3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

正余弦定理知识点总结及高考考试题型


三角函数五——正、余弦定理
一、知识点 (一)正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R, 其中 R 是三角形外接圆半径. sin A sin B sin C

变形公式: (1)化边为角: a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C;

sin A ?
(2)化角为边:

a b c ,sin B ? ,sin C ? ; 2R 2R 2R

(3) a : b : c ? sin A : sin B : sin C

a?b?c a b c ? ? ? ? 2R (4) sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C .
1 1 1 1 abc S?ABC ? ah ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ? 2R 2 sin A sin B sin C 2 2 2 2 4 R 3、 三角形面积公式:
4、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角; (解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角. (解可能不唯一)

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
(二)余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

b2 ? c 2 ? a 2 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 , cos B ? , cos C ? .. 由此可得: cos A ? 2ab 2ac 2ab
注: a > b ? c ? A 是钝角; a = b ? c ? A 是直角; a < b ? c ? A 是锐角;
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角; (解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角; (解唯一) : (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、正、余弦定理的应用

射影定理: a ? b cos C ? c cos B, b ? a cos C ? c cos A, c ? a cos B ? b cos A. 有关三角形内角的几个常用公式
-1-

sin ? A ? B ? ? sin C ;cos ? A ? B ? ? ? cos C ; tan ? A ? B ? ? ? tan C sin A? B C A? B C ? cos ,cos ? sin . 2 2 2 2

解三角形常见的四种类型 (1)已知两角 A, B 与一边 a :由 A ? B ? C ? 180? 及正弦定理 求出 ?C ,再求 b, c 。 (2)已知两边 b, c 与其夹角 A ,由 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,求出 a ,再由余弦定理, 求出角 B, C 。 (3)已知三边 a、b、c ,由余弦定理可求出 ?A、?B、?C 。 (4)已知两边 a, b 及其中一边的对角 A ,由正弦定理 对角 B ,由 C ? 180? ? ? A ? B ? ,求出 C ,再由
a b ,求出另一边 b 的 ? sin A sin B a b c ,可 ? ? sin A sin B sin B

a c 求出 c ,而通过 ? sin A sin C

a b 求 B 时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表: ? sin A sin B
A ? 90° A ? 90°

A ? 90°
一解 一解
a ? b sin A

a?b

一解 无解

一解 无解

a?b

两解 一解 无解

a?b

无解

无解

a ? b sin A a ? b sin A

二、例题讲解 (一)求边的问题
o (2009 广东文)已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a, b, c 若 a ? c ? 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,

则b ? ( ) A.2 【答案】 A B.4+ 2 3 C.4— 2 3
-2-

D. 6 ? 2

sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos 300 ?
【解析】 由 a ? c ? 6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 ,
0 0

2? 6 4

sin B ?

1 2

b?
由正弦定理得

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ?2 2? 6 2 4 ,故选 A


(2013·新课标Ⅰ高考文科·T10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c ,

23 cos2 A ? cos 2 A ? 0 , a ? 7 ,c=6,则 b ? (
A.10 B.9
2

C.8

D.5

【解题指南】由 23 cos A ? cos 2 A ? 0 ,利用倍角公式求出 cos A 的值,然后利用正弦定理或余弦定 理求得 b 的值. 【解析】选 D.因为 23 cos A ? cos 2 A ? 0 ,所以 23 cos A ? 2 cos A ? 1 ? 0 ,解得
2 2 2

cos2 A ?

1 25 ,

cos A ?
方法一:因为△ABC 为锐角三角形,所以

2 6 1 sin A ? 5 . 5,

7

a c 2 6 ? 由正弦定理 sin A sin C 得, 5
sin C ?

?

6 sin C
.

12 6 19 cos C ? 35 , 35 .又 B ? ? ? ( A ? C ) , 所以 sin B ? sin(A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ,

7
sin B ? 2 6 19 1 12 6 50 6 a b 2 6 ? ? ? ? ? 5 35 5 35 175 .由正弦定理 sin A sin B 得, 5

?

b 50 6 175 ,解得

b ? 5.
方法二:由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

cos A ?

1 1 b 2 ? 36 ? 12b ? ? 49 5 ,则 5 ,解得 b ? 5

( 2011 浙 江 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 a, b, c . 若 a cos A ? b sin B , 则

sin A

co A ? s

2

cB o ?( s

) B.

