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福建省福州一中2013届高三下学期5月模拟考试数学(理)试题(word版)


福建省福州一中 2013 届高三下学期 5 月模拟考试数学(理) 试题(word 版)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 (满分 150 分 考试时间 120 分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中有且 只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.已知复数 z ?

i ( i 为虚数单位)则复数 z 在复平面对应的点位于 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限. D. 第四象限





A. 第一象限

9 5 2.等差数列 ?an ? 中, a1 ? ? , a3 ? ? ,则该数列前 n 项和 S n 取得最小值时 n 的值是 2 2
A.4 B.5 C.6 D.7 ( ( C. a ? b ? 1 D. a // b ( ) ) ) 3.若向量 a ? (2,0), b ? (1,1) ,则下列结论正确的是 A. (a ? b) ? b B. | a |?| b |

4. 下列有关命题的说法正确的是 A.若 p 且 q 为假命题,则 p , q 均为假命题 ; B. x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的必要不充分条件; “

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是: ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ” “ ;
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题.

5. 函数 f ( x) = ? 1

?ln | x | ( x ? 0) ? 的图像大致是 ( x ? 0) ?x ?

(

)

y

y

y

y

x
O A.

x

O B.

x
C.

O

x

O D.

6.关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题: ①若 m ∥ ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m ∥ n ; ②若 m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m ? ? , n ∥ ? 且 ? ∥ ? ,则 m ? n ; ④若 m ∥ ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ∥ n .

则其中真命题的是 A.①②
2

( B.③④ C.①④
2



D.②③

7.已知抛物线 x ? 4 3 y 的准线过双曲线

x ? y 2 ? ?1 的一个焦点,则双曲线的离心率为 2 m
( )

A.

3 2 4

B.

6 2

C. 3

D.

3 3
?

8.在 ?ABC 中, a, b, c 是角 A, B, C 的对边,若 a, b, c 成等比数列, A ? 60 ,则

b sin B ? c
( )

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.

3 4

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 9. 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 ? x ? 0, y ? 0, ?
1, 则

1 1 ? 的最小值为 a b 25 8 A. B. 6 3

( C.

)

11 3

D.4

10. 若对任意 x ? A, y ? B , A ?B , ? ( R R

) 有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应, 则称 f ( x, y )

为关于 x, y 的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x, y 的广义 “ 距 离 ” ( 1 ) 非 负 性 : f ( x, y) ? 0 , 当 且 仅 当 x ? y 时 取 等 号 ; 2 ) 对 称 性 : : ( (3)三角形不等式: f ( x, y) ? f ( x, z ) ? f ( z, y) 对任意的实数 z 均成 f ( x, y) ? f ( y, x) ; 立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x, y 的广义“距离”的序号:
2 ① f ( x, y ) ? x ? y ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y ) ?

x ? y .能够成为关于 x, y 的广义
( )

“距离”的是 A.① B.①② C.①②③ D. ①③

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题 卡的相应位置. ) 11.如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y ? x 2 和曲线
y? x 围成一个叶形图 (阴影部分) 向正方形 AOBC 内随机投一点 , (该

点 落 在 正 方 形 AOBC 内 任 何 一 点 是 等 可 能 的) 则 所 投的 点 落 在 叶 形 图 内 部 的概 率 , 是 . 12.随机抽取某中学甲、 乙两个班各 10 名同学, 测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图 1,在样本的 20 人中,记身高在[150,160),[160,170),[170,180),[180,190)的 人数依次为 A1 、A2 、A3 、A4 . 如图 2 是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图. 则 图乙输出的 S ? .(用数字作答)

?a 9 x? ? 的展开式中 x 3 的系数为 ,则常数 a 的值为 13.已知 ? ? ?x ? 4 2? ?
14.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0, ? ①它的周期为 ? ; ③它的图像关于 ?

9



?
2

?? ?

?
2

) ,给出以下四个结论:

②它的图像关于直线 x ?

