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泗县三中2014届高二数学提升训练2


泗县三中 2014 届高二数学“提升训练”2

一、填空题(每题 5 分,共 40 分)
。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。 。。。。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。订。。。。。。线。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。 。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 装。。。。。

1、点 P 为ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA、PB、PC 与 平面 ABC 所成角相等,则点 O 是ΔABC 的 心

2、点 P 为ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA=PB=PC,则点 O 是ΔABC 的 心

3、点 P 为ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O 且在三角形的内部, 若 P 到三角形三边距离相等,则点 O 是ΔABC 的 心

4、点 P 为ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若 PA⊥CB、PB⊥ AC、PC⊥AB, 则点 O 是ΔABC 的 心

5、点 P 为ΔABC 所在平面外一点,PO⊥平面 ABC,垂足为 O,若侧面与底面所成 二面角相等,则点 O 是ΔABC 的 心 个

考号

6、不共面的四个定点到平面 ? 的距离都相等,这样的平面 ? 共有

-姓名

7、设 P 是 60? 的二面角 ? ? l ? ? 内一点, PA ? 平面? , PB ? 平面? , A,B为 垂足,
PA ? 4, PB ? 2, 则 P 到 l 的距离为

8、半径为 r 的球放在墙角,同时与两墙面和地面相切,那么球心到墙角顶点的 距离为

班级

1

二、解答题(每题 12 分共 60 分) 9、如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形,
E, F , O 分别为 PA , PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .

(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的距离.

? 10. 如图, 已知 ABCD 是直角梯形, ABC ? 90? ,AD // BC ,AD ? 2, AB ? BC ? 1 , PA ? 平面 ABCD . (1) 证明: PC ? CD ; (2) 在 PA 上是否存在一点 E ,使得 BE ∥平面 PCD ?若存在,找出 点 E ,并证明: BE ∥平面 PCD ;若不存在,请说明理由;

(3)若 PA ? 2 ,求二面角 A ? PD ? C 的余弦值.
P

A

D

B

C

2

11、 如图,α⊥β,α∩β= l , A∈α, B∈β,点 A 在直线 l 上的射影为 A1, 点 B 在 l 的射影为 B1,已知 AB=2,AA1=1, BB1= 2, 求: (Ⅰ) 直线 AB 分别与平面α,β所成角的大小; (Ⅱ)二面角 A1-AB-B1 的大小余弦值.

? 12.如图,在梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? DC ? CB ? a , ?ABC ? 60 ,平面

ACFE ? 平面 ABCD ,四边形 ACFE 是矩形, AE ? a ,点 M 在线段 EF 上.

(1)求证: BC ? 平面 ACFE ; (2)当 EM 为何值时, AM ∥平面 BDF ?证明你的结论;
M F

(3)求二面角 B ? EF ? D 的平面角的余弦值.
D

E

C N A B

3

13、已知 M(a,0)为抛物线 y 2 =2 px (p>0)的对称轴上的一个定点,在抛物线 上求一点 N,使 ︱MN︱最小

4

能力提升 2 答案 1、外心 2、外心 3、内心 4、垂心 5、内心 6、7 个 7、
4 21 8、 3 r 3

9、证明: (I)如图,连结 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线 为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz , 则 O ? 0,0,0? , A(0, ?8,0), B(8,0,0), C(0,8,0), P(0, 0, 6), E (0, ?4,3), F ? 4,0,3? ,

??? ? ??? ? 由题意得, G ? 0, 4,0? , 因 OB ? (8,0,0), OE ? (0, ?4,3) ,

因此平面 BOE 的法

? ??? ? ? ??? ? 向量为 n ? (0,3, 4) , FG ? (?4, 4, ?3 得 n ? FG ? 0 ,又直线 FG 不在平面 BOE 内,
因此有 FG / / 平面 BOE .

