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河南省普通高中毕业班2012届高考适应性测试试卷


河南省普通高中毕业班 2012 届高考适应性测试试卷

数 学 试 题(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。其中第 II 卷第(22)题为 选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标 号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、 笔迹精楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损。 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,L x n 的标准差 锥体体积公式

S=

1 [( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 ] n

V =

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, 为高 h 球的表面积、体积公式

V = Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.复数

1+ i (i 是虚数单位)的虚部为 1? i
B.0 C.1 D.2

( ) A.-1

2.已知集合 A = {x | x < 3}, B = {1, 2,3, 4}, 则(CU A)I B = ( ) A.{4}

B.{3,4}

C.{2,3,4}
2 2 2

D.{1,2,3,4}

N, 则 3. 直线 ax + by + c = 0与圆x 2 + y 2 = 9 相交于两点 M, 若 c = a + b , OM ? ON(O 为坐标原点)等于

uuuu uuur r

( ) A.-7

B.-14

C.7

D.14

4.在 ?ABC 中,AB=2,BC=3, ∠ABC = 成的几何体的体积是 ( ) A.6π B.5π 5.下列有关命题的说法正确的是 ( )

2 π ,若使 ?ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所形 3

C.4π

D.3π

A.命题“若 x 2 = 1, 则x = 1 ”的否定命题为“若 x 2 = 1, 则x ≠ 1 ” B. x = ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 = 0 ”的必要而不充分条件 “
2

C.命题“ ?x ∈ R, 使得x 2 + x + 1 < 0 ”的否定是“ ?x ∈ R, 均有x 2 + x + 1 < 0 ” D.命题“若 x = y, 则 sin x = sin y ”的逆否定命题为真命题。 6. ?ABC 中, AB = ( A. )

3, AC = 1, ∠B = 30°, 则?ABC 的面积等于

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

7 . 如 果 一 个 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ( 单 位 长 度 : cm ) 则 此 几 何 体 的 表 面 积 是 , ( ) A. (80 + 16 2)cm 2 B. 96cm
2

2 C. (96 + 16 2)cm

D. 112cm 1 8.如图,正六边形 ABCDEF 的两个顶点,A、D 为双曲线的两个焦点, 其余 4 个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是 ( ) A. 3 + 1 B. 3 ? 1 C. 3 D. 2

2

9.已知 ? = {( x, y ) | x + y ≤ 10, x ≥ 0, y ≥ 0}, A = {( x, y ) | x ≤ 5, y ≥ 0, x ? y ≥ 0} ,若向区 域 ? 上随机投 1 个点,则这个点落入区域 A 的概率为 ( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D. )

1 5

10.如果执行右边的程序框图,输入 x=-12,那么其输出的结果是(

A.9 B.3 C. 3 D.

1 9

11. 已知 a > b ≥ 2. 现有下列不等式: b > 3b ? a; ② 1 + ①
2

4 1 1 > 2( + ) ; ab > a + b; ④ ③ ab a b

log a 3 > log b 3 。其中正确的是
( ) A.②④ 12.给出定义:若 m ? B.①② C.③④ D.①③

1 1 < x ≤ m + (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2

记作{x},即{x}=m 在此基础上给出下列关于函数 f ( x ) = x ? {x} 的四个命题:

1 2 1 ③ f (? ) < 4 1 1 [? , ]; 2 2

① f (? ) =

1 ; 2 1 f ( ); 4

② f (3, 4) = ?0.4; ④ y = f ( x) 的 定 义 域 为 R , 值 域 是

则其中真命题的序号是 ( ) A.①② B.①③

C.②④

D.③④

第Ⅱ卷
本卷第包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,第(22)题为选考 题,每个试题考生都必须作答。第(22)~(23)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共有 4 个小题,每小题 5 分。 13.设随机变量 X ~ B( n, 0.5) ,且 DX=2,则事件“X=1”的概率为 答。 ) 14. a = (作数字作



n

0

(sin x + cos)dx, 则二项式(a x ?

