3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:4-2-2 圆与圆的位置关系


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第四章
圆的方程

第四章 圆的方程

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第四章
4.2 直线、圆的位置关系

第四章 圆的方程

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第四章
4.2.2 圆与圆的位置关系

第四章 圆的方程

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

课前自主预习

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

温故知新 1.圆与圆的位置关系
大于 (1)外离?圆心距______两圆半径长之和; 等于 (2)外切?圆心距______两圆半径长之和; 大于 (3)相交?圆心距_____两圆半径长之差的绝对值小于两圆

半径长之和;
等于 (4)内切?圆心距_____两圆半径长之差的绝对值; 小于 (5)内含?圆心距_____两圆半径长之差的绝对值.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

2.相切两圆的性质 相切两圆的连心线必经过____点. 切 3.相交两圆的性质
垂直平分 相交两圆的连心线____________两圆的公共弦.

4.两圆的公切线 和两个圆都相切的直线称为两圆的公切线,当两圆在公
外 切线的同侧时,公切线为___公切线;当两圆在公切线的两侧 内 时,公切线为___公切线.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

5.(2012· 重庆卷)对任意的实数k,直线y=kx+1与圆x2+ y2=2的位置关系一定是( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
[答案] C

)

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

圆心C(0,0)到直线kx-y+1=0的距离为d.d=

1 2≤1<r= 2. 1+k

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[考点定位] 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知 识有:两点间的距离公式,点与圆的位置关系,以及恒过定 点的直线方程,直线与圆的位置关系利用用d与r的大小来判 断,当0≤d<r时,直线与圆相交;当d=r时,直线与圆相切; 当d>r时,直线与圆相离.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

6.(2012~2013湖南浏阳望城高一上学期期末,9)圆P: x2+y2=5,则经过点M(-1,2)的切线方程为( A.x-2y-5=0 C.x+2y-5=0
[答案] D

)

B.x+2y+5=0 D.x-2y+5=0

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

新课引入

上图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过 程.可以用两个圆来表示变化过程.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

自主预习 阅读教材P129~130,回答下列问题. 1.判断圆与圆的位置关系 (1)几何法:
2 圆O1:(x-x1)2+(y-y1)2=r 1 (r1>0),圆O2:(x-x2)2+(y-

y2)2=r2(r2>0), 2 两圆的圆心距d=|O1O2|= ?x1-x2?2+?y1-y2?2, 则有:

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

(2)代数法:圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆O2:x2+ y2+D2x+E2y+F2=0,两圆的方程联立得方程组,则有:

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

圆x2+y2=1与圆x2+y2=2的位置关系是( A.相切 C.内含 B.外离 D.相交

)

[答案] C

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

圆x2+y2=1的圆心O1(0,0),半径r1=1,圆x2+y2

=2的圆心O2(0,0),半径r2= 2, 则d=|O1O2|=0,|r2-r1|= 2-1, ∴d<|r2-r1|,∴这两圆的位置关系是内含.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

圆x2+y2=4与圆(x-4)2+(y-7)2=1的位置关系是( A.相交 C.内切 B.外切 D.外离

)

[答案] D

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

圆x2+y2=4的圆心O1(0,0),半径r1=2,圆(x-4)2

+(y-7)2=1的圆心O2(4,7),半径r2=1,则d=|O1O2|= ?4-0?2+?7-0?2= 65>r1+r2=3. ∴这两圆的位置关系是外离.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[拓展]若两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0;C2:x2+y2 +D2x+E2y+F2=0相交时,则公共弦所在的直线方程为:(D1 -D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. 2.圆系方程 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系.常用的圆系有 以下几个: (1)圆心为定点(a,b)的同心圆系方程为(x-a)2+(y-b)2= r2,其中a,b为定值,r是参数.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

(2)半径为定值r的圆系方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其中 a,b为参数,r>0是定值. (3)过圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线Ax+By+C=0 的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ ∈R). (4)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2:x2+y2+ D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+ λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1,λ∈R),此圆系中不含圆 C2 .
第四章 4.2 4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

圆系方程表示的是满足某些条件的圆的集合,在处理有 关问题时,利用圆系可使问题得到简化.同心圆系中半径变 化,可得圆心相同的一系列的圆;在方程(x-a)2+(y-b)2=r2 中,a,b变化,就得到半径相等的一系列的圆;而过直线与 圆的交点的圆系方程是常用的.在过两圆交点的圆系方程x2+ y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1,λ∈ R)中,要注意参数λ的取值以及此方程不能包括第二个圆,但 可以包括第一个圆(λ=0).