???? ? (II)设点 M 的坐标为 ? x0 , y0 ,0? ,则 FM ? ( x0 ? 4, y0 , ?3) ,因为 FM ? 平面
???? ? ? 9 9 ? ? BOE,所以有 FM // n ,因此有 x0 ? 4, y0 ? ? ,即点 M 的坐标为 ? 4, ? , 0 ? , 4 4 ? ?
经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组,所以在 ?ABO 内存在一点 M ,使 9 FM ? 平面 BOE ,由点 M 的坐标得点 M 到 OA , OB 的距离为 4, .. 4 2 2 2 10、证明: (1)由已知易得 AC ? 2 , CD ? 2 . ∵ AC ? CD ? AD , ∴ ?ACD ? 90? ,即 AC ? CD . 又 ∵ PA ? 平面 ABCD , CD ? 平 面 ABCD ,∴ PA ? CD . ∵ PA ? AC ? A ,∴ CD ? 平面 PAC . ∵ PC ? 平面 PAC , ∴ CD ? PC . (2) 存在. PA 的中点为 E ,连结 BE ,则 BE ∥平面 PCD . 取 证明如下: AD 取 的中点为 F ,连结 BF, EF . ∵ AD ? 2 , BC ? 1 , ∴ BC // FD ,且 BC ? FD , ∴四边形 BCDE 是平行四边形,即 BF // CD . ∵ BF ? 平面 PCD , ∴ BF // 平面 PCD ∵ E, F 分别是 PA, AD 的中点,∴ EF // PD . ∵ EF ? 平面 PCD ,∴ EF // 平面 PCD .∵ EF ? BF ? F ,∴平面 BEF // 平 面 PCD . ∵ EF ? 平面 BEF ,∴ BE // 平面 PCD . B (3) 如图, A 为坐标原点建立空间直角坐标系 O ? xyz , 以 则有 A(0,0,0) , (1,0,0) ,
C (1,1,0) , D(0,2,0) , P(0,0,2) , AB ? (1,0,0) ,CD ? (?1,1,0) , PD ? (0,2,?2)

由题意知, AB ? 平面 PAD ,所以 AB 是平面 PAD 的法向量. 设 n ?( x, y, z) 是平面 PCD 的法向量,
P

z

E F
5 B A D

y
C

x

?n ? CD ? 0 ? ?? x ? y ? 0 ? ? ?n ? PD ? 0 则? ,即 ?2 y ? 2 z ? 0 .

所以可设 n ? (1,1,1) .所以

cos ? n, AB ?? |

n ? AB | n || AB |

|?

3 3



11、解法一: (Ⅰ )如图, 连接 A 1B,AB1 , ∵ β, α∩β=l ,AA 1 ⊥ α⊥ l, BB1 ⊥ l, ∴ 1⊥ AA β, BB1 ⊥ α. 则∠ BAB 1 ,∠ ABA 1 分别是 AB 与 α 和 β 所成的角. Rt△BB 1A 中, BB 1 = 2 , AB=2, ∴ sin∠ BAB1 = BB1 2 = . ∴ BAB 1 =45° ∠ . AB 2

AA 1 Rt△AA 1B 中, AA 1 =1,AB=2, sin∠ ABA1 = 1 = , ∴ ABA1 = 30° ∠ . AB 2 故 AB 与平面 α,β 所成的角分别是 45° ,30° . (Ⅱ ∵ 1 ⊥ ) BB α, ∴ 平面 ABB 1 ⊥ α.在平面 α 内过 A 1 作 A 1E⊥ 1 交 AB 1 于 E,则 A 1E⊥ AB 平面 AB 1B.过 E 作 EF⊥ 交 AB 于 F,连接 A1F,则由三垂线定理得 A 1F⊥ AB AB, ∴ A1 FE 就是 ∠ 所求二面角的平面角. 在 Rt△ABB 1 中, BAB 1 =45° ∴ 1 =B1 B= 2. ∴ ∠ , AB Rt△AA 1B 中, 1 B= AB2 -AA1 2 = 4-1 A = AA1 · 1 B A 1× 3 3 3. 由 AA1 · 1B=A 1F· 得 A 1F= A AB = = , AB 2 2 ∴ Rt△A1EF 中,sin∠ 1 FE = 在 A 解法二: (Ⅰ )同解法一. (Ⅱ 如图,建立坐标系, 则 A 1 (0,0,0),A(0,0,1),B 1 (0,1,0),B( 2,1,0).在 ) → → AB 上取一点 F(x,y,z),则存在 t∈ R,使得AF =tAB , 即(x,y,z-1)=t( 2,1,-1), → → → → ∴ F 的坐标为( 2t, t,1-t).要使A1 F ⊥ ,须A1 F · =0, 即( 2t, t,1-t) · 2, 点 AB AB ( 1 2 1 3 2 1 → 1,-1)=0, 2t+t-(1-t)=0,解得 t= , ∴ F 的坐标为( ,- , 点 ), ∴ 1 F =( , , A 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 1 → ). 设 E 为 AB 1 的中点,则点 E 的坐标为(0, , ). ∴ =( ,- , ). EF 4 2 2 4 4 4 2 1 1 1 1 1 → → → → 又EF· =( ,- , )· 2,1,-1)= AB ( - - =0, ∴ ⊥ , ∴ A1 FE 为所求 EF AB ∠ 4 4 4 2 4 4 二面角的平面角. 2 1 3 2 1 1 1 1 3 →→ ( , , )· ,- , ) ( - + A 1 F, · EF 4 4 4 4 4 4 8 16 16 1 3 又 cos∠ 1 FE= A = = = = , → → 3 2 1 9 2 1 1 3 1 3 |A1 F |· | |EF + + · + + · 16 16 16 16 16 16 4 2 A1 E 6 = , A1 F 3

6

y

A F A1 l
β

α

A F A1 l
β

α

E B1 B y

E B1 B

x

第 2 题解法一

第 2 题解法二图

12. 图 (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,? AB // CD ,

AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? ? 四边形 ABCD 是等腰梯形,
F

且 ?DCA ? ?DAC ? 30 , ?DCB ? 120

?

