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3.2.1立体几何中的向量方法二:空间距离


3.2.4 立体几何中的向量方法
——距离问题

一、两点间距离:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则

AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )
2 2

2

?

a ?

?2

a

例 如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解1:如图1,

设AB ? AA1 ? AD ? 1 ,?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?

D1

C1
B1

A1

D
A
图1

C
B

例 如图1:一个结晶体的形状为四棱柱,其中,以顶点A为端点 的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系? 解2:如图1 设AB ? AA1 ? AD ? 1 ,?BAD ? ?BAA1 ? ?DAA1 ? 60?

AC1 ? AB ? AD ? AA1
AC1 ? ( AB ? AD ? AA1 ) 2
? AB ? AD ? AA1 ? 2( AB ? AD ? AB ? AA1 ? AD ? AA1 )
2 2 2

2

? 1 ? 1 ? 1 ? 2(cos60? ? cos60? ? cos60?)
?6
所以 | AC1 |? 6 答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的 6 倍。
A D1 C1
B1

A1

D
图1

C
B

练习如图,60°的二面角的棱上
有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的

两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB=4,AC=6,
BD=8,求CD的长.

解1

?

C

68

B

?

A

D

练习.(P107.2)如图,60°的二面角的棱上
有A、B两点, 直线AC、BD分别在这个二面角的

两个半平面内,且都垂直AB, 已知AB=4,AC=6,
BD=8,求CD的长.

解2

?

C A
B

68

?

D

二、点到平面的距离:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

点P与平面α的距离为d , 则

d =| AP | ? |cos ? AP , u? |=
u

| AP ? u | |u|

.

?P

d

?

A?

?O

例 1: 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分 别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 GC=2, z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解:如图,建立空间直角坐标系 C-xyz. 由题设 C(0,0,0),A(4,4,0),B(0,4,0), D(4,0,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). EF ? (2, ?2,0), EG ? (?2, ?4, 2), D C

x 设平面 EFG 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )
1 1 ? n ? ( , ,1) ,BE ? (2,0,0) A 3 3 | n ? BE| 2 11 ?d ? ? . 11 n

F ?2 x ? 2 y ? 0 n ? EF, n ? EG? ? ? ?2 x ? 4 y ? 2 Z ? 0 E

y

B

2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11

例 2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长
为1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离.

解1 等体积法

VB1 ? A1BE ? VE ? A1BB1
D1
A1
E

C1

B1
D
C

A

B

例 2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长
为1,E为D1C1的中点,求B1到面A1BE的距离. 1 解2: 建立坐标系. A1E =(-1, ,0),A 1B =(0,1,-1) 2 设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量
? ?u A1E = 0, 由? 得 u = (1,2,2) ? ?u A1B = 0,

z

D1
A1

E

C1

A1B1 = ? 0,1,0 ?,
B1到面A 1BE的距离为 d= A 1B1 n n 2 = 3

B1
D
C

A

y

x

B

线面距
例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
E为D1C1的中点,求D1C到面A1BE的距离. 解1:∵D1C∥面A1BE ∴ D1到面A1BE的距离即为 D1C到面A1BE的距离. 仿上例求得D1C到 面A1BE的距离为
d? D1 A1 ? u u

z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

1 ? 3

A

y

x

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1, E为D1C1的中点,求D1C到面A1BE的距离. 解2 等体积法

VD1 ? A1BE ? VB? A1D1E
A1

D1

E

C1

B1
D
C

A

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离. 解1:∵面D1CB1∥面A1BD ∴ D1到面A1BD的距离即 为面D1CB1到面A1BD的距离
平面A1 BD的一个法向量为 AC1 ? ( ?1,1,1), 且 D1 A1 ? (1, 0, 0)
d? D1 A1 ? AC1 AC1 3 ? 3

z
D1
A1

C1

B1
D
C

y

x

A

B

面面距
例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离.

解2 等体积法

VD1 ? A1BD ? VB? A1DD1

D1
A1

C1

B1
D
A

C

B

例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,
求面A1DB与面D1CB1的距离.

解3

D1 ?
A1

C1

B1
D ?
C

?A

B

练习(用向量法求距离): 如图, ABCD 是矩形, PD ? 平面 ABCD , PD ? DC ? a , AD ? 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
D N C B

M
A

解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,
2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 ∴ MC ? ( ? a , a , 0) , MN ? (0, a , a ) , MA ? ( a , 0, 0) 2 2 2 2 z 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n ? MN , n ? MC P 2 ∴ n ? MC ? ? ax ? ay ? 0 且 2 N a a D C y n ? MN ? y ? z ? 0 2 2 M 2 解得 x ? y ? ?z , A 2 B x ∴可取 m ? ( 2,1, ?1)
∴ MA 在 n 上的射影长 d ?
MA ? n n a a ? 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . 2 2

三、点到直线的距离:
设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

点P与直线l的距离为d , 则

d ? AP sin ? AP, a ?

a



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求点E到直线A1B的距离.

解1

z
D1
A1
E

C1

B1
D
C

A

y

x

B



如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为

1,E为D1C1的中点,求点E到直线A1B的距离. 1 解2: 建立坐标系. A1E =(-1, ,0),A 1B =(0,1,-1) 2 1 cos ? A1E , A1B ?? 10 3 E D1 sin ? A1E, A1B ?? C1 10 B1 点E到直线A1B的距离为 A1

z

3 d ? A1 E sin ? A1E , A1B ?? 2 4

D
A

C

y

x

B

五、异面直线间的距离
b

已知a,b是异面直线,n为?的 法向量

? n
?
a

C A

CD为a,b的公垂线
A,B分别在直线a,b上 则 | CD |?

D

B

n ? AB |n|

即 l1 , l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长,

例1. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长 为1,E为D1C1的中点,求异面直线D1B与A1E的距离.
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 ? ? ? A1 E ? ? ?1, , 0 ? , D1B ? ?1,1, ?1? 2 ? ? 设n ? (1, y, z)与A1 E, D1B都垂直

z

? ? n ? A1 E ? 0, 由? ? ? n ? D1 B ? 0,

得n ? (1, 2, 3)

D1
A1

E

C1

D1 A1 ? ?1,0,0 ? ,
A1 E与BD1的距离为
d? D1 A1 ? n n ? 14 14

B1
D
C

A

y

x

B

例2.已知:直三棱柱ABC ? A1B1C1的侧棱AA1 ? 4, 底面?ABC中,

AC ? BC ? 2, ?BCA ? 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解:如图建立坐标系C ? xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). ? ? ? CE ? (1,1,0), AB1 ? (2,2,4), z C ? ? ? 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ? ( x, y, z ).则 A ? B ? x ? y ? 0 n ? CE ? 0 即 ? ? ? 2x ? 2 y ? 4z ? 0 n ? AB ? 0
1 1 1

? 取x=1,则y=-1,z=1,所以 n ? (1,?1,1)

1

C

? 在两直线上各取点C , A,? C A ? (1,0,0). ? ? ? ? | n ? CA | 2 3 ? CE与AB1的距离d ? ? . ? |n| 3

A

B

x

E

y

总结
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的 | n ? EF | 距离为: d ? |n| 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b

上的点, n是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为 d ? | n ? EF | |n|

综合问题

在如图的实验装置中,正方形框架的边长都是1,且 平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M,N分 别在正方形对角线AC和BF上移动,且CM和BN的长 度保持相等,记CM=BN= a(0 ? a ? 2).
(1)求MN的长; (2)a 为何值时?MN的长最小? (3)当MN的长最小时, 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A D

C

M

B
N

E

F


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