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厦门市2010~2011学年第一学期高一数学必修1+必修3试卷及参考答案


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-6-

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.A 【解析】通过数轴易得答案. 2.C 【解析】A+B 表示“朝上一面的数有 2,4,5,6”,所以选择 C. 3.C 【解析】样本数据落在区间(10,40]的频数有 52,所以选择 C. 4.C 【解析】运行 7 次即得答案. 5.D 【解析】分类求零点,累加即得零点个数 3. 6.A 【解析】去掉一个最高分,一个最低分,从小到到大排序,容易得选项 A. 7.D 【解析】几何概型 8.D 【解析】画散点图,或逆推验证选择 D. 9.C 【解析】循环运算 3 次,输出 n ? 4 . 10.B 【解析】 f ( x1 x 2 ? x 2011 ) ? 8 ,即 log a ( x1 x 2 ? x 2011 ) ? 8 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ? f ( x 2011 ) = log a ( x1 2 x 2 2 ? x 2011 2 ) = 2 log a ( x1 x 2 ? x 2011 ) ? 16 .
2 2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 5 5 11. 【解析】由 2 m ? 1 ? 4 ,得 m ? . 2 2 12.785 667 199 507 175 13.2 14.5 【解析】第 8 行第 7 列的数是 7,第一个三位数是 785

【解析】由图 f (3) ? 1, f (1) ? 2 ,所以 f [ f (3)] ? 2 . 【解析】画出函数 f ( x ) 的图象,可求得函数的最大值是 2,最小值是 ? 3 .

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15. (本题满分 10 分)
?x ?1 ? 0 解: (Ⅰ)依题意,得 ? ? ? 1 ? x ? 1 , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 1? x ? 0 ?

所以,函数 f ( x ) 的定义域为 ? x ? 1 ? x ? 1? .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 (Ⅱ)∵函数 f ( x ) 的定义域为 ? x ? 1 ? x ? 1? , ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分 又∵ f ( ? x ) ? log a (1 ? x ) ? log a (1 ? x ) ? f ( x ) ,┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分 ∴函数 f ( x ) 为偶函数. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分

16. (本题满分 12 分) 解: (I)一共有 8 种不同的结果,列举如下: (红、红、红、、 )(红、红、黑)(红、黑、红)(红、黑、黑)(黑、红、红) 、 、 、 、 (黑、红、黑)(黑、黑、红)(黑、黑、黑) 、 、 .┈┈┈┈┈┈┈┈┈6 分 (Ⅱ)记“3 次摸球所得总分为 5”为事件 A, 事件 A 包含的基本事件为: (红、红、黑)(红、黑、红)(黑、红、红) 、 、 , 事件 A 包含的基本事件数为 3, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分
-7-

由(I)可知,基本事件总数为 8,所以事件 A 的概率为 P ( A ) ? 17. (本题满分 12 分) 解: (I)∵ f ( x ) ? 1 ?
1 , 其定义域为 ?x x ? 0 x

3 8

.┈12 分

?,

∴ f ( x ) 的增区间为 (?? , 0 ) 和 ( 0 , ?? ) . (Ⅱ) g ( x ) ? ? ( x ? 1) 2 . (不唯一) (Ⅲ) f ( 2 x ? 1) ? ∵1 ? ∴
1 2 ?1
x

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分

2
x

x

2 ?1

?1?

1 2 ?1
x

, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10 分

? 1,

f (2 ? 1) ? 1 ,
x

∵ f ( 2 x ? 1) ? 3 m ? 1 对任意 x ? R 恒成立,∴ 3 m ? 1 ? 1 ,┈┈┈┈11 分 解得 m ?
2 3



? 2? ∴实数 m 的取值集合是 ? m m ? ? .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 3? ?

B 卷(共 50 分)


18.
1 2



四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 【解析】分别求平均数 x ? 3, y ? 5 ,代入回归方程即得.

19. 1 ? 20.
1 2

?
4

【解析】用几何概型公式易求得答案. 【解析】由偶函数条件得 b ? 0 ,由 a ? 1 ? ? a ? a ?
9 8

1 2


9 8

21. 0 ? a ?

【解析】由 ? ? 9 ? 8 a ? 0 ? a ?

9 8

,又 a ? 0 ,所以 0 ? a ?



五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 0 ? t ? 0.1 时, y ? kt ,图像过点(0.1,1) ,┈┈┈┈┈┈┈1 分 ∴ 1 ? 0.1k ? k ? 10 , ∴ y ? 10 t ; 当 t ? 0.1 时, y ? (
1 16 )
t?a

┈┈┈┈┈┈┈2 分
1 16
-8-

,图像过点(0.1,1) ,∴ 1 ? (

)

0.1 ? a

? a ? 0.1 ,

∴y ?(

1 16

)

t ? 0.1



┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分

综上,从药物投放开始,每立方米空气中含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关
0 ? t ? 0.1 ?10 t , ? 系式为 y ? ? 1 t ? 0.1 . , t ? 0.1 ?( ) ? 16

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

(Ⅱ)药物释放完毕后,且达到一定标准,学生才能回到教室. 1 1 1 当 t ? 0.1 ,有 y ? ( ) t ? 0.1 ,由 y ? 0.25 得 ( ) t ? 0.1 ? ? t ? 0.6 ,┈┈9 分 16 16 4 答:从药物投放开始,至少需要经过 0.6 小时,学生才能回到教室. ┈10 分 23. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)茎叶图如图:

┈┈┈┈┈┈┈┈┈1 分
25 ? 29 2

甲种树苗高度的中位数为 平均数为

? 27 ,

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

40 ? 10 ? 100 ? 120 10

? 27 ; ? 28.5 , ? 30 .