A.-

1 2

1 2

C. -1

D. 1

【答案】D
-3-

【解析】∵ a cos A ? b sin B ,∴ sin A cos A ? sin B ,
2

∴ sin A cos A ? cos B ? sin B ? cos B ? 1 .
2 2 2

1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 , 9( 、2011 安徽) 在△ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边长, a= 3 , b= 2 , 求边 BC 上的高.

【解析】:∵A+B+C=180°,所以 B+C=A, 又 1 ? 2cos( B ? C ) ? 0 ,∴ 1 ? 2cos(180 ? A) ? 0 ,
?

即 1 ? 2cos A ? 0 , 又 0°<A<180°,所以 A=60°.

cos A ?

1 2,

b sin A 2 sin 60? 2 a b sin B ? ? ? ? a 2 , 3 在△ABC 中,由正弦定理 sin A sin B 得 又∵ b ? a ,所以 B<A,B=45°,C=75°,
∴BC 边上的高 AD=AC·sinC= 2 sin 75 ?
?

2 sin(45? ? 30? )

? 2(sin 45? cos 30? ? cos 45? sin 30? )

? 2(

2 3 2 1 3 ?1 ? ? ? )? 2 2 2 2 2

在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3 b. (1)求角 A 的大小. (2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积. 【解题指南】 (1)由正弦定理易求角 A 的大小;(2)根据余弦定理,借助三角形的 面积公式求解. 【解析】 (1)由 2asinB=错误! 未找到引用源。 b 及正弦定理
-4-

a b ,得 sinA= ? sin A sin B

错误!未找到引用源。, 因为 A 是锐角,所以 A ? .
3

?

(2)由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,得 b2+c2-bc=36,又 b+c=8,所以 bc ?
28 , 3

由三角形面积公式 S=错误! 未找到引用源。 bcsinA,得△ABC 的面积为错误! 未找到引用源。.
3 5 cos A ? , cos B ? , b ? 3, 5 13 则

6、(2012 重庆理)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 c ? ______ 14 c? 5 【答案】 3 5 4 12 cos A ? , cos B ? ? sin A ? ,sin B ? 5 13 5 13 , 【解析】由 4 3? b sin A 5 ? 13 a? ? a b 12 sin B 5 ? 13 由正弦定理 sin A sin B 得 , 14 a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2bc cos A ? 25c 2 ? 90c ? 56 ? 0 ? c ? 5 由余弦定理 .

4、 (2012 福建文)在 ?ABC 中,已知 ?BAC ? 60?, ?ABC ? 45?, BC ? 【答案】 2

3 ,则 AC ? _______.

【解析】由正弦定理得

AC 3 ? ? AC ? 2 sin 45? sin 60?

5、 (2011 北京)在 ? ABC 中,若 b ? 5, ?B ?

?

1 ,sin A ? ,则 a ? 4 3

.

【答案】

5 2 3
-5-

【解析】 :由正弦定理得

a 5 5 2 a b ? 1 又 b ? 5, ?B ? ,sin A ? 所以 ? ,a ? ? 1 ? 3 sin A sin B 4 3 sin 3 4

1、在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , A ?

?
3

,a ?

3, b ? 1 ,则 c ? (



A、1 B、2 C、 3 ? 1 D、 3 2、 在△ABC 中,a, b, c 分别为 ?A, ?B, ?C 的对边.如果 a, b, c 成等差数列,?B ? 30°,△ABC 的面 积为 A、

3 ,那么 b ? ( 2

) C、
2? 3 2

1? 3 2

B、 1 ? 3

D、 2 ?

3

3、在△ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,若 ?C ? 120°, c ? A、 a ? b B、 a ? b C、 a ? b

2a ,则(



D、 a 与 b 的大小关系不能确定 )

5、若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3 , ?A= 60°,则 BC 边的长是( A、5 B、6 C、7
2

D、8

7、三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则三角形的另一边长 为( ) A、52 ? B、 2 13 ? C、16 ? D、4

11、在 ?ABC 中.若 b=5, ?B ?

?
4

,sinA=

1 ,则 a ? ___________________. 3
2? ,则 a ? 3

12、若△ABC 的面积为 3,BC=2,C=60° ,则边 AB 的长度等于 13、如图,在△ABC 中,若 b ? 1, c ? (二)求角的问题

3 , ?C ?