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

对于过两已知圆交点的圆系方程,当λ=-1时,得到(D1 -D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0,此为两圆公共弦所在的直线 方程.因此,如果两圆相交,两圆的方程相减就得到两圆公 共弦所在的直线方程. 由此可推广:经过两曲线f(x,y)=0,g(x,y)=0交点的曲 线系方程为f(x,y)+λg(x,y)=0.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

思路方法技巧

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

两圆的位置关系
学法指导 方法一:几何法

求圆C1、圆C2的半径r1、r2→求|C1C2|→ 比较|C1C2|与|r1-r2|、r1+r2的大小关系→结果 方法二:代数法 联立圆C1、圆C2的方程→整理成关于x(或 y)的一元二次方程→求判别式Δ→判断Δ的符号→结果

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[例1]

已知两圆C1:x2+y2+4x+4y-2=0,C2:x2+y2

-2x-8y-8=0,判断圆C1与圆C2的位置关系.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

解法一:把圆C1的方程化为标准方程,得(x+2)2

+(y+2)2=10.圆C1的圆心坐标为(-2,-2),半径r1= 10. 把圆C2的方程化为标准方程,得(x-1)2+(y-4)2=25.圆 C2的圆心坐标为(1,4),半径r2=5. 圆C1和圆C2的连心线的长为 ?-2-1?2+?-2-4?2 =

3 5 ,圆C1与圆C2的两半径之和是r1+r2=5+ 10 ,两半径之 差是r2-r1=5- 10.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

而5- 10<3 5<5+ 10, 即r2-r1<3 5<r1+r2. 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点,即两圆是相交的位 置关系. 解法二:将两圆的方程联立得
?x2+y2+4x+4y-2=0,① ? ? 2 ?x +y2-2x-8y-8=0,② ?

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

由①-②得x+2y+1=0. ③ 由③得x=-2y-1,把此式代入①,并整理得y2-1=0, ④ 方程④的判别式Δ=02-4×1×(-1)=4>0, 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点,即两圆是相交的位置 关系.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:利用几何法判断两圆的位置关系,直观,容 易理解,但不能求出交点坐标;利用代数法判断两圆的位置 关系,不能准确地判断位置关系(如Δ=0仅能说明两圆只有一 个公共点,但确定不了是内切还是外切;Δ<0仅能说明两圆没 有公共点,但确定不了是外离还是内含,所以必须借助于图 形).

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0 的位置关系是( )

A.相离 B.相切 C.相交 D.内含
[答案] C

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

解法一:(几何法)

把两圆的方程分别配方,化为标准方程是(x-1)2+y2= 4, (x-2)2+(y+1)2=2,所以两圆圆心为C1(1,0),C2(2,- 1),半径为r1=2,r2= ?1-2?2+?0+1?2= 2, r1+r2=2+ 2,r1-r2=2- 2,故r1-r2<|C1C2|<r1+r2, 两圆相交. 2 ,则连心线的长|C1C2|=

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

解法二:(代数法)
?x2+y2-2x-3=0, ? 联立方程? 2 2 ?x +y -4x+2y+3=0, ? ?x =1, ? 1 ? ?y1=-2, ? ?x =3, ? 2 ? ?y2=0, ?

解得

即方程组有2组解,也就是说

两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:判断两圆位置关系的方法有两种,一是代数 法,看方程组的解的个数,但往往较繁琐;二是几何法,看 两圆连心线的长d,若d=r1+r2,两圆外切;d=|r1-r2|时,两 圆内切;d>r1+r2时,两圆外离;d<|r1-r2|时,两圆内含;|r1 -r2|<d<r1+r2时,两圆相交.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

两圆的公共弦问题
学法指导 两圆相交应注意以下几点:

(1)当两圆的圆心连线长介于两圆的半径差的绝对值与 半径和之间时,两圆相交; (2)两圆相交时,公切线有两条; (3)求解两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程 作差消去二次项即可; (4)两圆的圆心所在的直线垂直平分公共弦.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[例2] 2y-8=0.

已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+

(1)试判断两圆的位置关系; (2)求公共弦所在的直线方程; (3)求公共弦的长度.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

(1)将两圆方程配方化为标准方程,

C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10. 则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5 2; 圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2= 10. 又|C1C2|=2 5,r1+r2=5 2+ 10,r1-r2=5 2- 10. ∴r1-r2<|C1C2|<r1+r2,∴两圆相交. (2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4 =0.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

(3)方法一:两方程联立,得方程组
?x2+y2-2x+10y-24=0 ① ? ? 2 ?x +y2+2x+2y-8=0 ② ?