1 6 ) 展开式中含 x 2 项的系数是 x




15.直线 y = kx + b 与曲线 y = x 3 + ax + 1 相切于点(2,3) ,则 b 的值为 16.对于大于 1 的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂” :

?13 ?7 ? ?3 3 ? ?15 3 3 2 = ? ,3 = ?9 , 4 = ? , ……仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 59, ?5 ?11 ?17 ? ?19 ?
则 m 的值为 。 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 满足 a1 = 1, an +1 = 3an , 数列 {bn } 的前 n 项和 S n = n + 2n + 1.
2

(I)求数列 {an }{bn } 的通项公式; , (II)设 cn = an bn , 求数列{cn } 的前 n 项和 Tn .

18. (本小题满分 12 分) 随机抽取某中学甲乙两个班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身 高数据的茎叶图(中间的数字表示身高的百位、十位,旁边的数字分别表示身高的个位 数)如图所示。 (I)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (II)计算甲班的样本方差; (III)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 175cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率。

19. (本小题满分 12 分) 在边长为 5 的菱形 ABCD 中,AC=8。现沿对角线 BD 把△ABD 折起,折起后使∠ ADC 的余弦值为

9 . 25

(I)求证:平面 ABD⊥平面 CBD; (II)若 M 是 AB 的中点,求折起后 AC 与平面 MCD 所成角的一个三角函数值.

20. (本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点 F1、F2,点 P 在椭圆 C 上,且 PF1⊥ a 2 b2
1 ,| F1 F2 |= 2 3. 2

F1F2,且|PF1|=

(I)求椭圆 C 的方程。 (II)以此椭圆的上顶点 B 为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形 ABC,这样的直角 三角形是否存在?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = a ( x +

1 ) + 2 ln x, g ( x) = x 2 . x

(I)若 a > 0且a ≠ 2 ,直线 l 与函数 f ( x ) 和函数 g ( x ) 的图象相切于一点,求切线 l 的 方程。 (II)若 f ( x ) 在[2,4]内为单调函数,求实数 a 的取值范围;

22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 AD 是 ?ABC 的外角 ∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D,延长 DA 交 ?ABC 的外接圆于点 F,连结 FB、FC (I)求证:FB=FC; (II)求证:FB2=FA·FD; (III)若 AB 是 ?ABC 外接圆的直径, ∠EAC = 120°, BC = 6cm, 求 AD 的长。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x ) =| 2 x + 1 | ? | x ? 4 | . (I)解不等式 f ( x ) > 2 ; (II)求函数 y = f ( x ) 的最小值.

河南省普通高中毕业班 2012 届高考适应性测试试卷

理科数学试题参考答案及评分说明
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. (1)C (2)B (3) A (4)D (7)A (8)A (9)C (10)C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) (5) D (11) D (6)D (12)B

1 32

(14) ?192

(15)—15

(16.) 8

三、本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 l2 分) 解: (Ⅰ)由题意知数列 {an } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,其通项公式为 an = 3
n ?1



数列 {bn } 满足 b1 = S1 = 4, n ≥ 2 时, bn = S n ? S n ?1 = 2n + 1 .所以,数列 {bn } 的通项公 式为 bn = ?

?4, (n = 1) ………………………………………………………6 分 ?2n + 1.(n ≥ 2)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cn = an bn = ?

?4, (n = 1)

n ?1 ?(2n + 1) ? 3 , (n ≥ 2)

Tn = 4 + 5 ? 3 + 7 ? 3 2 + (2n + 1) ? 3 n ?1

∴ 3Tn = 12 + 5 ? 32 + 7 ? 33 + 9 ? 34 + L + (2n + 1) ? 3n , ………………………………8 分
两式相减得

?2Tn = 7 + 2(32 + 33 + 34 + L + 3n ?1 ) ? (2n + 1) ? 3n = 7 + 2
所以 Tn = n ? 3 + 1, ( n ≥ 2) ,
n

9(3n ? 2 ? 1) ? (2n + 1) ? 3n = ?2 ? 2n ? 3n 3 ?1

综上, 数列 {cn } 的前 n 项和 Tn = n ? 3 + 1, ( n ∈ N + ) .…………………………………12 分
n

(18)(本小题满分 l2 分) 解:(Ⅰ)由茎叶图可知乙班的身高比较集中在 170—181 之间,所以乙班的平均身高较高

182 + 179 + 178 + 171 + 170 + 168 + 168 + 164 + 162 + 158 = 170 10 181 + 179 + 176 + 176 + 175 + 172 + 169 + 165 + 163 + 157 = 171.3 ………4 分 x乙 = 10
另解: x甲 = (Ⅱ)甲班的方差为:

s2 =

1 [(182 ? 170) 2 + (179 ? 170) 2 + (178 ? 170) 2 + (171 ? 170) 2 + (170 ? 170) 2 10