?
M E

? ?ACB ? ?DCB ? ?DCA ? 90? ? AC ? BC

2分
D N A B C

又?平面 ACFE ? 平面 ABCD ,交线为 AC , ? BC ? 平面 ACFE 4分
3 (Ⅱ)解法一、当 EM ? a 时, AM // 平面 BDF , 3

在 梯 形 ABCD 中 , 设 AC ? BD ? N , 连 接 FN , 则 CN : NA ? 1 : 2
? EM ? 3 a , 而 EF ? AC ? 3a ? EM : MF ? 1 : 2 , ? MF// AN , ? 四 边形 3

ANFM 是 平 行 四 边 形 , ? AM // NF BDF ? AM // 平面 BDF

又 ? NF ? 平 面 BDF , AM ? 平 面

解法二:当 EM ?

3 a 时, AM // 平面 BDF , 3

由 (Ⅰ) 知, 以点 C 为原点,CA, CB, CF 所在直线为坐标轴, 建立空间直角坐标系, 则 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) , D(
3a 1 ,? a,0) , 2 2
z F E

F (0,0, a) , E( 3a,0, a) ? AM ? 平面 BDF ,

? AM // 平面 BDF ? AM 与 FB 、 FD 共面,

?

?

?

D
?

C O B x A y

也等价于存在实数 m 、 n ,使 AM ? m FB ? n FD ,
? ?

?

?

设 EM ? t EF .

7

? EF ? (? 3a,0,0) , EM ? (? 3at,0,0) ? AM ? AE? EM ? (? 3at,0, a)

?

?

?

?

?

又 FD ? (

?

? 3 1 a,? a,?a) , FB ? (0, a,?a) , 2 2

从而要使得: (? 3at,0, a) ? m(0, a,?a) ? n(

3 1 a,? a,?a) 成立, 2 2

? 3 an ?? 3at ? 2 ? 1 1 3 ? 需 ?0 ? m a ? an ,解得 t ? a 时, AM // 平面 BDF ? 当 EM ? 3 2 3 ? ?a ? ?am ? an ? ? GH EB (Ⅲ) 解法一、 EF 中点 G , 中点 H , 取 连结 DG , ,
DH
F G E

? DE ? DF,? DG ? EF ? BC ? 平面 ACFE ? BC ? EF

又? EF ? FC ,? EF ? FB ,又? GH // FB ,? EF ? GH ? BE 2 ? DE 2 ? DB 2 ? ?DGH 是 二 面 角 B ? EF ? D 的 平 面 角 . 在 ?BDE 中, DE ? 2a, DB ? 3a, BE ?
? ?EDB ? 90? , ? DH ?
AE 2 ? AB 2 ? 5a

H D C

A

B

5 a. 2

DG ?

5 2 a, GH ? a. 2 2 10 , 10

?在 ?DGH 中,由余弦定理得 cos?DGH ?
C 为原点, CA, CB, CF 所在直线为坐标轴,

解法二:由(Ⅰ)知,以点

z

建立空间直角坐标系,则 C (0,0,0) , B(0, a,0) , A( 3a,0,0) ,
D( 3a 1 ,? a,0) , F (0,0, a) , E( 3a,0, a) 过 D 作 DG ? EF , 2 2
? ?

F E

D x A

C O B y

垂足为 G . 令 FG ? ? FE ? ? ( 3a,0,0) ? ( 3?a,0,0) ,
CG ? CF ? FG ? ( 3a? ,0, a) ,
? ? ? ?

?

?

?

DG ? CG ? CD ? ( 3?a ?

?

?

?

3 1 a, a, a) 2 2

由 DG ? EF 得, DG ? EF ? 0 ,? ? ?

? ? 1 1 1 ? DG ? (0, a, a) ,即 GD ? (0,? a,?a) 2 2 2

8

? BC ? AC, AC // EF, ? BC ? EF ,? BF ? EF

? 二 面 角 B ? EF ? D 的 大 小 就 是 向 量 GD 与 向 量 FB 所 夹 的 角 .
? FB ? (0, a,?a)
?

?

?

cos ? GD, FB ??

?

?

GD? FB GD ? FB
? ?

?

?

?

10 10

9


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