1 (2013·北京高考文科·T5)在△ABC 中,a=3,b=5,sinA= 3 ,则 sinB=(

)

5 C. 3 D.1 【解析】选 B。 2012 天津理)在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a,b,c ,已知 8b =5c , C =2 B ,则 cos C ? () 7 7 7 24 ? ? A. 25 B. 25 C. 25 D. 25

1 A. 5

5 B. 9

【答案】A 【解析】?8b ? 5c, 由正弦定理得 8sin B ? 5sin C ,又?C ? 2B ,?8sin B ? 5sin 2B ,
-6-

4 7 sin B ? 0,? cos B ? , cos C ? cos 2 B ? 2cos 2 B ? 1 ? 5 25 所以 8sin B ? 10sin B cos B ,易知
(2013·湖南高考文科·T5)在锐角 ? ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB= 3 b, 则角 A 等于( )

? D. 12 a b ? 【解题指南】本题先利用正弦定理 sin A sin B 化简条件等式,注意条件“锐角三角形” . 3 ? 【解析】选 A.由 2asinB= 3 b 得 2sinAsinB= 3 sinB,得 sinA= 2 ,所以锐角 A= 3 . (2013·湖南高考理科·T3)在锐角 ?ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a, b .若
? A. 3
? B. 4 ? C. 6
2a sin B ? 3b, 则角A等于 (


? A. 12

? ? C. 4 D. 3 a b ? 【解题指南】本题先利用正弦定理 sin A sin B 化简条件等式,注意条件“锐角三角形” . 3 ? 【解析】选 D.由 2asinB= 3 b 得 2sinAsinB= 3 sinB,得 sinA= 2 ,所以锐角 A= 3 . ? B. 6
(2013·天津高考理科·T6)在△ABC 中, 10 10 3 10 5 A. 10 B. 5 C. 10 D. 5
?ABC ?

?
4

, AB ? 2, BC ? 3,

则 sin?BAC = (

)

【解题指南】先由余弦定理求 AC 边长,然后根据正弦定理求值. 【解析】选 C. 在△ABC 中,由余弦定理得,

AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos

?
4

? 2 ? 9 ? 2? 2 ? 3?

2 2

5 3 ? , AC BC 3 10 ? sin A sin?BAC ? ? , sin ? 5, 所以 AC ? 5, 由正弦定理得 sin B sin A 即 10 . 4 所以

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知错误!未找到引 用源。. (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1,求 b 的取值范围.
-7-

【解题指南】(1)借助三角形内角和为 ? ,结合三角恒等变换将条件中的等式 转化为只含 B 的方程, 求出 B 的三角函数值, 进而可求出角 B. (2) 根据 (1) 求出的 B 与 a ? c ? 1,由余弦定理可得 b2 关于 a 的函数,注意到 a ? c ? 1可知
0 ? a ? 1 ,进而可求出 b 的范围.

【解析】 (1)由已知得 ? cos(A ? B) ? cos A cos B ? 3 sin A cos B ? 0 ,即
sin Asin B ? 3 sin A cos B ? 0 .因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 3 cos B ? 0 ,又 cos B ? 0 ,所以 tan B ? 3 ,又 0 ? B ? ? ,所以 B ?

? . 3 1 2

(2)由余弦定理,有 b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,因为 a ? c ? 1, cos B ? ,所以
1 1 1 1 b2 ? 3(a ? ) 2 ? ,又因为 0 ? a ? 1 ,所以 ? b2 ? 1 ,即 ? b ? 1 . 2 4 4 2
(2013·浙江高考理科·T16)在△ABC 中,∠C=90°,M 是 BC 的中点.若 BAC= . 【解题指南】分别在 Rt△ABC 和△ABM 中应用勾股定理和正弦定理. 【解析】设 AC=b,AB=c,BC=a,在△ABM 中由正弦定理得

sin ?BAM ?

1 3 ,则 sin∠

1 a c 2 ? sin ?BAM sin ?BMA ①,
sin ?BMA ? sin ?CMA ?
因为

AC AM ,
sin ?BMA ? c2 ? a2

1 3 3 AM ? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 c2 ? a2 4 4 ,所以 4 又 AC ? b ? c ? a , . 1 a c 2 ? 1 c2 ? a2 3 3 c2 ? a2 4 2 2 4 2 2 4 又由①得 ,两边平方化简得 4c -12a c +9a =0,所以 2c -3a =0,
2 2

-8-

sin ?BAC ?
所以

a 6 ? c 3 .