+ (168 ? 170) 2 + (168 ? 170) 2 + (164 ? 170) 2 + (162 ? 170) 2 + (158 ? 170) 2 ]
=

1 [144 + 1 + 64 + 81 + 64 + 36 + 4 + 4 + 144] = 54.2………………………………8 分 10

(Ⅲ)记“身高为 176 被抽中”为事件 A。从乙班中不低于 175cm 的同学中抽取两人共有 (175,176);(175,176);(175,179);(175,181);(176,176);176,179);(176,181);(176.179);176,181) (179,181)共十种,其中事件 A 含有 7 个基本事件:P(A) z =

7 ………………………………………12 分 10
M

A

(19)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:菱形 ABCD 中,记 AC, BD 交点为 O ,

AD = 5 ,∴ OA = 4, OD = 3
翻折后变成三棱椎 A ? BCD ,在△ ACD 中,

B

o

D

y

C

AC 2 = AD 2 + CD 2 ? 2 AD ? CD ? cos ∠ADC
= 25 + 25 ? 2 × 5 × 5 ×
2

x

9 = 32 25
2 2

在△ AOC 中, OA + OC = 32 = AC , ∴∠ AOC =90°,即 AO ⊥ OC ,又 AO ⊥ BD , OC ∩ BD = O , ∴ AO ⊥平面 BCD , ………………………4 分 又 AO ? 平面 ABD ,∴平面 ABD ⊥平面 CBD .

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 OA , OC , OD 两两互相垂直,分别以 OA , OC , OD 所在直线为坐标 轴建系,则 A (0,0,4), B (0,-3,0), C (4,0,0) , D (0,3,0) , M (0,-

3 ,2), 2

3 MC = (4, ,?2), DC = (4,?3,0) , AC = (4,0,?4) , …………………………………8 分 2
设平面 MCD 的一个法向量为 n = ( x , y, z) ,则由

3 ? ?n ? MC = 0 ? ?4x + y ? 2z = 0 , 得? ,…10 分 令 y=4,有 n = (3,4,9) ……10 分 ? 2 ? n ? DC = 0 ? 4x ? 3y = 0 ? ? 设 AC 与平面 MCD 所成角为 θ,

sin θ = cos AC ,n

=

12 ? 36 106 ? 32

=

3 53 53

∴ AC 与平面 MCD 所成角的正弦值为

3 53 , …………………………………12 分 53

(20)(本小题满分 l2 分) 解: (Ⅰ) Q F1 F2 = 2 3 ∴c = 又 PF1 ⊥ F1 F2 ∴ PF2
2 2

3
2

= PF1 + F1 F2

=

49 7 PF2 = , 4 , 2

∴ 2a = PF1 + PF2 = 4 则 c = 3 , ∴ a = 2, b 2 = a 2 ? c 2 = 1
∴ 所求椭圆方程为

x2 + y2 = 1. 4

…………………………………………6 分

(Ⅱ)设能构成等腰直角三角形 ABC ,其中 B (0,1) ,由题意可知,直角边 BA , BC 不 可能垂直或平行于 x 轴,故可设 BA 边所在直线的方程为 y = kx + 1 (不妨设 k < 0 ) , 则 BC 边 所 在 直 线 的 方 程 为 y = ?

? y = kx + 1 1 , 得 x +1 , 由 ? 2 2 k ?x + 4 y = 4

A (?

8k 8k 2 ,? + 1), 1 + 4k 2 1 + 4k 2
2 8k 2 8k 2 2 8 k 1 + k ) + (? ) = , ………………………………9 分 1 + 4k 2 1 + 4k 2 1 + 4k 2

∴ AB = (?

8 1+ k 2 1 2 2 用 ? 代替上式中的 k , BC = 得 , AB = BC , k (4 + k ) = 1 + 4k , 由 得 2 k 4 +k

Q k < 0 ,∴ 解得: k = ?1 或 k =
(21)(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ f ' ( x) = a (1 ?