两式相减得x=2y-4 ∴y1=0,y2=2.
?x =-4, ? 1 ∴? ?y1=0 ?

③,把③代入②得y2-2y=0,

?x =0, ? 2 或? ?y2=2, ?

∴交点坐标为(-4,0)和(0,2). ∴两圆的公共弦长为 ?-4-0?2+?0-2?2=2 5.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

方法二:两方程联立,得方程组
?x2+y2-2x+10y-24=0, ? ? 2 ?x +y2+2x+2y-8=0. ?

两式相减得x-2y+4=0,即两圆相交弦所在直线的方 程; 由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50, 其圆心为C1(1,-5),半径r1=5 2. 圆心C1到直线x-2y+4=0的距离 |1-2×?-5?+4| d= =3 5, 2 1+?-2? ∴两圆的公共弦长为2 r2-d2=2 50-45=2 5.
第四章 4.2 4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:(1)两圆的公共弦所在直线方程及长度求解 步骤 ①两圆的方程作差,求出公共弦所在直线方程; ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离; ③利用勾股定理求出半弦长,即得公共弦长. (2)两圆圆心的连线垂直平分两圆的公共弦. (3)两圆的公共弦长的求解转化为其中一个圆的弦长的求 解.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2:x2+y2+12x+ 16y-25=0的公共弦所在的直线方程是________,公共弦长 为________.
[答案] 4x+3y-2=0 10

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

已知圆C1:x2+y2-12x-2y-13=0,①

圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0,② ①-②得24x+18y-12=0, 即4x+3y-2=0. 把圆C1,圆C2化成标准方程分别为 圆C1:(x-6)2+(y-1)2=50,圆心为(6,1), r1=5 2,

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

圆C2:(x+6)2+(y+8)2=125,圆心为(-6,-8),r2= 5 5, 则连心线的长|C1C2|= ?6+6?2+?1+8?2=15, 从而r2-r1<|C1C2|<r1+r2. 故两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程是4x+3y-2=0.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

|4×6+3×1-2| 圆C1的圆心到直线的距离d= =5, 42+32 故公共弦长为2 r2-d2=2 50-25=10. 1

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

与两圆相切有关的问题
学法指导 对两圆相切的认识

处理两圆相切问题,首先必须准确把握是内切还是外 切,若只是相切,则必须分两圆内切和外切两种情况讨论; 其次,将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径 之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)问题.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[例3]

求与圆C:x2+y2-2x=0外切且与直线l:x+

3y

=0相切于点M(3,- 3)的圆的方程. [分析] 线l:x+ 可. 设出圆的标准方程,利用两圆外切及所求圆与直 3 y=0相切于M(3,- 3 )建立方程,解出参数即

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

圆C的方程可化为(x-1)2+y2=1,

则圆心为C(1,0),半径为1. 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). ? ?a-1?2+b2=r+1, ? ?b+ 3×?- 3?=-1, 3 由题意,可得? a-3 ? ?|a+ 3b|=r, 2 ?

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

?a=4, ? 解得?b=0, ?r=2. ?

所以所求圆的方程为(x-4)2+y2=4.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:两圆外切时常用圆心距等于半径之和求 解.圆与直线相切时,该圆心到这条直线的距离等于圆的半 径,若已知切点坐标,也可以用切点与圆心间的距离得圆的 半径.本题是设出圆的方程,根据已知条件列出关于a,b,r 的方程组,用待定系数法求解.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的 圆的方程. [分析] 分内切和外切两种情况讨论.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

设所求圆的圆心为P(a,b),

∴ ?a-4?2+?b+1?2=1.① (1)若两圆外切,则有 ?a-2?2+?b+1?2=1+2=3.② 由①②,解得a=5,b=-1. 所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

(2)若两圆内切,则有 ?a-2?2+?b+1?2=2-1=1.③ 由①③,解得a=3,b=-1. 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1. 综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2 +(y+1)2=1.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

探索延拓创新

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

圆系方程的应用
[例4] 求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+

10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程. [分析] 既可以先通过解方程组得到两圆的交点坐标再

求解,也可以通过经过两圆交点的圆系方程求解.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

解法一:解方程组 得交点坐标分别为(0,2),(-

?x2+y2-2x+10y-24=0, ? ? 2 ?x +y2+2x+2y-8=0, ?

