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高二数学文科上学期试卷周周练15


泰兴市第五高级中学

高二数学文科

2014.1

高二数学文科周周练 15
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分。请把答案填写在相应位置上。 1. 已知函数 f ( x) ? cos x ,则 f ( x) 的导函数 f ?( x) = 2. 抛物线 y ? 2 x 的焦点坐标为
2





x2 y2 3. 若椭圆 ? ? 1(0 ? m ? 9) 的焦距为 2 3 ,则 m ? 9 m
2



4. 抛物线 y ? 2 x 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的横坐标是
2



5. 设函数 f ( x) ? g ( x) ? x , 曲线 y ? g ( x) 在点(1,g(1))处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 , 则曲线 y ? f ( x) 在点(1,f(1))处的切线的斜率为 . ; .(填写

6. 以 F1 (?2,0), F2 (2,0) 为焦点的椭圆过点 M (2,3) ,则该椭圆的离心率为 7. 若 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则以下命题正确的是 序号) ①若 m // ? , n ? ? ,则 m // n ; ②若 m // ? , ? // ? ,则 m // ? ; ③若 m ? ? , m // n , ? // ? ,则 n ? ? ; ④若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? 8. 如图,一圆形纸片的圆心为 O , F 是圆内一定点, M 是圆周 上一动点,把纸片折叠使点 M 与点 F 重合,然后抹平纸片, 折 痕 为 CD , 设 CD 与 OM 交 于 点 P , 则 点 P 的 轨 迹 是 .(填写“椭圆” 、 “双曲线” 、 “抛物线”和“圆”

中的一种情况) 9. 曲线 y ?

x与y?

8 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成 x
。 第 8 题图

的三角形的面积为

10. 已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,若这个球的表面积为 12? , 则这个正三棱柱的体积为 。

1

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11. 双曲线 tx ? y ? 1 ? 0 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则双曲线的离心率
2 2





x2 y2 12. 已知点 F 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 a b
点 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点,若 ?ABE 是锐角三角形,则该双曲 线的离心率 e 的取值范围是
2



13. 已 知 函 数 f ( x) ? (ax ? x) ? x ln x 在 ?1,??? 上 单 调 递 增 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 。
2 2 2

14. 已知点 P 是抛物线 x ? 4 y 上一个动点,过点 P 作圆 x ? ( y ? 4) ? 1 的两条切线,切 点分别为 M , N ,则线段 MN 长度的最小值是 二、解答题:本大题共六小题,共计 90 分。 15. (本小题满分 14 分) 已知点 P ? 2, ?3? , Q ? 3, 2 ? ,直线 l : (2 ? a) x ? (1 ? 2a) y ? (1 ? 2a) ? 0(a ? R) ; (1)求当直线 l 与直线 PQ 平行时实数 a 的值; (2)求直线 l 所过的定点(与 a 的值无关的点) M 的坐标; (3)直线 l 与线段 PQ (包含端点)相交,求实数 a 的取值范围; 。

16. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? (ax ? bx ? c)e
2 2? x

在 x ? 1处取得极值, 且在点 (2, f (2)) 处的切线方程

为 6 x ? y ? 27 ? 0 。 (1) 求 a, b, c 的值; (2) 求函数 f ( x) 的单调区间,并指出 f ( x) 在 x ? 1处的极值是极大值还是极小值。

2

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17. (本小题满分 14 分) 已知圆 C 经过两点 P(?1,?3), Q(2,6) ,且圆心在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上,直线 l 的方程 为 (k ? 1) x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 。 (1) 求圆 C 的方程; (2) 证明:直线 l 与圆 C 恒相交; (3) 求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长。

18. (本小题满分 16 分) 如图, 平面 ABDE ? 平面 ABC , 四边形 ABDE ?ABC 是等腰直角三角形,AC ? BC , 是直角梯形, BD // AE, BD ? BA, BD ? (1) 求证: OD // 平面 ABC ; (2) 能否在 EM 上找一点 N ,使得 ON ? 平面 ABDE ? 若能,请指出点 N 的位置,并加以证明;若不能,请 说明理由。

1 AE , O, M 分别为 CE, AB 的中点。 2

第 18 题图

3

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19. (本小题满分 16 分) 如图, A, B 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右顶点, M 是椭圆上异于 A, B 的 a2 b2

任意一点,若椭圆 C 的离心率为 (1) 求椭圆 C 的方程;

1 ,且右准线 l 的方程为 x ? 4 。 2

(2) 设直线 AM 交 l 于点 P , 以 MP 为直径的圆交直线 MB 于点 Q , 试证明: 直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点,并求出 R 点的坐标。

第 19 题图

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ? x ? x ? b, g ( x) ? a ln x ,
3 2

(1) 若 f ( x) 在 x ? ??