?3± 5 ,故存在三个内接等腰直角三角形.……12 分 2

1 2 ax 2 + 2 x ? a )+ = ,∴ g ' ( x ) = 2 x x x2 x2 因为直线 l 与函数 f ( x ), g ( x ) 的图象相切于同一点

ax 2 + 2 x ? a = 2x ……………………………………………………………4 分 x2 a ( 解得 x = 1, x = ( a ≠ 2 ), x = ?1 舍去) 2 a a2 a f ' (1) = 2 , f (1) = 2a ; f ' ( ) = a , f ( ) = 2 2 4 2 a a a g ' (1) = 2 , g (1) = 1 ; g ' ( ) = a , g ( ) = 2 2 4 ①当 x = 1 时,则 l 的方程为: y = 2 x ? 1 a a a2 时,又因为点( , ) 也在 f (x) 2 2 4 a 2 a a2 a a2 有 a ( + ) + 2 ln = 即 ln + +1 = 0 2 a 2 4 2 8 a a2 2 令 h( x ) = ln + + 1 , h ( 2 ) ? h ( 2e 2 ) < 0 2 8 e 易得方程在 a > 0且 a ≠ 2 一定有解 a2 所以 l 的方程为 y = ax ? (a > 0, a ≠ 2) 4
②当 x = 综上所述直线 l 的方程为 y = 2 x ? 1 或 y = ax ? (Ⅱ)∵ f ' ( x) = a (1 ?

a2 (a > 0, a ≠ 2) ………………6 分 4

1 2 ax 2 + 2 x ? a )+ = x x2 x2 要使 f (x ) 在[2,4]为单调增函数,须 f ' ( x ) ≥ 0 在[2,4]恒成立, ax 2 + 2 x ? a ≥ 0 在[2,4]恒成立,即 ax 2 + 2 x ? a ≥ 0 在[2,4]恒成立, x2 2x 2 = 又 a ( x 2 ? 1) ≥ ?2 x 即 a ≥ (2 ≤ x ≤ 4) ……………………8 分 2 1 1? x ?x x 1 1 设 u ( x ) = ? x ( 2 ≤ x ≤ 4 ),因为 u ' ( x ) = ? 2 ? 1 ( x > 0 )所以 u (x ) 在 (0,+∞ )上单 x x
即 调递减.

∴?

8 2x 2 4 ≥ = ≥? 2 1 15 1 ? x 3 ?x x

8 时, f (x ) 在[2,4]为单调增函数;………………………………10 分 15 ' 同理要使 f (x ) 为单调减函数,须 f ( x) ≤ 0 在[2,4]恒成立, 4 易得 a ≤ ? 3 4 8 综上,若 f (x) 在[2,4]为单调函数,则 a 的取值范围为 a ≤ ? 或 a ≥ ? …12 分 3 15
所以当 a ≥ ? (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲 (Ⅰ)∵AD 平分∠EAC,∴∠EAD=∠DAC. 解: ∵四边形 AFBC 内接于圆,∴∠DAC=∠FBC. ∵∠EAD=∠FAB=∠FCB,∴∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC.…………………………3 分 ( Ⅱ ) ∵ ∠FAB=∠FCB=∠FBC , ∠AFB=∠BFD, F A E

FB FA B = , FD FB ∴ FB2=FA·FD. ……………………6 分 (Ⅲ)∵AB 是圆的直径,∴∠ACB=90°.
∴?FBA∽?FDB.∴ ∵∠EAC=120°, ∴∠DAC=

C

D

1 ∠EAC=60°,∠BAC=60°.∴∠D=30°. 2

∵BC= 6, ∴AC= 2 3 . ∴AD=2AC= 4 3 cm.………………………10 分 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 解: (Ⅰ)令 y = 2 x + 1 ? x ? 4 ,则

1 ? x≤? , ?? x ? 5, 2 ? 1 ? y = ?3 x ? 3, ? < x < 4,……………………………3 分 2 ? ? x + 5, x ≥ 4. ? ?
作出函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y = 2 的

y

y=2 O 1 ? 2

?5 ? 交点为 (?7, 和 ? ,? . 2) 2 ?3 ?
所以 2 x + 1 ? x ? 4 > 2 的解集为 ( ?∞,?7) ∪ ( ,+∞) .…………….5 分 (Ⅱ)由函数 y = 2 x + 1 ? x ? 4 的图像可知,当 x = ?

4

x

5 3

1 时, y = 2 x + 1 ? x ? 4 取得最小 2

值?

9 .……………………………………………………………………10 分 2


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