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导数题型归纳总结 2


导数题型归纳总结

导数的定义和几何意义 函 数
?y ?x
f (x0 ? ?x) ? f (x0 ) ?x
f (x)



x

0

处 的 导 数 :

f ?( x 0 )

= lim

?x? 0

= lim

?x? 0

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即 k ? f ? ( x 0 ) 求切线方程:先用导数求斜率,再用点斜式求出切线方程;切点既在直线上又在曲线上 注 : 若 过 曲 线 外 一 点 ( x1 , y1 ) 向 曲 线 作 切 线 , 要 先 设 切 点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) , 用
k = f ?( x 0 ) ? y1 ? f ( x 0 ) x1 ? x 0

2 1、若曲线 y ? x ? a x ? b 在点 ( 0 , b ) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a ?

b ?

3 2、若存在过点 (1, 0 ) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? a x 2 ?

15 4

x ? 9 都相切,则 a =

3 2 3、已知 y ? x ? 2 x ,则过原点 ( 0 , 0 ) 的切线方程是

3 4、★已知 f ( x ) ? x ? 3 x ,过点 A (1, m ) ( m ? ? 2 ) 可作 y ? f ( x ) 的三条切线,则 m 的范围是

5、(曲线上一点)求过曲线 y

? x ? 2x
3

上的点 (1, 1) 的切线方程 ?

注:过曲线上一点的切线,该点未必是切点 6、 【2012· 辽宁】已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) ? 4 (D) ? 8

导数和单调性
y ? ? 0 单调递增; y ? ? 0 单调递减

极值问题:左升右降有极大值;左降右升有极小值;极值点的左右两侧 f ? ( x ) 的符号相反;
f ? ( x ) = 0 的点不一定是极值点,但极值点一定满足 f ? ( x ) = 0 ;

求函数极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数,令 f ? ( x ) = 0 ,找出所有的驻点;③ 检 查驻点左右的符号,左正右负有极大值,左负右正有极小值; 函数 f ( x ) 在 ? a , b ? 上连续,则 f ( x ) 在极值点或端点处取得最值 单调性问题
x 1、函数 f ( x ) ? ( x ? 3 ) e 的单调递增区间是

(

)

A. ( ?? , 2 )

B.(0,3)

C.(1,4)

D. ( 2 , ?? )

2、要使函数 f ( x ) ? x ? 3 ( a ? 1 ) x ? 2 在区间 ( ?? , 3 ] 上是减函数,求实数 a 的取值范围。
2

3、 【2011· 广东】设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x ) ? ln x ? a (1 ? a ) x ? 2 (1 ? a ) x 的单调性
2

4、 【2012· 辽宁】函数 y= A.( ? 1,1]

1 2

x2 ? ㏑ x 的单调递减区间为 C.[1,+∞)



) D.(0,+∞)

B.(0,1]

最值及其相关问题 基础题:1、求 f ? x ? ?
1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3 ? 的最大值与最小值
3

王新敞
奎屯

新疆

综合题 1、设函数 f ( x ) ? x ? a x ? a x ? m
3 2 2

(a ? 0)

(I)若 a ? 1 时函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; (II)若函数 f ( x ) 在 ? ? 1,1 ? 内没有极值点,求 a 的范围; (III)若对任意的 a ? ? 3, 6 ? ,不等式 f ( x ) ? 1 在 x ? ? ? 2 , 2 ? 上恒成立,求实数 m 的取值范 围.

2、设函数 f ( x ) ? ?

1 3

x

3

? 2 ax

2

? 3 a x ? b , ( 0 ? a ? 1, b ? R )
2

4 若当 x ? ?a ? 1, a ? 2 ? 时,恒有 f ? ( x ) ? a ,试确定 a 的取值范围( ≤a<1) 5

3、 【2009· 浙江】已知函数 f ( x ) ? x ? (1 ? a ) x ? a ( a ? 2 ) x ? b ( a , b ? R ) .
3 2

(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ? 3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 ( ? 1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

4、已知函数 f ( x ) = a x ?
3

3 2

x ? 1( x ? R ) ,其中 a ? 0 .
2

若在区间 ? ?
?

?

1 2

,

1? 上, f ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.( a 的取值范围为 0<a<5) ? 2?

5、 【2011· 湖北】设函数 f( )? ? a ? x a g(x) ? x ?3 ?2,其中 x ? R ,a、b x x 2x b ? , x
3 2 2

为常数,已知曲线 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 在点(2,0)处有相同的切线 l 。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f (x ?g x ?m 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意的 ) ( ) x
x ? ? x1 , x2 ? , f( ) gx ? ( ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。 x? ( ) m 1 x )

3 2 6、已知函数 f ( x ) ? x ? a x ? x ? 1 , a ? R .设函数 f ( x ) 在区间 ? ?

? ?

2 3

, ?