乙种树苗高度的中位数为 平均数为

27 ? 30

2 40 ? 30 ? 40 ? 30 ? 160 10

(Ⅱ) (Ⅰ) x ? 27 , 由 知 记事件 A 为“从 10 株乙种树苗中抽取 1 株, 抽到的树苗高度超过 x ”, 则事件 A 的结果有 30,44,46,46,47 共 5 种,┈┈┈┈┈┈6 分 ∴ P ( A) ?
5 10 ? 1 2
1 2



┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分 .┈┈8 分

答:从 10 株乙种树苗中抽取 1 株,抽到的树苗高度超过 x 的概率为 (Ⅲ)由框图可知:
S ? 1 10

[(37 ? 27 ) ? (21 ? 27 ) ? (31 ? 27 ) ? (20 ? 27 ) ? (29 ? 27 )
2 2 2 2

2

? (19 ? 27) ? (32 ? 27) ? (23 ? 27) ? (25 ? 27) ? (33 ? 27) ]
2 2 2 2 2

?

1 10

(100 ? 36 ? 16 ? 49 ? 4 ? 64 ? 25 ? 16 ? 4 ? 36) ? 35 ,┈┈┈┈┈10 分

输出的 S 大小为 35, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分 S 表示 10 株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量,S 值越小,表示长得越
-9-

整齐;S 值越大,表示长得越参差不齐. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分 24. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 x ? 1 时, f ( x ) 有最大值,所以 ?
b 2a ? 1 ,即 b ? ? 2 a , ┈1 分

因为函数 g ( x ) = f ( x ) - x 只有一个零点,所以 ax 2 ? (2 a ? 1) x ? 0 有等根. 所以 ? ? (2 a ? 1) 2 ? 0 , 即a ? ?
1 2 , b ? 1 .所以 f ( x ) ? ? 1 2
2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3 分
x ? x . ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分

(Ⅱ)①当 m ? n ? 1 时, f ( x ) 在 [ m , n ] 上单调递增,所以 f ( m ) ? 3 m , f ( n ) ? 3 n , 所以 m , n 是方程 ?
1 2 x ? x ? 3 x 的两根.
2

解得 m ? ? 4, n ? 0 ; ②当 m ? 1 ? n 时, 3 n ?
1 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分 ,解得 n ?
1 6

, 不符合题意;┈┈┈┈┈9 分

③当 1 ? m ? n 时, f ( x ) 在 [ m , n ] 上单调递减,所以 f ( m ) ? 3 n , f ( n ) ? 3 m , 即?
1 2 m ? m ? 3n , ?
2

1 2

n ? n ? 3m ,
2

相减得 ?

1 2

( m ? n ) ? ( m ? n ) ? 3( n ? m ) ,
2 2

因为 m ? n ,所以 ? 将 n ? 8 ? m 代入 ? 得?
1 2
2

1 2

( m ? n ) ? 1 ? ? 3 ,即 m ? n ? 8 ,
2

┈┈┈┈┈┈11 分

1 2

m ? m ? 3n,

m ? m ? 3(8 ? m ), 但此方程无解,

所以 m ? ? 4, n ? 0 时, f ( x ) 的定义域为 [ m , n ] ,值域是 [3 m , 3 n ] .┈┈12 分





四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 18.7
3 6

【解析】分别求平均数 x ? 3, y ? 5 ,代入回归方程即得.

19. 1 ?

? 【解析】用几何概型公式易求得答案.

- 10 -

20.2010

【解析】取 a ? 1, b ? 1 ,代入条件得 f (2) ? 4 ,以此类推分别求 f (3), f (4), ? ,

发现规律,也可以构造函数 f ( x ) ? 2 x . 21. 0 ? a ?
1 2

【解析】由条件知,对任意的实数 b ,方程 ax 2 ? ?b ? 1? x ? 2 b ? 0 总有两个相异
2

的实数根.∴ ? ? ?b ? 1 ? ? 8 ab ? 0 恒成立 , 即对任意实数 b ,
2

b ? ?8 a ? 2 ?b ? 1 ? 0 恒成立.
2

从而 ? ? ? ?8 a ? 2 ? ? 4 ? 0 , 解得 0 ? a ?