?
12

对称;

?? ? ? ? ? , 0 ? 对称; ④在区间 ? ? , 0 ? 上是增函数。 ?3 ? ? 6 ?

以其中两个论断为条件,另两个论断作结论,写出你认为正确的一个命题: (注:填上你认为是正确的一种答案的序号即可) . 15.定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a , b ? ,则关于空间向量上述运算的 以下结论中, a ? b ? b ? a , ? (a ? b ? ?a ? b , (a ?b) ? ? ( ? )? ( ? ) ① ② ③ ) ( ) c a c b c ④若 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 . ,

恒成立的是

(填上你认为是正确的结论的序号) .

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答写在答题卡相应位置,应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 16. (本小题满分 13 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,锐角 ? 和钝角 ? 的终边分别与单位圆交于 A , B 两 点. (Ⅰ)若点 A 的横坐标是

3 12 ,点 B 的纵坐标是 ,求 sin(? ? ? ) 的值; 5 13
B

y A

??? ??? ? ? 63 (Ⅱ) 若 ?AOB 的面积为 ,且 ?AOB 为钝角. 求 OA ? OB 的值及 16
AB 的长.
17. (本小题满分 13 分) 某学校高一年级开设了 A, B, C, D, E 五门选修课. 为了培养学生的兴

O

x

趣爱好,要求每个学生必须参加且只能选修一门课程.假设某班甲、乙、丙三名学生对这五 门课程的选择是等可能的. (Ⅰ)求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法种数; (Ⅱ)求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率; (Ⅲ)设随机变量 X 为甲、乙、丙这三名学生参加 A 课程的人数,求 X 的分布列与数学期 望.

18. (本小题满分 13 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如下图所示, E 是侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (Ⅱ)是否不论点 E 在何位置,都有 BD ? AE ?证明你的结论; (Ⅲ)点 E 在什么位置时,二面角 D ? AE ? B 的大小为 120? ?

19. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,右焦点 F ? c, 0 ? (c ? 0) 到直线 2 a b 2

3x ? 4 y ? 12 ? 0 的距离为 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设过椭圆 C 的右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于点 A, B ,过点 B 作直线 x ? 4 的垂线, 垂足为 M .求证:直线 AM 恒过 x 轴上的一个定点.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx ,当 x ? 0 时,函数 f ( x) 取得极大值. (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)已知结论:若函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? mx 在区间 ? a , b ? 内导数都存在,且 a ? ?1 , 则存在 x0 ? ? a , b ? ,使得 f ?( x0 ) ? 若 ?1 ? x 1 ? x2 ,设函数 g ( x) ? 都有 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅲ)已知正数 ?1 , ?2 ,? , ?n ,满足 ?1 ? ?2 ? ? ? ?n ? 1 , 求证:当 n ? 2 , n ? N 时,对任意大于 ?1 ,且互不相等的实数 x1 , x2 ,? , xn ,都有
?

f (b) ? f (a) 。试用这个结论证明: b?a

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x ? x1 ) ? f ( x1 ) ,则对任意 x ? ( x1 , x2 ) , x1 ? x2

f (?1 x1 ? ?2 x2 ? ? ? ?n xn ) ? ?1 f ( x1 ) ? ?2 f ( x2 ) ? ? ? ?n f ( xn )

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 、 、 果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 变换 T 是将平面上每个点 M ( x, y ) 的横坐标乘 2 ,纵坐标乘 4 ,变到点 M ?(2 x, 4 y) . (Ⅰ)求变换 T 的矩阵; (Ⅱ)圆 C : x ? y ? 1 在变换 T 的作用下变成了什么图形?
2 2

(2)(本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,设直线 l 的参数方程是

? x ? ?3t ? 2 ( t 为参数) . ? ? y ? 4t
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的参数方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线 l 和曲线 C 的位置关系.

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知不等式 | 2 x ? a |? 3 的解集为 (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 x ? m ? a, 求证: x ? m ? 1 .

? ?1, 2? .


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