6 【答案】 3

(2013·上海高考文科·T5)已知 ? ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c.若 a2+ab+b2-c2=0,则角 C 的大小是 .

【解析】 a 2 ? ab ? b 2 - c 2 ? 0 ? cosC ? 【答案】
2 ? 3

a2 ? b2 - c2 ?1 2 ? ?C ? ? 2ab 2 3

设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a, b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac (I)求 B ; (II)若 sin A sin C ?
3 ?1 ,求 C . 4

【解题指南】 (I)由条件 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac 确定求 B 应采用余弦定理. (II)应用三角恒等变换求出 A ? C 及 A ? C 的值,列出方程组确定 C 的值. 【解析】 (I)因为 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ?ac .所以 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ?ac . 由余弦定理得 cos B ?
a2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,因此 B ? 120 ? . 2ac 2

(II)由(I)知 A ? C ? 60 ? ,所以 cos(A ? C ) ? cos A cosC ? sin A sin C

? cos A cosC ? sin Asin C + 2sin A sin C
? cos(A ? C ) ? 2 sin A sin C
?
3 1 3 ?1 ? ? 2? . 2 2 4
-9-

故 A ? C ? 30 ? 或 A ? C ? ?30 ? ,因此 C ? 15 ? 或 C ? 45 ? 10、 (2012 辽宁理)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (I)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值. ? 1 2 B ? A ? C , A ? B ? C ? ? ,? B ? , cos B ? 3 2 【解析】 (I)由已知 3 sin A sin C ? sin 2 B ? 2 4, (Ⅱ)解法一: b ? ac ,由正弦定理得 解法二:
b 2 ? ac, 1 a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac ? cos B ? ? 2 2 2 2ac 2ac ,由此得 a ? b ? ac ? ac ,得

a?c
所以

A? B?C ?

?
3

,sin A sin C ?

3 4

(2012 江西文)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ABC 的面积为 2 2 ,求 b,c.
?3(cos B cos C ? sin B sin C ) ? 1 ? 6 cos B cos C ? 3cos B cos C ? 3sin B sin C ? ?1 ? ? 3cos( B ? C ) ? ?1 ? ? 1 1 ? cos(? ? A) ? ? cos A ? 3 ? 3. 【解析】 (1 ) ? 则 2 2 sin A ? 3 ,由面积可得 bc=6①,则根据余弦定理 (2)由(1)得

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? 9 1 cos A ? ? ? 2bc 12 3 则 b 2 ? c 2 ? 13 ②,
? ?b ? 3 ? ?a ? 3 ? ? a ? 2 ? ? ?b ? 2 ①②两式联立可得 或?

7、 (2011 全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知 a sin A ? csin C ? 2a sin C ? b sin B . (I)求 B; (Ⅱ)若 A ? 75 , b ? 2, 求a,c . 2 2 2 【解析】 (I)由正弦定理得 a ? c ? 2ac ? b
0

- 10 -

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B . 故
2 2 2

cos B ?

2 2 ,因此 B ? 45?

? ? ? ? ? ? (II) sin A ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45

?

2? 6 4

a ? b?


sin A 2? 6 ? ? 1? 3 sin B 2

c ? b?

sin C sin 60? ? 2? ? 6 sin B sin 45? .


1、 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? ( A、

1 4

B、

3 4

C、

2 4

D、

2 3


2、在△ABC 中, A ? 60°, a ? 4 3, b ? 4 2 ,则 B 等于( A、45°或 135° B、135° C、45°

D、以上答案都不对 )

4、在△ABC 中, a ? 3 , b ? A、30° B、45°
2 2

7 , c ? 2 ,那么 ?B 等于(
C、60°
2

D、120° ) D、

6、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则 ?A 为( A、

? 3

B、

? 6

C、

2? 3

? 2? 或 3 3


7、已知△ABC 的面积为

3 ,且 b ? 2, c ? 3 ,则 ?A 等于( 2

A、30° B、30°或 150° C、60° D、60°或 120° 8、已知在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 3: 2 : 4 ,那么 cos C 的值为( A、 ?



1 4

B、

1 4

C、 ?

