本大题 10 分)

y (1) ? ?

1 9 的解.

14. 已知上半平面内一曲线 y ? y( x ) ( x ? 0) ,过点 (0,1) ,且曲线上任 一点 M ( x0 , y0 ) 处切线斜率数值上等于此曲线与 x 轴、 y 轴、直线
x ? x0 所围成面积的

2 倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程.

五、解答题(本大题 10 分) 15. 过坐标原点作曲线 y ? l n x 的切线, 该切线与曲线 y ? l n x 及 x 轴围成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A;(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转 体的体积 V. 六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 8 分) 16. 设函数 f ( x ) 在 ?0,1? 上连续且单调递减,证明对任意的 q ?[0, 1] ,
q 1

? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
0 0

.

17. 设 函 数 f ( x ) 在 ?0, ? ? 上 连 续 , 且

?
0

?

f ( x) d x ? 0



?
0

?

f ( x ) cos x dx ? 0

. 证明:在 ?0, ? ? 内至少存在两个不同的点
F ( x) ?

? 1 , ? 2 ,使 f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0. (提示:设

? f ( x )dx
0

x



解答 一、单项选择题(本大题有 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 5.
e
6

1 cos x 2  ( ) ?c . 6. 2 x .7.

? 2.

?

8.

3

.

三、解答题(本大题有 5 小题,每小题 8 分,共 40 分) 9. 解:方程两边求导
e x ? y (1 ? y?) ? cos( xy)( xy? ? y) ? 0

e x ? y ? y cos( xy ) e x ? y ? x cos( xy ) x ? 0, y ? 0 , y?(0) ? ?1 y?( x ) ? ?
7 7 x 6dx ? du 10. 解: u ? x   

原式 ?

1 (1 ? u) 1 1 2 du ? ? ( ? )du ? 7 u(1 ? u) 7 u u?1 1 ? (ln | u | ?2 ln | u ? 1 |) ? c 7 1 2 ? ln | x 7 | ? ln | 1 ? x 7 | ? C 7 7
1 ?3

11. 解: ?

f ( x )dx ? ? xe ? x dx ? ?
?3 0 1 ?3 0

0

1

0

2 x ? x 2 dx

? ? xd (?e ? x ) ? ?
0

1 ? ( x ? 1)2 dx
0 ? 2

?x ?x 2 ?? (令x ? 1 ? sin ? ) ? ? xe ? e ? ? ?3 ? ? ? cos ? d?  

?

?
4

? 2e 3 ? 1

12. 解:由 f (0) ? 0 ,知 g(0) ? 0 。

g( x ) ? ? f ( xt )dt ?
0
x

1

xt ? u

? f (u)du
0

x

x
( x ? 0)

(x ? 0 )

g ?( x ) ?

xf ( x ) ? ? f ( u)du
0

x2

g?(0) ? lim
x ?0

? f (u)du
0

x

x

2

? lim
x ?0 x

f ( x) A ? 2x 2 ? A? A A ? 2 2 , g?( x ) 在 x ? 0 处连续。

lim g?( x ) ? lim
x ?0 x ?0

xf ( x ) ? ? f ( u)du x
0 2

dy 2 ? y ? ln x 13. 解: dx x
? dx dx y ? e ? x ( ? e ? x ln xdx ? C ) 2 2

1 1 x ln x ? x ? Cx ?2 3 9 1 1 1 y ? x ln x ? x y(1) ? ? , C ? 0 3 9 9 , ?

四、 解答题(本大题 10 分) 14. 解:由已知且
y? ? 2? y d x ? y
0 x



将此方程关于 x 求导得 y?? ? 2 y ? y?
2 特征方程: r ? r ? 2 ? 0 解出特征根: r1 ? ?1, r2 ? 2.

?x 2x 其通解为 y ? C1e ? C 2 e

代入初始条件 y(0) ? y ?(0) ? 1,得 故所求曲线方程为:
y?

C1 ?

2 1 , C2 ? 3 3

2 ?x 1 2x e ? e 3 3

五、解答题(本大题 10 分) 15. 解 : ( 1 ) 根 据 题 意 , 先 设 切 点 为 ( x0 , ln x0 ) , 切 线 方 程 :
y ? ln x 0 ? 1 ( x ? x0 ) x0
y? 1 x e

由于切线过原点,解出 x 0 ? e ,从而切线方程为:

则平面图形面积

A ? ? (e y ? ey)dy ?
0

1

1 e ?1 2
V1 ? 1 ? e2 3

(2)三角形绕直线 x = e 一周所得圆锥体体积记为 V1,则 旋转体体积为 V2
V2 ? ? ? (e ? e y ) 2 dy
0 1

曲线 y ? ln x 与 x 轴及直线 x = e 所围成的图形绕直线 x = e 一周所得

D

绕 直 线
?
6
q

x = e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积
(5e 2 ? 12e ? 3)

V ? V1 ? V2 ?

六、证明题(本大题有 2 小题,每小题 4 分,共 12 分) 16. 证明: 0
q 0

?

f ( x) d x ? q ? f ( x)dx ? ? f ( x) d x ? q( ? f ( x) d x ? ? f ( x)dx)
0
0 0 q 1

1

q

q

1

? (1 ? q) ? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
q

?1?[0, q ]?2 ?[ q ,1]

?

q(1 ? q) f (?1 ) ? q(1 ? q) f (?2 )
1

f (?1 ) ? f (?2 )

?

0

故有:

? f ( x) d x ? q ? f ( x)dx
0 0

q

证毕。
F ( x ) ? ? f (t )dt , 0 ? x ? ?
0 x

17,证:构造辅助函数:
?

。其满足在 [0, ? ] 上
?
0

连续,在 (0, ? ) 上可导。 F ?( x ) ? f ( x ) ,且 F (0) ? F (? ) ? 0 由题设,有
?

0 ? ? f ( x ) cos xdx ? ? cos xdF( x ) ? F ( x ) cos x | ? ? sinx ? F ( x )dx
0 0 0

?

?



有0

? F ( x) sinxdx ? 0

, 由积分中值定理, 存在 ? ? (0, ? ) , 使 F (? ) sin ? ? 0 即

F (? ) ? 0

综上可知 F (0) ? F (? ) ? F (? ) ? 0, ? ? (0, ? ) .在区间 [0, ? ] , [? , ? ] 上分别应用 罗 尔 , ? 1 ? (0, ? ) 和 ? 2 ? (? , ? ) , 使 F ?(? 1 ) ? 0 及 F ?(? 2 ) ? 0 , 即
f (? 1 ) ? f (? 2 ) ? 0 .


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