3 ? 1 ? ,1? 上的最大值为 ,求实数 b 的值; 8 ? 2 ?
2

(2) 若对任意 x ? ?1, e? ,都有 g ( x) ? ? x ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围;

4

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周周练 15 参考答案
一、填空题: 1. ? sin x 2. (0, )

1 8

3.6

4.

1 2

5.4

6.

1 2

7.③④

8.椭圆

9.6

10.54

11.

5 2

12. ?1, 2 ?

13. a ?

1 2e

14.

33 3

二、解答题: 15.解: (1) k PQ ? 5 ,得:平行时 a ? ? (2) M (0,1) ,??????8 分

3 ????????4 分 11

2?a 1 ; kMP ? ?2, kMQ ? ;????10 分 1 ? 2a 3 2?a 1 4 如图所示, ?2 ? ? ,得 a ? 1 或 a ? ? ??????14 分(没有图,扣 2 分) 1 ? 2a 3 3
(3)斜率为 16.解: (1) f ? ? x ? ? ? 2ax ? b ? e x ? ? ax 2 ? bx ? c ? e x
2 x ?? ? ax ? ? 2a ? b ? x ? ? b ? c ? ? ?e ,

………………………………4 分

1 ?? ? f ? ?1? ? 0 ? a ? ? 2a ? b ? ? ? b ? c ? ? ?e ? 0 ? ? ? 由题意, ? f ? ? 0 ? ? 4 ,即 ?? b ? c ? e0 ? 4 , ? ? 0 ? f ?0? ? 5 ? ?ce ? 5

? a ? b ? ?1, c ? 5 ;

………………………………8 分

(2)由(1)知, f ? x ? ? ? ? x 2 ? x ? 5 ? e x ,
? f ? ? x ? ? ? ? x 2 ? 3x ? 4 ? e x ? ? ? x ? 4 ?? x ? 1? e x ,

………………………………10 分

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4 ? x ? 1 , f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?4或x ? 1 ,

? 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ?4,1? ,单调递减区间为 ? ??, ?4 ? 和 ?1, ?? ? .……13 分
由此可知, f ? x ? 在 x ? 1 处的取值是极大值. ………………………………14 分

5

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17.解: (1)设圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . …………………………2 分
? ?1 ? 9 ? D ? 3E ? F ? 0 ? D ? ?4 ? ? 由条件,得 ? 4 ? 36 ? 2 D ? 6 E ? F ? 0 ,解得 ? E ? ?2 , ? D ? F ? ?20 E ? ?( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? 4 ? 0 ? 2 2

? 圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 20 ? 0 .

………………………………6 分

(2)由 ? k ? 1? x ? 2 y ? 5 ? 3k ? 0 ,得 k ? x ? 3? ? ? x ? 2 y ? 5? ? 0 ,
?x ? 3 ? 0 ?x ? 3 令? ,得 ? ,即直线 l 过定点 ? 3, ?1? ,……………………………8 分 ?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? y ? ?1

由 32 ? ? ?1? ? 4 ? 3 ? 2 ? ? ?1? ? 20 ? 0 ,知点 ? 3, ?1? 在圆内,
2

? 直线 l 与圆 C 恒相交.
(3)圆心 C ? 2,1? ,半径为 5,由题意知,

………………………………10 分

2 2 直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 52 ? ?? 2 ? 3? ? ?1 ? 1? ? ? 4 5 .………………14 分 ? ? E 18.证明: (1)如图,取 AC 中点 F ,连接 OF , BF .

