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福建省福州八中2014届高三数学第四次质检考试试题 文 新人教A版


福建省福州八中 2014 届高三数学第四次质检考试试题 文 新人教 A 版

第I卷 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将答案填入答题纸的相应位置,否则不给分 ) .................... 1.设全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? , A ? {1, 2,3,5} , B ? {2, 4,6} ,则图中的阴影部 分表示的集合为 A. ?2? C. ?1,3,5? B. ?4, 6? D. ?4,6,7,8?

2.在等差数列 ?an ? 中, a30 ? a70 ? 200 ,则 S99 的值为 A.9900 B.10000 C.100 3 3.命题“ ? x0∈ ?RQ ,x0∈Q”的否定是 A. ? x0 ? ?RQ ,x0∈Q
3

D.4950
3

B. ? x0∈ ?RQ ,x0 ? Q D. ? x∈ ?RQ ,x ? Q
3

C. ? x ? ?RQ ,x ∈Q
3

4.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 | a ? b |? A. 5 B. 10 C. 2 5 B. 0.2 ? 0.2
3 2

D. 10

5.下列命题正确的是 A. log0.2 3 ? log0.2 2

C . 20.2 ? 30.2
A.充分但不必要条件 C.充要条件 7.在△ABC 中, A ? A. ? 6

D . 0.23 ? log0.2 3
B.必要但不充分条件 D.既不充分不必要条件

* 6.“点 P n (n, an )(n ? N ) 在直线 y ? x ? 1 上”是“数列 {an } 为等差数列”的

?
3

, BC ? 3, AB ? 6, 则角 C=
D. ? 或 3? 4 4

B. ? C. 3? 4 4 ?2 ? x ? 1, x ? 0 8.函数 f ( x) ? ? ,满足 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围 ? 1 2 ? ?x , x ? 0 A. (?1,1) C. {x | x ? 0或x ? ?2} B. (?1,??)

D. {x | x ? 1或x ? ?1}

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 9.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A.-5 B.-4 C.-2 D.3

1

10.设 a ? 0,b ? 0 若 2 是 4 与 2 的等比中项,则 A. 2 2 B. 8 C.9

a

b

2 1 ? 的最小值为 a b
D.10

11.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中 , ?ABC ? 60 ,对角线相交于点 O , P 是线段

BD 的一个三等分点,则 AP ? AC 等于
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.定义一种运算 (a, b) ? (c, d ) ? ad ? bc , 若函数 f ( x) ? (1, log 3 x) ? (tan

13? 1 x , ( ) ) , x 0 是方程 f ( x) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则 4 5
C.恒为负值 第Ⅱ卷 D.不大于 0

f ( x1 ) 的值
A.恒为正值 B.等于 0

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 请将答案填入答题纸的相应位 ............. 置,否则不给分 ) ....... 13. 若 直 线 l :x+ay+2=0 平 行 于直 线 2x-y+3=0, 则 直 线 l 在 两 坐 标轴 上 的截 距 之 和 为 . 14.已知向量 m ? ?cos?x, sin ?x? , n ? cos?x, 3 cos?x ,设函数 f ( x) ? m ? n . 若函数 f ( x) 的零点组成公差为

? 的等差数列,则函数 f ( x) 的值域为 2 15.焦点在 x 轴上,渐近线方程为 y ? ? 3x 的双曲线的离心率为

?

?

. .

1 1 1 1 1 3 1 1 1 16. 有下列各式:1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,?,则按此规 2 3 2 3 7 2 2 3 15 律可猜想此类不等式的一般形式为 请将答案填入答题纸的相应位置,否则不给分 ) .................... 17. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差 d =1 ,前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)若 1,a 1,a3 成等比数列,求 a1 ; (Ⅱ)若 S5 ? a1a9 ,求 a1 的取值范围. (n∈N ).
*

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

2

18. (本小题满分 12 分) 在区间[-1,2]上先后随机取两个数 x 、y (Ⅰ)求先后随机得到的两个数 x 、y 满足 y ? 3x ? 2 的概率. (Ⅱ)若先后随机得到的两个数 x 、y ? N ,求满足 y ? 2 x 的概率.