4,0). 设所求圆的圆心坐标为(a,-a), 则 a2+?-a-2?2= ?a+4?2+a2=r, 解得a=-3,r= 10. 因此,所求圆的方程为(x+3)2+(y-3)2=10.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

解法二:同解法一,得两已知圆的交点的坐标为(0,2), (-4,0). 设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有 ?4+2E+F=0, ? ?16-4D+F=0, ?D+E=0, ? ?D=6, ? 解得?E=-6, ?F=8. ?

因此,圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

解法三:设所求圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+ y2+2x+2y-8)=0, 即(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0. 因为这个圆的圆心在直线x+y=0上,所以(2λ-2)+(2λ+ 10)=0, 解得λ=-2. 所以圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:解法一是利用圆的定义,根据圆上的点到圆 心的距离等于半径长列等量关系式;解法二是利用待定系数 法求圆的方程;解法三是利用圆系方程求圆的方程,此方法 避免了求两圆的交点坐标,计算量小.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

求过两圆x2+y2+2x+8y-8=0,x2+y2-4x-4y-2=0 的交点且面积最小的圆的方程.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

过两圆交点的圆系方程为x2+y2+2x+8y-8+

λ(x2+y2-4x-4y-2)=0,即(1+λ)x2+(1+λ)y2+2(1-2λ)x+ 4(2-λ)y-2(4+λ)=0, 1-2λ 2 2?2-λ? 2 10λ2-10λ+25 可化为(x+ ) +[y+ ]= , 1+λ 1+λ ?1+λ?2 10λ2-10λ+25 3 ∵ =5[( -1)2+1]. ?1+λ?2 1+λ 3 ∴当 =1时,即λ=2时过两圆交点的圆的面积最小, 1+λ 所以在圆系中面积最小的圆的方程为(x-1)2+y2=5.
第四章 4.2 4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

名师辨误做答

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

易错点 不理解两圆相切 [例5] 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆C2:

x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m的取值满足什么条件时, 有圆C1与圆C2相切?

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[错解]

对于圆C1与圆C2的方程,化为标准方程得C1:(x

-m)2+(y+2)2=9,C2:(x+1)2+(y-m)2=4,所以两圆的圆 心分别为C1(m,-2),C2(-1,m),半径分别为r1=3,r2= 2,且|C1C2|= ?m+1?2+?m+2?2. 若圆C1与圆C2相切,则|C1C2|=r1+r2, 即 ?m+1?2+?m+2?2=5,解得m=-5或m=2. [错因分析] 错解只考虑了外切的情况而把内切情况漏掉 了.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[思路分析] 两圆外切和内切统称为相切,d=|r1-r2|? 内切;d=r1+r2?外切.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[正解]

两圆相外切时,由以上解法知m=-5或m=2.

当圆C1与圆C2相内切时,则|C1C2|=|r1-r2|, 即 ?m+1?2+?m+2?2=1,解得m=-1或m=-2. 综上可知,当m=-5或m=2或m=-1或m=-2时,两圆 相切.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

基础巩固训练

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

1.(2012· 山东卷)圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-1)2= 9的位置关系为( )

A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
[答案] B

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析] 17,

∵r1=3,r2=2,O1O2=

?2+2?2+?1-0?2



∴r1-r2<O1O2<r1+r2,所以两圆相交.故选B.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

2.圆C1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2:x2+y2-4x-10y +13=0的公切线有( A.1条 C.4条 [分析] ) B.3条 D.以上均错 先判断出两圆的位置关系,然后根据位置关系确

定公切线条数.
[答案] B

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

∵C1(-2,2),r1=1,C2(2,5),r2=4,

∴|C1C2|=5=r1+r2,∴两圆相外切,因此公切线有3条, 因此选B.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:如何判断两圆公切线的条数 首先判断两圆的位置关系,然后判断公切线的条数: (1)两圆相离,有四条公切线; (2)两圆外切,有三条公切线,其中一条是内公切线,两 条是外公切线; (3)两圆相交,有两条外公切线,没有内公切线; (4)两圆内切,有一条公切线; (5)两圆内含,没有公切线.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

3.(2012-2013江苏徐州模拟)圆x2+y2=50与圆x2+y2- 12x-6y+40=0的公共弦长为( A. 5 C.2 5 B. 6 D.2 6 )

[答案] C

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

x2+y2=50与x2+y2-12x-6y+40=0作差,得两

圆公共弦所在的直线方程为2x+y-15=0,圆x2+y2=50的圆 |2×0+0-15| 心(0,0)到2x+y-15=0的距离d= =3 5, 2 2 2 +1 因此,公共弦长为2 50-?3 5?2=2 5,应选C.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