2 3

D、

2 3

10、若△ ABC 的内角, A, B, C 满足 6sin A ? 4sin B ? 3sin C ,则 cos B ?

A.

15 4

B.

3 4

C.

3 15 16

D.

11 16

11、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分 a, b, c .若 a cos A ? b sin B ,则 sin A cos A ? cos2 B ?
- 11 -

1 C. -1 2 12、已知在△ABC 中, a ? 10, b ? 5 6, A ? 45°,则 B ?
A.B. 13、在△ABC 中, b ?

1 2

D.1 。 。

3, c ? 3 , B ? 30°,则 A ?

14、已知 a, b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边,若 a ? 1, b ? 则 sin C ? 。

3 , A ? C ? 2B ,

15、在△ABC 中, ?b ? c ? : ?c ? a ? : ?a ? b? ? 4 : 5 : 6 ,则△ABC 的最大内角的度数是 16、已知 ? a ? b ? c ??b ? c ? a ? ? 3bc ,则 ?A ? 17、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? 2 , b ? 2 ,

sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为
(三)判断三角形形状的问题

.

设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为() A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

【解题指南】在含有边角关系式的三角函数恒等变形中,利用正弦定理将边的关系式化为角的正弦式 或利用余弦定理将余弦式化为边的关系式,这是判断三角形形状的两个转化方向. 【解析】选 A.因为 bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得 sinBcosC+sinCcosB=sin A,所以 sin(B+C)=sin A, sinA=sin A, sinA=1,所以三角形 ABC 是直角三角形. a b c 1、在△ ABC 中,若 ,则△ ABC 是( ? ? cos A cos B cos C A、直角三角形 B、等边三角形 C、钝角三角形
2 2 2



D、等腰直角三角形 )

2、在 ?ABC 中,已知 2 sin A cos B ? sin C ,那么 ?ABC 一定是( A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等腰直角三角形 )

D、正三角形

3、△ABC 中, a ? 2b cos C ,则此三角形一定是( A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

4、在△ABC 中,若 a cos A ? b cos B ,则△ABC 的形状是(
- 12 -



A、等腰三角形

B、直角三角形 C、等腰直角三角形

D、等腰或直角三角形 )

7、在△ABC 中,已知 B ? 30°, b ? 50 3 , c ? 150 ,那么这个三角形是(

A、等边三角形? B、直角三角形? C、等腰三角形? D、等腰三角形或直角三角形 8、△ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ,则△ABC 为(
2 2 2



A、直角三角形?

B、等腰直角三角形?? C、等边三角形? D、等腰三角形

9、已知关于 x 的方程 x 2 ? x cos A ? cos B ? 2sin 2 则 ?ABC 一定是( A、直角三角形 10、△ABC 中, ) B、钝角三角形

C ? 0 的两根之和等于两根之积的一半, 2

C、等腰三角形 。

D、等边三角形

tan A sin A ,则三角形为 ? tan B sin B

(四)三角形的面积的问题 ( 2013 4 ) ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? 2 , ? ·新课标全国Ⅱ高考文科·T ?

B?

6,

C?

4 ,则 ?ABC 的面积为(



? ?1 2 3 ?2 B. 3? D. 3 ? 1 ? ? ? C. A ? 7? sin sin B ? ,C ? 6 4 ,解得 c ? 2 2 。所 12 6 【解析】选 B.因为 .由正弦定理得 1 14 ,所以 7?
A. 2 3 ? 2

b

c

bc sin A ? ? 2 ? 2 ? 32 2 sin ? sin( ? ) ? ? ? 3 4 2 23 2 因为 1 12 1 bc sin A ? 2 2 ? ( ? )? 2 2 2 所以 2 2 以三角形的面积为 7? ?

2 sin 2 112 .2 3 1 ? ? ( ? ) 2 2 2 2 2 , 3 ?1
,选 B.