19. (本题满分 12 分) 函 数 f(x) = Asin(ω x + φ ) (A > 0 , ω > 0 , |φ | < π

2

)的部分图象如图所

示. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期及解析式; π (Ⅱ)设 g(x)=f(x)-cos2x,求函数 g(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值. 2 20. (本题满分 12 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的 距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 21. (本题满分 12 分) 某物流公司购买了一块长 AM=30 米,宽 AN=20 米的矩形地块 AMPN,规划建 设占地如图中矩形 ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点 C 在地块对 角线 MN 上,顶点 B、D 分别在边 AM、AN 上,假设 AB 的长度为 x 米. (Ⅰ)要使仓库的占地面积不少于 144 平方米,求 x 的取值范围; (Ⅱ) 要规划建设的仓库是高度与 AB 的长度相同的长方体建筑, 问 AB 的长度为多少时仓 库的库容量最大.(墙地及楼板所占空间忽略不计) 22. (本题满分 14 分) 抛物线 E : y ? 4x 的焦点为 F ,准线 l 与 x 轴的交点为 A .点 C 在抛
2

物线 E 上,以为圆心, | CO | 为半径作圆. (Ⅰ)设圆 C 与准线 l 交于不同的两点 M 、N . (1)如图,若点 C 的纵坐标为 2,求 | MN | ; (2)若 | AF | ? | AM | ?| AN | ,求圆 C 的坐标;
2

(Ⅱ)设圆 C 与准线 l 相切时,切点为 Q,求四边形 OFCQ 的面积.

3

福州八中 2013—2014 高三毕业班第四次质量检查 数学(文)试卷参考答案及评分标准

三、解答题:

??3 分 ??6 分 ??9 分 ??12 分 18.解析: (Ⅰ)∵ x 、y 所在区间长度都为 3, ∴总体基本事件对应的区域为以 3 为边长的正方形的面积,为 9 令“先后随机得到的两个数 x 、y 满足 y ? 3x ? 2 ”为事件 A, 则事件 A 对应的区域为图中阴影部分,??.4 分 ??.2 分

1 3 ? 1? 3 ? 9 ? 2 2 3 9? 2?5 ∴ P( A ) ? 9 6
面积为 9 ?

5 . ..??.6 分 6 (Ⅱ)若先后随机得到的两个数 x 、y ? N ,则 x、y ?{0,1,2}
答:先后随机得到的两个数 x, y 满足 y ? 3x ? 2 的概率 ∴总体基本事件为 9 种:0,0;0, 1;0,2;1,0;1,1;1,2;2,0;2,1;2,2. ..??.8 分 令“满足 y ? 2 x ”为事件 B,则事件 B 有 2 种:0,0;1,2. ∴ P( B ) ? ..??.11 分

2 9

答:满足 y ? 2 x 的概率

2 . 9

.??.12 分

4

19.

(Ⅰ)

(Ⅱ)

20.解: (Ⅰ)因为 F(2,0)是中心在原点的椭圆的右焦点, 所以设椭圆方程可设为

x2 y2 ? ? 1. b2 ? 4 b2

??.2 分

又因为椭圆 C 经过点 A(2,3),

4 9 ? 2 ? 1 ,化简整理得 b 4 ? 9b 2 ? 36 ? 0 ,??.4 分 b ?4 b 2 2 解得 b =12 或 b =-3(舍去). x2 y2 ? ? 1. 所以所求椭圆的方程为 ??.6 分 16 12 (Ⅱ)假设存在平行于 OA 的直线 l .因为 k OA ? 3 , 所以 k l ? 3 .
所以
2

2

2

所以设直线 l 的方程为 y ?

3 x?t 2

3 ? y ? x ? t, ? 2 由? 消去y得3 x 2 ? 3tx ? t 2 ? 12 ? 0. ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 16 12 ? 因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以?? ? ( 3t )2 ?12(t 2 ?12 ) ? 0.

??.8 分

解得? 4 3 ? t ? 4 3
另一方面,由于直线 OA 与 l 的距离 d=4, 故可得 | t | ?4 3 ( )2 ? 1 2 ??.10 分

解得t ? ?2 13 ?[?4 3,4 3]
所以符合题意的直线 l 不存在. ??.12 分
5

21.解: (Ⅰ)依题意得△NDC 与△NAM 相似,所以 = , 20-AD 2 = ,故 AD=20- x, 30 20 3 2 2 矩形 ABCD 的面积为 20x- x (0<x<30). 3 即

DC ND AM NA

x

??3 分

2 2 要使仓库的占地面积不少于 144 平方米,则 20x- x ≥144,??5 分 3 2 化简得 x -30x+216≤0, 解得 12≤x≤18. ??6 分 2 2 3 (Ⅱ)由(1)知仓库的体积 V=20x - x (0<x<30), 3 2 令 V′=40x-2x =0,得 x=0 或 x=20. ??8 分 列表(当 0<x<20 时,V′>0,当 20<x<30 时,V′<0, )??10 分 8 000 所以当 x=20 时 V 取最大值,且最大值为 , 3 即 AB 的长度为 20 米时仓库的库存容量最大. 答:?? ??12 分 22.

??4 分

??6 分

??11 分 ??12 分 (Ⅱ)此时, |CO|?|CF |?|CQ| 且圆 C 过点 F ???13 分

? SOFCQ ?

1 1 1 5 2 ?1 ? 2 ? ( 1? ) ? 2? 2 2 2 4

??14 分

6


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