?O 是 EC 中点,?OF 是 ?CAE 的中位线,
1 ?OF // EA ,且 OF ? EA , 2 1 又 DB // EA ,且 DB ? EA ,?OF // DB 且 OF ? DB , 2

O N

D F
A
C

? 四边形 ODBF 是平行四边形,?OD // FB .

M

?OD ? 面 ABC, FB ? 面 ABC , OD // 平面 ABC .………………6 分
(2)存在 EM 的中点 N ,使得 ON ? 平面 ABDE .………………8 分 证明:如图,连接 ON , CM ,? N 是 EM 的中点,?ON // CM .

B

?平面 ABDE ? 平面 ABC ,平面 ABDE ? 平面 ABC ? AB ,
BD ? 平面 ABDE , BD ? AB ,? BD ? 平面ABC ,
? CM ? 平面ABC ,? BD ? CM ,? BD ? ON .

又 ?ABC 是等腰三角形, AC ? BC , M 是 AB 的中点,

?CM ? AB ,?ON ? AB ,
由 AB, DB ? 平面ABDE, AB ? DB ? B ,?ON ? 平面 ABDE .………………………16 分

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?c 1 ?a ? 2 ? 2 ? ?a ? 2 ?a 19.解: (1)由题意: ? ? 4 ,解得 ? . ? ?b ? 3 ?c ?a 2 ? b2 ? c 2 ? ?

? 椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 . 4 3

………………………………6 分

(2)由(1)知, A ? ?2,0 ? , B ? 2,0 ? ,设 M ? x0 , y0 ? , R ? t ,0 ? ,则 直线 AM 的方程为 y ?
y0 ? x ? 2? , x0 ? 2

令 x ? 4 ,得 y ?

? 6 y0 ? 6 y0 ,即点 P 的坐标为 ? 4, ? , …………………………9 分 x0 ? 2 ? x0 ? 2 ?

由题意, MQ ? PQ ,? kMQ ? k PQ ? ?1 ,
6 y0 2 y0 y x ?2 4?t , …………………………12 分 ?? ? 0 ? 0 ? ?1 ,即? 6 x0 ? 2 4 ? t ? x0 ? 2 ?? x0 ? 2 ?



2 x0 y2 3 2 2 ? 0 ? 1,? y0 ? ? 4 ? x0 ?, 4 3 4 4?t 3 1 ?? ? ? ,? t ? ? . 6 4 2

? 1 ? ? 直线 PQ 与 x 轴的交点 R 为定点 ? ? , 0 ? . ? 2 ?

…………………………………16 分

20.解: (1)由 f ? x ? ? ? x3 ? x 2 ? b ,得 f ? ? x ? ? ?3x 2 ? 2 x ? ? x ? 3x ? 2 ? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? 0 或 列表如下:
2 . 3 ? 1 2
? 1 ? ? ? ,0? ? 2 ?
?

x
f ?? x? f ? x?

0 0 极小值

? 2? ? 0, ? ? 3?

2 3

?2 ? ? ,1? ?3 ?
?

?
?

0 极大值

1 f (? ) 2

?

?

1 3 2 4 1 2 由 f (? ) ? ? b , f ( ) ? ? b , ? f (? ) ? f ( ) , 2 8 3 27 2 3 1 3 3 即最大值为 f (? ) ? ? b ? ,?b ? 0 . 2 8 8

………………………………5 分

(2)由 g ? x ? ? ? x2 ? ? a ? 2 ? x ,得 ? x ? ln x ? a ? x 2 ? 2 x .
? x ? ?1, e? ,? ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时取,? ln x ? x,即x ? ln x ? 0 ,
7

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?a ?

x2 ? 2 x x2 ? 2 x 恒成立,即 a ? ( )min . x ? ln x x ? ln x

………………………………8 分

令 t ? x? ?

? x ? 1?? x ? 2 ? ln x ? x2 ? 2 x , , x ??1, e?? ,求导得, t? ? x ? ? 2 x ? ln x ? x ? ln x ?

当 x ? ?1, e ? 时, x ? 1 ? 0,ln x ? 1, x ? 2 ? ln x ? 0 ,从而 t ? ? x ? ? 0 ,
? t ? x ? 在 ?1, e? 上为增函数,? tmin ? x ? ? t ?1? ? ?1 ,? a ? ?1. …………………16 分

8


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