4.若两圆x2+y2=m与x2+y2+6x-8y-11=0有公共点, 则实数m的取值范围是( A.m<1 C.1≤m≤121
[答案] C
[解析] 由|r2-r1|≤d≤r2+r1得:|6- m |≤5≤6+ m ,∴

) B.m>2 D.1<m<121

1≤m≤121,故选C. 用数形结合法,画图观察易得.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

5.已知圆O1和圆O2的半径分别为3cm和4cm,则①当 O1O2=8cm时,两圆________;②当O1O2=7cm时,两圆 ________;③当O1O2=5cm时,两圆________;④当O1O2= 1cm时,两圆________;⑤当O1O2=0.5cm时,两圆 ________.
[答案] ①相离 ②外切 ③相交 ④内切 ⑤内含

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

6.圆C1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C2:x2+y2=m(m>0) 内切,则实数m=________.
[答案] 81

[解析] 圆心距d= ?0-3?2+?0-4?2 =5,由题意,得两圆 半径差的绝对值|4- m|=5,解得m=81.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

7.已知圆C1:x2+y2-10x-10y=0和圆C2:x2+y2+6x+ 2y-40=0相交于A,B两点,求弦AB的长. [分析] 可先求A,B的坐标,再求弦长,也可转化为直线

AB与圆C1或圆C2的相交求弦长的问题.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

?x2+y2+6x+2y-40=0, ? 解法一:由? 2 2 ?x +y -10x-10y=0, ? ?x=4, ? 或? ?y=-2. ?

?x=-2, ? 解得? ?y=6 ?

∴A,B的坐标分别为(-2,6),(4,-2). ∴|AB|= ?-2-4?2+?6+2?2=10, 即弦AB的长为10.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

解法二:两圆方程相减得弦AB所在的直线方程为4x+3y -10=0. |20+15-10| 圆心C1(5,5)到直线AB的距离为d= =5,而圆 5 C1的半径为r=5 2. 由圆的性质可知|AB|=2 r2-d2 =2 50-25 =10.即弦AB 的长为10.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

规律总结:两圆的相交问题可由两圆方程相减,先得到 公共弦所在的直线方程,从而将问题转化为直线与圆的相交 问题,解法二就充分体现了这一点.其步骤如下: 两圆方程作差→得公共弦方程→求弦心距→求半弦长→ 弦长

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

1 3 8.求与圆O:x +y =1外切,切点为P(- ,- ),半 2 2
2 2

径为2的圆的方程. [分析] 已知半径,欲求圆的方程,只需确定圆心的坐

标.设出圆的方程,利用两圆外切的条件求解.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

[解析]

设所求圆的圆心为C(a,b),则所求圆的方程为(x

-a)2+(y-b)2=4. 1 3 ∵两圆外切,切点为P(- ,- ), 2 2 ∴|OC|=r1+r2=1+2=3,|CP|=2. 3 ? ?a2+b2=9, ?a=-2, ? ∴? 解得? 12 32 ??a+2? +?b+ 2 ? =4, ?b=-3 3. ? 2 ?

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

3 3 3 ∴圆心坐标为(- ,- ), 2 2 32 3 32 ∴所求圆的方程为(x+2) +(y+ 2 ) =4.

第四章

4.2

4.2.2

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修2

能力强化提升(点此链接)

第四章

4.2

4.2.2


推荐相关:

2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 1.异面直线是指( ) A.空...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-2-4 平面与平面平行...利用相似三角形的比例关系找到面积比. [解析] ∵平面 α∥平面 ABC, 平面 ...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-2-2 平面与平面平行...则平面 EFD1A1 与平面 BCF1E1 的位置关系是( ) ) B.相交 D.都可能 A....


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4基础巩固:2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_数学_高中教育_教育专区。基础巩固一、选择题 1.已知 a=(0,1...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:4-3-1、2 空间直角坐标...[分析] 求出三角形边长,利用三边的关系来判断其形状. [解析] 由题意得: |...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:1-1-1 任意角_数学_高中教育_...(2)已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小 角},那么 A、B、C 的关系...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:1-2-1、2 中心投影与...三视图中各种数据的对应关系: (1)正视图 中 AB 的长对应原四棱锥底面多边形...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:3-3-1 两条直线的交点...一、选择题 1.直线 3x-y=0 与 x+y=0 的位置关系是( A.相交 C.重合 ...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:2-3-3 直线与平面垂直...b 的位置关系是___. [答案] 平行 [解析] 由于直线 a 垂直于平面 α 内的...


2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2能力强化提升:1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 1.轴截面是正三角形的圆锥称...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com