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涂色问题


涂色问题的常见解法及策略
会泽茚旺高中 杨顺武 与涂色问题有关的试题新颖有趣,近年已经在高考题中出现, 其中包含着丰富的数学思想。 解决涂色问题方法技 巧性强且灵活多变,因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生 的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。 一、区域涂色问题 1、 根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。 例1、 用 5 种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,相邻部分涂不同颜 色,则不同的涂色方法有多少种? ① ② 分析:先给①号区域涂色有 5 种方法,再给②号涂色有 4 种方法,接着给③号涂色方法有 3 种,由于④号与①、 ②不相邻,因此④号有 4 种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色方法有 5 ? 4 ? 3 ? 4 ? 240 2、 根据共用了多少种颜色讨论, 分别计算出各种出各种情形的种数, 再用加法原理求出不同的涂色方法种数。 例 2、四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域,且相邻两个区域不能同色。 分析:依题意只能选用 4 种颜色,要分四类:
4 (1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 (2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有 A4 ; 4 (3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有 A4 ;





⑤ ⑥ ② ① ③ ④

4 4 (4)③与⑤同色、② 与④同色,则有 A4 ; (5)②与④同色、③与⑥同色,则有 ; A4 2 4 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 A4 =120

例 3、如图所示,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有 4 种颜色可 供选择,则不同的着方法共有多少种? 分析:依题意至少要用 3 种颜色 1) 当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色, 2 2) 3) 4)
3 区域 3 与 5 必须同色,故有 A4 种;

3

1 4

5

当用四种颜色时,若区域 2 与 4 同色,

4 4 则区域 3 与 5 不同色,有 A4 种;若区域 3 与 5 同色,则区域 2 与 4 不同色,有 A4 种,故用四种颜色 4 3 4 时共有 2 A4 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有 A4 +2 A4 =24+2 ? 24=72

3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形 的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。 例 4 用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两个区域涂不同的颜 色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法? 分析:可把问题分为三类: 2 1 4 (1) 四格涂不同的颜色,方法种数为 A5 ;
1

3

4

(2) 有且仅两个区域相同的颜色,即只 有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为
1 2 2C5 A4 ;

5)

2 两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为 A5 , 2 1 2 2 因此,所求的涂法种数为 A5 ? 2C5 A4 ? A5 ? 260

4、 根据相间区使用颜色的种类分类 例 5 如图, 6 个扇形区域 A、B、C、D、E、F,现给这 6 个区域着色,要求同一区域涂同一种颜色,相邻 的两个区域不得使用同一种颜色,现有 4 种不同的颜色可 A1 解(1)当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时, 有 4 种着色方法,此时,B、D、F 各有 3 种着色方法, 此时,B、D、F 各有 3 种着色方法故有 4 ? 3 ? 3 ? 3 ? 108 种方法。 C D E B

A F 2 2 (2)当相间区域 A、C、E 着色两不同的颜色时,有 C3 A4 种着色方法,此时 B、D、F 有 3 ? 2 ? 2 种着

2 2 色方法,故共有 C3 A4 ? 3? 2 ? 2 ? 432 种着色方法。 3 (3)当相间区域 A、C、E 着三种不同的颜色时有 A4 种着色方法,此时 B、D、F 各有 2 种着色方法。 3 此时共有 A4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 192 种方法。

故总计有 108+432+192=732 种方法。 说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。 如:如图,把一个圆分成 n(n ? 2) 个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇 形不同色,有多少种染色方法? 解:设分成 n 个扇形时染色方法为 an 种
2 (1) 当 n=2 时 A 1 、 A2 有 A4 =12 种,即 a2 =12

A1 A2
An
⑤ ⑤

⑤ ⑤ ⑤ (2) 当分成 n 个扇形,如图, A n?1 1 与 A2 不同色, A2 与 A 3 不同色, ? , A ⑤?

A3 A3

A4

与 An 不同色, 共有 4 ? 3

n ?1

种染色方法, 但由于 An 与 A 所以应排除 An 与 A 1 邻, 1 同色的情形;An 与 A 1同

n ? 2 个扇形加在一起为 n ? 1 个扇形,此时有 an ?1 种染色法,故有如下递 色时,可把 An 、 A 1 看成一个扇形,与前
推关系:

an ? 4 ? 3n?1 ? an?1

?an ? ?an?1 ? 4 ? 3n?1 ? ?(?an?2 ? 4 ? 3n?2 ) ? 4 ? 3n?1
2 ? an?2 ? 4 ? 3n?2 ? 4 ? 3n? 1 ? ?an?3 ? 4 ? 3n? 3 ? 4 ? 3n? ? 4 ? 3n? 1

2

? ? ? 4 ? [3n?1 ? 3n?2 ? ? ? (?1)n ? 3] ? (?1)n ? 3 ? 3n
二、点的涂色问题 方法有: (1)可根据共用了多少种颜色分类讨论, (2)根据相对顶点是否同色分类讨论, (3)将空间问题平面 化,转化成区域涂色问题。 例 6、将一个四棱锥 S ? ABCD 的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可 供使用,那么不同的染色方法的总数是多少? 解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。 (1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、C、
1 2 D 四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有 C5 A4 ? 60 种方法。

