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余弦定理


1.2

余弦定理

第 1 课时
学习目标
1. 掌握余弦定理及其证明; 2. 体会向量的工具性; 3. 能初步运用余弦定理解斜三角形.

学习重点
余弦定理及其证明

学习难点
初步运用余弦定理解斜三角形

自学评价
1.余弦定理: (1) a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ,______________________,______________________.
2 2 2 (2) 变形: cos A ? b ? c ? a ,___________________,___________________ . 2bc 2.利用余弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题: (1)_______________________________; (2)_______________________________.

【精典范例】 【例 1】在 ?ABC 中, 0 (1)已知 b ? 3 , c ? 1 , A ? 60 ,求 a ; 0 (2)已知 a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,求 A (精确到 0.1 ) .
【解】

点评: 利用余弦定理,可以解决以下两类解斜三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 【例 2】 A, B 两地之间隔着一个水塘,现选择另一点 C ,测 CA ? 182m, CB ? 126m,

?ACB ? 630 ,求 A, B 两地之间的距离(精确到1m ) .
【解】

追踪训练一
1.在△ABC中, (1)已知A=60°,b=4,c=7, 求 a; (2)已知 a=7,b=5,c=3,求A.

2.若三条线段的长为5,6,7,则用这三条线段( A.能组成直角三角形 B.能组成锐角三角形 C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形



3.在△ABC中,已知 a 2 ? b 2 ? ab ? c 2 ,试求∠C的大小.

4.两游艇自某地同时出发,一艇以10km/h的速度向正北行驶,另一艇以7km/h 的速度向北偏东45°的方向行驶,问:经过40min,两艇相距多远?

【选修延伸】
【例 4】在△ABC 中, BC = a , AC = b ,且 a , b 是方程 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两根,
2

2 cos? A ? B ? ? 1。
(1) 求角 C 的度数; (2) 求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积。 【解】

【例 5】在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a , b , c ,证明:

a 2 ? b 2 sin ? A ? B ? ? 。 sin C c2

追踪训练二
1.在△ABC 中,已知 b ?

2 , c ? 1 ,B= 450 ,则 a ?
6? 2 2 6? 2 2





A 2

B

C

6? 2 2

D

2.在△ABC 中,已知 AB=5,AC=6,BC= 31 ,则 A= ( A



? 3

B

2? 3

C

? 6

D

? 4

3.在△ABC 中,若 b ? 10 , c ? 15 ,C= 4、 △ABC 中,若 a ? c ? bc ? b ,
2 2 2

? ,则此三角形有 6

解。

则 A= _______ .


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