1 2



五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 0 ? t ? 0.1 时, y 与 t 成正比,可设 y ? kt , ┈┈┈┈┈┈┈1 分 由图可知,当 x ? 0.1 时, y ? 1 ,∴ 1 ? 0.1k ? k ? 10 ,∴ y ? 10 t ;┈2 分 当 t ? 0.1 时, y ? ( ∴y ?(
1 16 )
t ? 0.1

1 16

)

t?a

,图像过点(0.1,1) ,∴ 1 ? (

1 16

)

0.1 ? a

? a ? 0.1 ,



┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4 分

综上,从药物投放开始,每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数
0 ? t ? 0.1 ?10 t , ? 关系式为 y ? ? 1 t ? 0.1 . , t ? 0.1 ?( ) ? 16

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

(Ⅱ)药物投放后,当 0 ? t ? 0.1 时, y ? 10 t , 由 y ? 0.25 得 10 t ? 0.25 ,∴ t ? 0.025 ; 当 t ? 0.1 ,有 y ? ( 由 y ? 0.25 得 (
1 16 )

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7 分

1 16

)
?

t ? 0.1

, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分

t ? 0.1

1 4

? t ? 0.6 ,

答:从药物投放开始,0.025 小时至 0.6 小时这段时间,学生必须离开教室.┈10 分 23. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)茎叶图如图;

统 计 结 论 : 分 (1)甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度;

┈┈┈┈┈2 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5

- 11 -

(2)甲种树苗比乙种树苗长得更整齐; (3)甲种树苗高度的中位数为 27,乙种树苗高度的中位数为 28.5; (4)甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分 布较为分散. 40 ? 10 ? 100 ? 120 (Ⅱ) x ? ? 27 ,由框图可知: 10 1 2 2 2 2 2 S ? [(37 ? 27 ) ? (21 ? 27 ) ? (31 ? 27 ) ? (20 ? 27 ) ? (29 ? 27 ) 10
? (19 ? 27) ? (32 ? 27) ? (23 ? 27) ? (25 ? 27) ? (33 ? 27) ]
2 2 2 2 2

?

1 10

(100 ? 36 ? 16 ? 49 ? 4 ? 64 ? 25 ? 16 ? 4 ? 36) ? 35 , ┈┈┈┈┈7 分

输出的 S 大小为 35, S 表示 10 株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度离散程度的量,S 值越小,表示长得越 整齐;S 值越大,表示长得越参差不齐. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 (Ⅲ)从甲、乙两种树苗高度在 30 厘米以上(含 30 厘米)中各抽取 1 株的所有可能结果为: (37,30)(37,47)(37,46)(37,44)(37,46) , , , , , (31,30)(31,47)(31,46)(31,44)(31,46) , , , , , (32,30)(32,47)(32,46)(32,44)(32,46) , , , , , (33,30)(33,47)(33,46)(33,44)(33,46) , , , , , 可能结果数为 20 种, ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分 记事件 A 为“样本平均数不小于 40”,事件 A 包含的结果有: (37,47)(37,46)(37,44)(37,46)(33,47)共 5 种结果,┈┈10 分 , , , , 5 1 ∴ P ( A) ? ? ; 20 4 答:各样本平均数不小于 40 的概率为
1 4



┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12 分

24. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x ) ?
4x x ?4
2


4(? x) 4x x ?4
2

对任意 x ? ( ?? , ?? ) , f ( ? x ) ?

(? x) ? 4
2

? ?

? ? f (x) ,

?

f ( x ) 为奇函数.

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 分
4( x ? a ) x ?4
2

当 a ? 0 时, f ( x ) ?


8 5 a ? 0 , f ( ? 1) ? f (1) ? ? 8 5 ? 0,

取 x ? ? 1 ,得 f ( ? 1) ? f (1) ? ?
? f ( ? 1) ? ? f (1), f ( ? 1) ? f (1) ,

? 函数 f ( x ) 既不是奇函数,也不是偶函数. ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5 分

- 12 -

(Ⅱ)证明: f ( x ) ? 则
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?

4( x ? a ) x ?4
2
2

,任取 x 1 , x 2 ? [ m , n ] 且 x1 ? x 2 ,┈┈┈┈┈6 分
? 4 ( x 1 ? x 2 )[ a ( x 1 ? x 2 ) ? x 1 x 2 ? 4 ] ( x 1 ? 4 )( x 2 ? 4 )
2 2

4 ( x1 ? a ) x1 ? 4

?

4( x2 ? a ) x2 ? 4
2

┈┈┈┈┈7 分

设 g ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? 1 ,则 g ( x 1 ) ? 0 , g ( x 2 ) ? 0 , 即 x1 ? 2 ax1 ? 1 ? 0, x 2 ? 2 ax 2 ? 1 ? 0 ,
2 2

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8 分 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9 分

? x1 ? x 2 ? 2 a ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 0 ,

2

2

又∵ x1 ? x 2 ∴ ( x1 ? x 2 ) ? 0
2

? x1 ? x 2 ? 2 x 1 x 2
2 2

? 2 x1 x 2 ? 2 a ( x1 ? x 2 ) ? 2 ? 0 ,即 x1 x 2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 ┈┈┈┈┈┈10 分

又 a ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 4 ? a ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? 1 ? 0 , x1 ? x 2 ? 0 ,
? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11 分

即 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,故 f ( x ) 在区间 [ m , n ] 上是增函数. ┈┈┈┈┈┈┈┈12 分

- 13 -


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