.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcosC+csinB. (1)求 B. (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值. 【解题指南】(1)将 a=bcosC+csinB“边化角”,化简求得 B. (2)利用角 B、边 b 将△ABC 面积表示出来,借助均值不等式求最大值. 【解析】(1)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC≠0,

- 13 -

所以 tanB=1,解得 B=

? ,即 4=a2+c2- 2 ac, 由不等式得 a2+c2≥ 2ac, 当且仅当 4 2 1 ? a=c 时,取等号,所以 4≥(2- 2 )ac,解得 ac≤4+2 2 ,所以△ABC 的面积为 acsin ≤ 4 2 4 ×(4+2 2 )= 2 +1.所以△ABC 面积的最大值为 2 +1.
(2)由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos
1、在△ABC 中, AB ? A、

? . 4

3 , AC ? 1, ?A ? 30? ,则△ABC 面积为(
B、



3 2

3 4

C、

3 或 3 2

D、

3 3 或 4 2

2、已知△ABC 的三边长 a ? 3, b ? 5, c ? 6 则△ABC 的面积为( A、 14 B、 2 14 C、 15 D、 2 15



3、在△ABC 中, a ? sin10 °, b ? sin 50 °, ?C = 70°,那么△ABC 的面积为(



1 1 1 C、 D、 8 16 32 4、在△ABC 中, a ? 2 , A ? 30°, C ? 45°,则△ABC 的面积 S ?ABC 等于(
A、 B、 A、 2 ? B、 2 2 ? C、 3 ? 1 ?
o

1 64



D、

1 ( 3 ? 1) 2

6 、已知 ?ABC 的一个内角为 120 ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面积为 _______________ (五)综合应用 1、 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. π A+ ?=2cosA, 求 A 的值; (1)若 sin? ? 6? 1 (2)若 cosA= ,b=3c,求 sinC 的值. 3 2、在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A (Ⅰ)确定角 C 的大小: (Ⅱ)若 c= 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 2

,求 a+b 的值。
- 14 -

1 3、设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,cosC= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 4.在 ?ABC 中, BC ? (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin(2 A ?

5 , AC ? 3, sin C ? 2 sin A

?
4

) 的值。

5、 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asinA+csinC- 2asinC=bsinB. (1)求 B; (2)若 A=75°,b=2,求 a,c.

i n A? 6、 在 ?ABC 中,A、B 为锐角, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 且s
(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

5 ,s i n 5

B?

1 0 1 0

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。

w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

- 15 -


推荐相关:

正余弦定理知识点总结及高考考试题型

正余弦定理知识点总结及高考考试题型_数学_高中教育_教育专区。经典高考题 正余弦定理一、知识点 (一)正弦定理: a b c ? ? ? 2 R, 其中 R 是三角形外接圆...


正余弦定理知识点总结及高考考试题型

正余弦定理知识点总结及高考考试题型_数学_高中教育_教育专区。三角函数——正、余弦定理一、知识点 (一)正弦定理: a b c ? ? ? 2 R, 其中 R 是三角形外...


正弦定理和余弦定理 知识点与题型归纳

正弦定理余弦定理 知识点题型归纳_数学_高中教育_教育专区。●高考明方向 ...4 2 2 例 4. (2) 《名师一号》P62 对点自测 已知△ABC 三边满足 a2+...


正余弦定理知识点总结及题型分析

正余弦定理知识点总结及题型分析_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理知识点总结及题型分析解三角形复习 一、知识点 (一)正弦定理: a sin A ? b sin B ? c...


高考数学题型全归纳:正余弦定理的应用知识归纳(含答案)

高考数学题型全归纳:正余弦定理的应用知识归纳(含答案)_数学_高中教育_教育专区。正余弦定理在解决三角形问题中的应用知识点归纳: 1.正弦定理: a b c ? ? ?...


2015年高考正弦定理知识归纳(经典)

2015年高考正弦定理知识归纳(经典)_数学_高中教育_教育...对知识的掌握情况灵活选择运用公式. 正余弦定理例题...2 7 7 2 A 4 B C D 正弦定理题型一 正弦...


高考数学题型全归纳:正余弦定理常见解题类型典型例题(含答案)

高考数学题型归纳:正余弦定理常见解题类型典型例题(含答案)_数学_高中教育_教育...c2 ,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系,然后充分利用代数知识 2ab ...


2015年新课标高考数学题型全归纳:正余弦定理例题解析

2015年新课标高考数学题型归纳:正余弦定理例题解析_高考_高中教育_教育专区。正余弦定理例题解析 例 1.在△ABC 中,如果 a=18,b=24,A= 45? ,则此三角形解...


2015届高考数学(新课标) 题型全归纳 正余弦定理常见解题类型典型例题

2015届高考数学(新课标) 题型归纳 正余弦定理常见解题类型典型例题_高考_高中...在具体的解题过程中,同学 们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com