(2)若恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种染
2 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换,故有 A4 种染法;再从余下的两种颜色中任选一种染 D 或 C,而 D 与 C,而 D 1 2 1 1 与 C 中另一个只需染与其相对顶点同色即可,故有 C5 A4 C2C2 ? 240 种方法。 5 (3)若恰用五种颜色染色,有 A5 ? 120 种染色法

综上所知,满足题意的染色方法数为 60+240+120=420 种。 解法二:设想染色按 S—A—B—C—D 的顺序进行,对 S、A、B 染色,有 5 ? 4 ? 3 ? 60 种染色方法。 由于 C 点的颜色可能与 A 同色或不同色,这影响到 D 点颜色的选取方法数,故分类讨论: C 与 A 同色时(此时 C 对颜色的选取方法唯一) ,D 应与 A(C) 、S 不同色,有 3 种选择;C 与 A 不同色时, C 有 2 种选择的颜色,D 也有 2 种颜色可供选择,从而对 C、D 染色有 1? 3 ? 2 ? 2 ? 7 种染色方法。 由乘法原理,总的染色方法是 60 ? 7 ? 420 解法三:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图, 对这五个区域用 5 种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法? D A 解答略。 S 三、线段涂色问题 C 对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有:B 1) 根据共用了多少颜色分类讨论 2) 根据相对线段是否同色分类讨论。 例 7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形 ABCD 的四条边,每条边只涂一种颜色 ,且使相邻两边涂不同 的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
4 解法一: (1)使用四颜色共有 A4 种 1 1 2 (2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有 C4 C2 A3 种, 2 (3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有 A4 种

因此,所求的染色方法数为 A4 ? C4C2 A3 ? A4 ? 84 种
4 1 1 2 2

解法二:涂色按 AB-BC-CD-DA 的顺序进行,对 AB、BC 涂色有 4 ? 3 ? 12 种涂色方法。 由于 CD 的颜色可能与 AB 同色或不同色,这影响到 DA 颜色的选取方法数,故分类讨论: 当 CD 与 AB 同色时,这时 CD 对颜色的选取方法唯一,则 DA 有 3 种颜色可供选择 CD 与 AB 不同色时, CD 有两种可供选择的颜色, DA 也有两种可供选择的颜色,从而对 CD 、 DA 涂色有 1? 3 ? 2 ? 2 ? 7种涂色方法。
3

由乘法原理,总的涂色方法数为 12 ? 7 ? 84 种 例 8、用六种颜色给正四面体 A ? BCD 的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜 色,问有多少种不同的涂色方法? 解: (1)若恰用三种颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不同,
3 故有 A6 种方法。 3 4 (2) 若恰用四种颜色涂色, 则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色, 但组与组之间不同色, 故有 C6 A6 种方法。 1 5 (3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色,故有 C3 A6 种方法。 6 (4)若恰用六种颜色涂色,则有 A6 种不同的方法。

3 2 4 1 5 6 综上,满足题意的总的染色方法数为 A6 ? C3 A6 ? C3 A6 ? A6 ? 4080种。

四、面涂色问题 例 9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的 6 个面涂色,每两个具有公共棱的面涂成不同的 颜色,则不同的涂色方案共有多少种? 分析:显然,至少需要 3 三种颜色,由于有多种不同情况,仍应考虑利用加法原 理分类、乘法原理分步进行讨论 解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论 (1)用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面,则上底颜色可有 5 种选择,在上、下底已涂好后,再确 定其余 4 种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则其余 3 个面有 3!种涂色方案,根据乘法原理 n1 ? 5 ? 3!? 30
5 (2)共用五种颜色,选定五种颜色有 C6 ,确定为上、下底面,其 ? 6 种方法,必有两面同色(必为相对面)

颜色可有 5 种选择,再确定一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧面的颜色,有 3 种选择(前后面可通 过翻转交换)
5 n2 ? C6 ? 5 ? 3 ? 90 ;(3)共用四种颜色,仿上分析可得 4 2 3 n3 ? C6 C4 ? 90;(4)共用三种颜色, n4 ? C6 ? 20

例 10、四棱锥 P ? ABCD ,用 4 种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同色,有多少种涂法? P 1 2 5 4 3

D C A

?

B 解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域 1、2、3、4 相当于四个侧面,区域 5 相当于底面; 根据共用颜色多少分类: (1) 最少要用 3 种颜色,即 1 与 3 同色、2 与 4 同色,此时有 A4 种; (2) 当用 4 种颜色时,1 与 3 同色、2 与 4 两组中只能有一组同色,此时有 C2 A4 ; 故满足题意总的涂色方法总方法交总数为 A4 ? C2 A4 ? 72
3 1 4 1 4 3

4


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