1? ? 内是减函数, 3?

求 a 的取值范围. a ≥ (

7 4



构造新函数

x x x 1、当 x ? 0 ,求证: e ? 1 ? x ( ( e ) ? ? e )

2、设函数 (Ⅰ)求

f ( x ) ? x ? ( x ? 1) ln ( x ? 1) ( x ? ? 1).

f (x)

的单调区间;(Ⅱ)证明:当 n
m

? m ? 0
n

时, (1 ?

n)

m

? (1 ? m )

n

本类问题主要是命题人经常考查的一类如 a

? b( m ? n ), 一 般 两 边 同 时 取 自 然 对 数 ,

mlna ? nlnb ,再利用函数单调性,可能还需要构造函数

函数图像 1、 【2012· 重庆】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ? ( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ? 2 处取得极小 值,则函数 y ? x f ? ( x ) 的图象可能是

2、 设函数 f ? x ? ? x s in x ? c o s x 的图像在点 ? t , f ? t ? ? 处切线的斜率为 k , 则函数 k ? g ? t ? 的 部分图像为( )

3、 y ? f ?(x) 是 f ( x ) 的导函数, y ? f ?(x) 的图象如下图所示,则 y ? f (x) 的图象为(
y



y

y

y

2

O

1

2

x

O

1

2

x

O

1

O
x
1 2

x

4、已知二次函数 f ( x ) 的图象如下图所示,则其导函数 f ′ ( x ) 的图象的大致形状是(



m n 5、 【2011· 安徽】函数 f ( x ) ? a x g(? ? x ) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 m,n 的值可

能是 (A) m ? 1, n ? 1 (C) m ? 2 , n ? 1

(

) (B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1

y

0.5

x O 0.5 1

综合问题
2 () 1 ) 2( x ?? l1 ) 1、 【2012· 黄冈中学高二期中】设函数 f x ( x ?n? .

(I)求 f ( x ) 的单调区间;
() f x x ? a 1 x 在区间 [ 0 , ] 上的最小值. (II)当 0<a<2 时,求函数 g ?() x? ? 3
2

2、 【2011· 北京】已知点 A ? 0 , 2 ? , B ? 2 , 0 ? ,若点 C 在函数 y ? x 的图象上,则使得 ? A B C 的面
2

积为 2 的点 C 的个数为 A. 4 B. 3

( ) C. 2 D. 1

3、 【2012· 福建】已知 f ( x ) ? x ? 6 x ? 9 x ? a b c , a ? b ? c ,且 f ( a ) ? f ( b ) ? f ( c ) ? 0 .现给
3 2

出如下结论:① f ( 0 ) f (1) ? 0 ;② f ( 0 ) f (1) ? 0 ;③ f ( 0 ) f (3 ) ? 0 ;④ f ( 0 ) f (3 ) ? 0 . 其中正确结论的序号是 A.①③ B.①④ ( C.②③ D.②④ )

4、 【2012· 湖北】 设函数 f ( x ) ? a x (1 ? x ) ? b ( x ? 0 ) , n 为正整数, a , b 为常数,曲线 y ? f ( x ) 在
n

(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 .

(1)求 a , b 的值;

(2)求函数 f ( x ) 的最大值;

(3)证明: f ( x ) ?

1 ne

.

2 x 5 、【 2012·江 西 】 已 知 函 数 f ( x ) ? ( a x ? b x ? c ) e 在 ? 0 ,1 ? 上 单 调 递 减 且 满 足

f ( 0 ) ? 1, f ( 0 ) ? 0 .

(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x ) ? f ( ? x ) ? f ? ( x ) ,求 g ( x ) 在 ? 0 ,1 ? 上的最大值和最小值.

6、设函数 f ( x ) ? ?

1 3

x

3

? x

2

? (m

2

? 1 ) x , ( x ? R , ) 其中 m ? 0

已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点 0, x 1 , x 2 ,且 x 1 ? x 2 ,若对任意的
1 2 3 3

x ? [ x 1 , x 2 ] , f ( x ) ? f (1 ) 恒成立,求 m 的取值范围(m 的取值范围是 (

,

))

1 7、已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 在 x=- 处的切线的斜率为 1. 2 (Ⅰ)求 a 的值及 f(x)的最大值; 1 1 1 (Ⅱ)证明:1+ + +…+ >ln(n+1)(n∈N*) 2 3 n

8、 【2013· 浙江教科院】设函数 f (x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3, 且 x1<x2<x3,则 A.x1>-1 B.x2<0 C.x2>0 ( )

D.x3>2

9、 已知 m ? R,函数 f(x)= m x ?

m ?1 x

? ln x , g ( x ) ?

1 2

? ln x

(I)求 g(x)的极小值; (II)若 y=f (x)一 g(x)在[1,+ ? )上为单调增函数,求实数 m 的取值范围.u.c.o.m



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